Escalar (matemáticas)
En álgebra lineal , los números reales que multiplican vectores en el espacio vectorial se llaman escalares . Esta multiplicación por un escalar , que permite multiplicar un vector por un número para producir un vector, corresponde a la ley externa del espacio vectorial.
De manera más general, en un espacio de vectores K , los escalares son los elementos de K , donde K puede ser el conjunto de números complejos o cualquier otro campo .
Por otro lado, un producto escalar (que no debe confundirse con la multiplicación por un escalar) se puede definir sobre un espacio vectorial, permitiendo que dos vectores se multipliquen entre sí para dar un escalar. Un espacio vectorial de dimensión finita con un producto escalar se denomina espacio vectorial euclidiano .
El componente real de un cuaternión también se denomina parte escalar .
El término matriz escalar se utiliza para denotar una matriz múltiple de la matriz identidad mediante un escalar.
Etimología
La palabra escalar proviene de la palabra inglesa escalar, que a su vez se deriva de la palabra escala utilizada para un conjunto de números. Este último proviene del latín scala que designa una escala .
Según el Oxford English Dictionary , la palabra escalar apareció por primera vez en una publicación científica en 1846 en un artículo del matemático irlandés William Rowan Hamilton , quien usó esta palabra para referirse a la parte real de un cuaternión . Esta referencia está confirmada por el sitio Los primeros usos conocidos de algunas de las palabras matemáticas . Este último especifica que este término escalar ya fue utilizado por Hamilton en el artículo On quaternions presentado en 1844 y publicado solo en 1847 (pero quizás ya en 1845, según David Wilkins).
Definiciones y propiedades
Nociones comunes a las matemáticas y la física
Un "verdadero escalar" es un número que es independiente de la base elegida para expresar los vectores, a diferencia de un pseudoescalar , que es un número que puede depender de la base.
Un escalar se representa con letras griegas o con letras en cursiva .
Un escalar es un tensor de orden 0. Se dice que las cantidades no escalares son pseudoescalares .
Ejemplos deUn número que mide temperatura , masa o altura es un escalar.
Una cantidad escalar es un escalar con el que se asocia una unidad (por ejemplo, masa en kg, temperatura en ° C).
La coordenada de un vector en una base es real (número sin unidad).
Un número resultante de una operación entre vectores puede ser un pseudoescalar o un verdadero escalar dependiendo de si los vectores de operando son pseudovectores o vectores verdaderos.
La velocidad (o vector de velocidad ) de un objeto puntual es un vector : está definido por un escalar asociado con una dirección y una dirección. Lo mismo ocurre con la aceleración de un objeto puntual. El valor de la velocidad o de la aceleración es una cantidad escalar (por lo tanto, con una unidad).
En matemáticas, el determinante de una matriz es un escalar, pero no el de una familia de vectores: depende de la base elegida. Una permutación de los vectores base es suficiente para cambiar el signo del determinante. Por lo tanto, este también es el caso del producto mixto de tres vectores, ya que está definido por un determinante.
Escalares de espacios vectoriales
Un espacio vectorial se define como un conjunto de vectores, asociados a un conjunto de escalares, dotados de varias leyes, una de las cuales es una ley de multiplicación por un escalar que se asocia con un escalar sy un vector v con otro vector sv . Por ejemplo, en el espacio vectorial K n de n -tuplas de elementos de un campo K , la multiplicación por un escalar s de un vector da un vector . En un espacio vectorial funcional , para un escalar sy una función f , s .ƒ es la función x ↦ s .ƒ ( x ).
El escalar se puede tomar en cualquier campo conmutativo, incluido el racional , los números algebraicos , los números reales y los números complejos, así como el cuerpo terminado .
Escalares como componentes de vectores
Todo espacio vectorial dimensional sobre un cuerpo escalar K es isomorfo al espacio de vector K n formado de n tuplas de escalares K . Por ejemplo, cualquier espacio vectorial real de dimensión n es isomorfo al espacio vectorial real R n .
Producto escalar
Un espacio prehilbertiano es un espacio vectorial E provisto de un producto escalar que es una ley que permite multiplicar dos vectores para dar un número. El resultado o producto, se define generalmente como un elemento de cuerpo de escalares E . Dado que el producto escalar de un vector consigo mismo debe ser positivo, un espacio con un producto escalar solo se puede definir sobre un campo que dé significado a la noción de signo . Esto excluye los campos finitos, por ejemplo.
La existencia de un producto escalar hace posible la introducción en un espacio vectorial de la intuición geométrica de los espacios euclidianos al proporcionar una noción bien definida de ángulo entre dos vectores y, en particular, una forma de expresar la ortogonalidad de dos vectores. Los espacios vectoriales reales dotados de un producto escalar pueden dotarse de una norma euclidiana .
Escalares en espacios vectoriales normalizados
Un espacio vectorial E puede estar dotado de una norma que asocia a cada vector v de E un escalar || v ||. Por definición de la norma, al multiplicar un vector v por un escalar s , multiplicamos su norma por | s |. Si || v || se interpreta como la longitud de v , entonces esta operación puede describirse como una multiplicación de la longitud de v por una razón de proporción | s |. Un espacio vectorial con una norma se denomina espacio vectorial normalizado .
La norma suele ser con valores en el campo de los escalares de E , lo que limita este último a un campo que sustenta la noción de signo. Para imitar la definición de la norma euclidiana, si E es de dimensión finita mayor que 2, K debe cerrarse para la raíz cuadrada , así como para las cuatro operaciones aritméticas; por tanto , se excluye el campo Q de números racionales , pero el campo de números construibles es adecuado.
Escalares en módulos
Los módulos son una generalización de espacios vectoriales, y el término "escalar" también se usa en este contexto para referirse a elementos del anillo que opera en el módulo. En este caso, los escalares pueden ser objetos complicados. Si R es el anillo de matrices cuadradas ( n , n ) con coeficientes en un anillo A , podemos hacer que estas matrices operen mediante la acción de la izquierda en el grupo abeliano de matrices de columnas con coeficientes en A , y luego convertir este espacio en R - módulo: en este contexto, los “escalares” son matrices. Se puede tomar prestado otro ejemplo de la teoría de variedades , donde el espacio de las secciones del haz tangente forma un módulo en el álgebra de funciones reales definidas en la variedad.
Homotecias vectoriales
La multiplicación por un escalar de los vectores de espacios vectoriales y de módulos es un caso particular de una homotecia vectorial , un tipo de mapa lineal .
Notas y referencias
(fr) Este artículo está tomado parcial o totalmente del artículo de Wikipedia en inglés titulado " Escalar (matemáticas) " ( consulte la lista de autores ) .- (in) Jeff Miller "Los primeros usos conocidos de algunas de las palabras de las matemáticas (V) " ,2007.