Subespacio adicional
En matemáticas , más precisamente en álgebra lineal , dos subespacios vectoriales del mismo espacio vectorial son adicionales en este espacio si algún vector del espacio se descompone de manera única en una suma de vectores de cada uno de los dos subespacios.
La existencia de tal descomposición para cualquier vector equivale a decir que la suma de los dos subespacios es igual a todo el espacio, y la unicidad es equivalente a que esta suma sea directa (que se caracteriza por las causas de la intersección de los dos subespacios a reducirse al vector cero).
Confusión frecuente
La noción de complementario se confunde a menudo con el concepto de conjunto de complemento, que es muy diferente. Las diferencias entre los dos conceptos son numerosas. En primer lugar, hay unicidad de lo complementario, mientras que para un subespacio dado, generalmente hay una infinidad de diferentes adicionales. Entonces, la intersección de un subespacio con un adicional no está vacía sino que contiene el vector nulo (y solo este). Además, el complemento de un subespacio vectorial nunca es un subespacio vectorial. Finalmente, el encuentro de un subespacio y un adicional no es igual a todo el espacio, más sutilmente genera este espacio. Intuitivamente, dos subespacios adicionales contienen exactamente la información que se necesita para reconstruir todo el espacio.
Definición
En la siguiente sección, F y G son dos subespacios de un mismo espacio E .
Definición - F y G son adicionales (en E ), que denotamos por F ⊕ G = E , si cualquier vector de E se escribe de forma única como la suma de un vector de F y un vector de G :
Criterios
Teorema : las siguientes propiedades son equivalentes:
- F y G son adicionales;
- La suma del mapa F × G → E , ( u , v ) ↦ u + v es biyectiva , es decir (ya que siempre es lineal en el espacio vectorial producido F × G ) es un isomorfismo de espacios vectoriales ;
- E = F + G y F ∩ G = {0};
- Existe un proyector q de E (es decir, un endomorfismo de E que satisface q ∘ q = q ) del núcleo F y la imagen G ;
- Existen dos proyectores p y q de E cuya suma es igual a la identidad y cuyas imágenes respectivas son F y G ;
- Existe una base de F y una base de G cuya yuxtaposición forma una base de E ;
- La restricción a G de la sobreyección lineal canónica de E en el espacio vectorial cociente E / F es biyectiva.
La equivalencia entre 1, 4 y 5 se detalla en el artículo " Proyector (matemáticas) ". Queda por demostrar que 1, 2, 3, 6 y 7 son equivalentes.
- 1⇔2: La definición de " F y G son adicionales" expresa exactamente la bijetividad del mapa de suma: la sobrejetividad corresponde a la existencia, para todo x , de una pareja ( u , v ), y la inyectividad, a la unicidad de ( u , v ).
- 2⇔3: la condición E = F + G expresa, nuevamente, la sobrejetividad del mapa de suma. Por otro lado, como este mapa es lineal, es inyectivo si y solo si su núcleo se reduce al vector cero del espacio producto F × G , es decir, al par (0,0). Ahora bien, este núcleo, a priori , es el conjunto de ( u , v ) tal que u pertenece a F , v a G y u + v = 0. Por lo tanto, es el conjunto de pares ( u , - u ) tal que u pertenece a F ∩ G , por lo que se reduce a (0, 0) si y solo si F ∩ G = {0}.
- 2⇔6: dejar que A básica F , B una base G , C su "yuxtaposición" y D de la base ( A × {0}) ⋃ ({0} × B ) de F × G . La cantidad aplicada es lineal y envía D a C , por lo que es un isomorfismo si y sólo si C es una base E .
- 3⇔7: Let u el mapa canónica de E en E / F y V su restricción a G . Por tanto, se verifica que la inyectividad de v es equivalente al hecho de que F y G son en suma directos ; Por otra parte, por lo sobreyectividad de v es igual a E = F + G .
En dimensión finita, se deducen de ella otros criterios, de los cuales el más útil es el siguiente:
Si E es de dimensión finita, entonces F y G son adicionales si y solo si F ∩ G = {0} y dim ( F ) + dim ( G ) = dim ( E ).
Propiedades
El criterio 2 prueba el siguiente caso particular de la fórmula de Grassmann (en dimensión finita o infinita):
si F y G son adicionales en E , entonces dim ( F ) + dim ( G ) = dim ( E ).
El Criterio 6 proporciona un proceso simple para construir dos subespacios adicionales: corte una base de E en dos partes complementarias y tome los subespacios generados por estas dos partes. En términos de base, la noción de complementario se reduce así a la de complementario. Si se parte de una F básica y se usa el teorema de la base incompleta para construir una base E , los vectores que agregamos a la base F generan una F adicional . Entonces,
cada subespacio F de E tiene otros adicionales.
Criterio 7 muestra que cualquier adicional F en E es isomorfo a E / F . Entonces,
todos los adicionales de F en E son isomorfos.
Por tanto, tienen la misma dimensión, finita o infinita. Esta dimensión común se llama la codimensión de F en E .
En un espacio vectorial normalizado o más generalmente en un espacio vectorial topológico E , se dice que dos F y G algebraicos adicionales son topológicos adicionales si se satisface una de las siguientes condiciones equivalentes:
- la biyección lineal continua +: F × G → E es un homeomorfismo ;
- F y G están cerrados y la restricción a F de la proyección de E sobre E / G es un homeomorfismo;
- F y G están cerrados y el proyector de imágenes F y el núcleo G son continuos.
Si E es un espacio de Banach , basta con que los algebraicos adicionales F y G sean cerrados.
En un espacio vector normalizado, cualquier subespacio de dimensión finita y cualquier cerrado codimensional finito subespacio admite un suplemento topológico.
DemostraciónSea E un espacio vectorial normalizado.
- Sea F un subespacio base ( e 1 ,…, e n ) y ( e 1 *,…, e n *) la base dual de F * = F ' . Según el teorema de Hahn-Banach , existen formas lineales continuas en E , f 1 ,…, f n , extendiendo el e i *. Estableciendo p ( x ) = ∑n
yo = 1 f i ( x ) e i , se obtiene un proyector de imágenes continua F . - Sea G un subespacio cerrado de codimensión finita y F un algebraico adicional. Entonces F también es cerrado, y el isomorfismo natural entre F y E / G es un homeomorfismo.
El problema de determinar, entre los subespacios cerrados de tal o cual espacio de Banach E , que tienen un suplemento topológico, ha sido ampliamente estudiado. Todos los tienen si y solo si E es topológicamente isomorfo a un espacio de Hilbert . Es isométricamente isomórfico para un Hilbert si (y solo si ) cualquier subespacio cerrado es la imagen de un proyector de norma 1.
Notas y referencias
- En el caso de que la dimensión no sea finita, esta construcción utiliza el lema de Zorn (esencial para probar la existencia de una base, y a fortiori para el teorema de la base incompleta), y por lo tanto el axioma de elección que le es equivalente.
- (en) Eric W. Weisstein , " Complementado subespacio " en MathWorld .
- N. Bourbaki , Elementos de las matemáticas : espacios vectoriales topológicos , Masson,1981, p. I.4
- (in) Bernard Beauzamy, Introducción a los espacios de Banach y su geometría , Holanda Septentrional,mil novecientos ochenta y dos( leer en línea ) , pág. 104-105.
- (en) Eric W. Weisstein , " Problema del subespacio complementario " en MathWorld .
- (in) MS Moslehian , " Una encuesta sobre el problema del subespacio complementado " , Tendencias en matemáticas. , vol. 9, n o 1,2006, p. 91-98 ( leer en línea ), arXiv : matemáticas / 0501048 .
- (in) J. Lindenstrauss y L. Tzafriri , " Sobre el problema de los subespacios complementados " , Israel J. Math. , vol. 9,1971, p. 263–269, Enlace de revisiones de matemáticas .
- (en) S. Kakutani , " Algunas caracterizaciones del espacio euclidiano " , Jap. J. Math , vol. dieciséis,1939, p. 93–97.