Mapa local

En matemáticas , más precisamente en topología y en geometría diferencial , un mapa local de una variedad topológica o de una variedad diferencial es una parametrización de un espacio abierto de esta variedad por un espacio abierto de Banach . Un atlas es una familia de mapas locales compatibles que cubren variedad.

Definición

Sea E un espacio de Banach.

Un mapa local de un espacio topológico X en E son los datos de un par ( U , φ) donde:

U es abierto en X .
φ es un mapa de U a E tal que φ: U → φ ( U ) es un homeomorfismo .

El mapa recíproco φ⁻¹: φ ( U ) → U se llama entonces parametrización de U , y las coordenadas locales de los puntos de U son sus imágenes por φ.

Compatibilidad

Un atlas (topológico) en X es simplemente una familia de cartas locales con la cubierta X abierta . Para todos los mapas y atlas, la llamada aplicación de cambio de mapa $(U_ {1}, \ varphi _ {1})$ $(U_ {2}, \ varphi _ {2})$

\ varphi _ {2} \ circ \ varphi _ {1} ^ {{- 1}}: \ varphi _ {1} (U_ {1} \ cap U_ {2}) \ rightarrow \ varphi _ {2} (U_ {1} \ cap U_ {2})

es entonces un homeomorfismo.

Para que un atlas defina una estructura de variedad diferencial en X , también requerimos que sus mapas sean compatibles, es decir, que todos sus cambios de mapa sean difeomorfismos .

Existen muchas variantes de esta noción de compatibilidad , dependiendo de la rigidez del tipo de estructura considerada (variedad de clase C k , variedad suave, etc. ).

Ejemplo

Apliquemos una proyección estereográfica a la esfera S 2 privada de un punto denominado N ( N para " Norte "). Supondremos que sus coordenadas cartesianas (en un sistema de coordenadas ortonormal adecuadamente elegido) son (0, 0, 1).

$\ varphi: S ^ {2} \ setminus \ {N \} \ rightarrow \ mathbb {R} ^ {2}, \ quad (x, y, z) \ longmapsto \ left ({\ frac {x} {1- z}}, {\ frac {y} {1-z}} \ derecha)$ es un mapa local de S 2 .
Aplicación recíproca: $\ varphi ^ {{- 1}}: \ mathbb {R} ^ {2} \ rightarrow S ^ {2} \ setminus \ {N \}, \ quad (X, Y) \ longmapsto \ left ({\ frac { 2X} {1 + X ^ {2} + Y ^ {2}}}, {\ frac {2Y} {1 + X ^ {2} + Y ^ {2}}}, {\ frac {-1 + X ^ {2} + Y ^ {2}} {1 + X ^ {2} + Y ^ {2}}} \ derecha)$ es por tanto la parametrización de S 2 \ { N } "deducida" de . $\ varphi$
Definimos de la misma forma un mapa local $\ psi: S ^ {2} \ setminus \ {S \} \ rightarrow \ mathbb {R} ^ {2}, \ quad (x, y, z) \ longmapsto \ left ({\ frac {x} {1+ z}}, {\ frac {-y} {1 + z}} \ derecha)$ siendo S el punto diametralmente opuesto a N que por tanto tiene como coordenadas cartesianas, en el mismo marco, (0, 0, –1).
La parametrización de S 2 \ { S } "deducida" es la aplicación: $\ psi$ $\ psi ^ {{- 1}}: \ mathbb {R} ^ {2} \ rightarrow S ^ {2} \ setminus \ {S \}, \ quad (X, Y) \ longmapsto \ left ({\ frac { 2X} {1 + X ^ {2} + Y ^ {2}}}, {\ frac {-2Y} {1 + X ^ {2} + Y ^ {2}}}, {\ frac {1-X ^ {2} -Y ^ {2}} {1 + X ^ {2} + Y ^ {2}}} \ derecha).$
La aplicación correspondiente para el cambio de tarjetas es: $\ psi \ circ \ varphi ^ {{- 1}}: \ mathbb {R} ^ {2} \ setminus \ {(0,0) \} \ rightarrow \ mathbb {R} ^ {2} \ setminus \ {( 0,0) \}, \ quad (X, Y) \ longmapsto \ left ({\ frac {X} {X ^ {2} + Y ^ {2}}}, {\ frac {-Y} {X ^ {2} + Y ^ {2}}} \ derecha).$ Es un difeomorfismo analítico , por lo tanto, el atlas de estos dos mapas proporciona a la esfera una estructura de variedad analítica (es incluso una superficie de Riemann ).