Ley de composición

En las matemáticas , y más precisamente en el álgebra en general , dados dos conjuntos E y F , una ley de composición (o simplemente de abogados ) en E es o bien un mapa de F × E en E , o de un mapa de E × F en E . En otras palabras, es una operación binaria para la que el conjunto E es estable .

Hay dos tipos de leyes de composición:

si F = E, hablamos de ley de composición interna ;
si F ≠ E, hablamos de una ley de composición externa .

En la práctica, muchos autores utilizan "ley de composición" como sinónimo de "ley de composición interna" (por ejemplo, Bourbaki y Lang).

Las leyes de composición internas y externas sirven para definir estructuras algebraicas , que ocupan un lugar privilegiado en el álgebra general .

Definición detallada

Una ley de composición * : E × F → G , con G = E o G = F , es un mapa de E × F a G que se asocia con cada par ( x , y ) de E × F , un elemento de G que se indica generalmente " x * y " (en lugar de la notación funcional "* ( x , y )") y se llama un compuesto de x e y , o el producto de x e y .

x y y a veces están calificados como operandos , porque una ley no es otra cosa que un binario función , por lo tanto, un caso particular de funcionamiento (es decir, de una función de n-aria).

G debe ser igual a E o F . Mas presisamente :

si E = F = G , la ley *: E × E → E se llama ley de composición interna en E ;
si E ≠ F y G = F , la ley *: E × F → F se llama ley de composición externa a la izquierda de F o ley de composición externa , y E es entonces el dominio de los operadores ;
Si E ≠ F y G = E , Derecho *: E × F → E se llama la ley de composición externa derecha en E dominio F .

Leyes de composición interna

resumen

Leyes de composición interna (a veces llamadas "leyes internas") son aplicaciones de E × E → E . Se utilizan para definir las estructuras algebraicas estudiadas en álgebra general : grupos , anillos , campos , etc.

Una ley interna de composición puede tener diferentes propiedades: conmutatividad , asociatividad , etc.

Ejemplos de leyes de composición conmutativa interna

la adición en , , , o $\ mathbb {N}$ $\ mathbb {Z}$ $\ mathbb {Q}$ $\ mathbb {R}$ $\ mathbb {C}$
la multiplicación en , , , o . $\ mathbb {N}$ $\ mathbb {Z}$ $\ mathbb {Q}$ $\ mathbb {R}$ $\ mathbb {C}$
cualquier ley de un grupo abeliano
cualquier ley aditiva de un anillo
cualquier ley aditiva de un campo
cualquier ley aditiva de un espacio vectorial
cualquier ley multiplicativa de un anillo conmutativo
cualquier ley multiplicativa de un campo conmutativo

Otros ejemplos de leyes de composición interna

la sustracción en , , o $\ mathbb {Z}$ $\ mathbb {Q}$ $\ mathbb {R}$ $\ mathbb {C}$
la división en , o ${\ Displaystyle \ mathbb {Q} ^ {*}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {*}}$ ${\ mathbb {C}} ^ {*}$
la multiplicación de matrices
las funciones de composición
cualquier ley de un grupo
cualquier ley multiplicativa de un anillo
cualquier ley multiplicativa de un cuerpo

Leyes externas de composición

resumen

La ley de composición externa (a veces llamado "leyes externos") son aplicaciones F × E → E . También sirven para definir las estructuras algebraicas estudiadas en álgebra general .

Pero a diferencia de una ley de composición interna, una ley de composición externa involucra elementos del exterior, llamados operadores o escalares . Por lo tanto, una ley de composición externa puede ser visto como una operación de F en E . Entonces decimos que " F opera sobre E ".

Ejemplos de leyes de composición externa

La exponenciación completa de los números reales es una ley de in . ${\ Displaystyle \ mathbb {R} \ times \ mathbb {N}}$ $\ mathbb {R}$
Para K - espacio vectorial E , la multiplicación de un vector por un escalar es una ley de K × E en E .

Notaciones

Hay varias notaciones para las leyes de composición:

la más común es la notación infija ; requiere el uso de paréntesis para especificar el orden de ejecución de las operaciones, si hay varias:

{\ Displaystyle x * y}

el símbolo de la ley a veces se omite, la multiplicación, por ejemplo, a menudo se observa mediante una simple yuxtaposición:

{\ Displaystyle xy}

la notación de prefijo , o polaco , no necesita paréntesis:

{\ Displaystyle * xy}

, algunas veces

{\ Displaystyle * x, y}

la notación de sufijo , o pulido inverso , también prescinde de paréntesis:

{\ Displaystyle xy *}

, algunas veces

{\ Displaystyle x, y *}

Ver también

Notas

cf. Bourbaki p. A I.1
cf. Lang p. 3.

Referencias

N. Bourbaki , Elementos de las matemáticas , vol. II: Álgebra, Capítulos 1 a 3 , Berlín, Springer,1970( Repr. 2007), 2 ª ed. ( ISBN 978-3-540-33849-9 , presentación en línea ).
(en) Serge Lang , Álgebra , Nueva York / Berlín / Heidelberg, etc., Springer, coll. "Textos de pregrado en matemáticas",2002( Repr. 2010), 3 e ed. , 914 p. ( ISBN 0-387-95385-X , leer en línea ).