Matriz de identidad

En álgebra lineal , la matriz identidad o matriz unitaria es una matriz cuadrada con unos en la diagonal y ceros en todas partes. Se puede escribir

{\ Displaystyle \ operatorname {diag} (1,1, \ ldots, 1)}

Dado que las matrices se pueden multiplicar con la condición de que sus tipos sean compatibles, existen matrices unitarias de cualquier orden. I n es la matriz unitaria de orden n y, por lo tanto, se define como una matriz diagonal con 1 en cada entrada de su diagonal principal . Entonces :

{\ displaystyle \ mathrm {I} _ {1} = {\ begin {pmatrix} 1 \ end {pmatrix}}, \ \ mathrm {I} _ {2} = {\ begin {pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \ end {pmatrix}}, \ \ mathrm {I} _ {3} = {\ begin {pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \ end {pmatrix} }, \ \ cdots, \ \ mathrm {I} _ {n} = {\ begin {pmatrix} 1 & 0 & \ cdots & 0 \\ 0 & \ ddots & \ ddots & \ vdots \\\ vdots & \ ddots & \ ddots & 0 \\ 0 & \ cdots & 0 & 1 \ end {pmatrix}}.}

Con respecto a la multiplicación de matrices, las matrices unitarias verifican que para todos los p , n enteros naturales distintos de cero y para cualquier matriz A con n filas yp columnas,

{\ Displaystyle \ mathrm {I} _ {n} \ mathrm {A} = \ mathrm {A} \ mathrm {I} _ {p} = \ mathrm {A}}

lo que muestra que la multiplicación por una matriz unitaria no tiene ningún efecto sobre una matriz dada. Esto se puede demostrar mediante cálculo directo o observando que el mapa de identidad (que representa en cualquier base ) no tiene ningún efecto por composición con un mapa lineal dado.

En particular, I n es el elemento neutro para la multiplicación de matrices cuadradas de orden n .

También es posible denotar los coeficientes de la matriz unitaria de orden n con el símbolo de Kronecker ; el coeficiente de la i -ésima fila y la j -ésima columna se escribe:

{\ Displaystyle \ delta _ {ij} = \ left \ {{\ begin {matrix} 1 & {\ mbox {si}} i = j \\ 0 & {\ mbox {si}} i \ neq j \ end { matriz}} \ right. \,}

y por lo tanto la matriz unitaria I es igual a

{\ Displaystyle \ mathrm {I} = (\ delta _ {ij})}

Si el orden no está especificado, o si está implícitamente determinado por el contexto, podemos denotarlo simplemente como I.

Propiedades

Las matrices unitarias son matrices unitarias y por lo tanto

de matrices regulares ;
de matrices normales .

La matriz vacía 0 × 0 es una matriz unitaria, denotada () o Id 0 . Corresponde al mapeo de identidad del espacio nulo .

Nosotros tenemos :

estándar :
- Norma de Frobenius : ║I n ║ F = $\sqrt n$ ;
rango : rg (I n ) = n ;
inverso : I n –1 = I n ;
condicionamiento : cond (I n ) = 1;
determinante : det (I n ) = 1;
polinomio característico : p (I n ) = (X - 1) n ;
valor propio : 1;
traza : Tr (I n ) = n .

Ver también

Matriz nula