Módulo de un número complejo

En matemáticas , el módulo de un número complejo es el número real positivo que mide su "tamaño" y generaliza el valor absoluto de un número real . Esta noción es particularmente útil para definir una distancia en el plano complejo .

El módulo de un número complejo z se denota por | z |. Si el complejo z se expresa en su forma algebraica, un + $i$ b , donde $i$ es la unidad imaginaria , una es la parte real de z y b su parte imaginaria , este módulo es la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de una y b :

| z | = {\ sqrt {a ^ {2} + b ^ {2}}}.

El término módulo fue introducido por Jean-Robert Argand , exponiendo una forma de representar cantidades imaginarias mediante construcciones geométricas.

Ejemplos de

El módulo de 0 es 0. El módulo de un número complejo distinto de cero es distinto de cero.
El módulo de un real es su valor absoluto.
El módulo de 1 + $i$ es √ 2 .
${\ frac {1} {2}} + {\ rm {i}} {\ frac {\ sqrt {3}} {2}}$ tiene para el módulo 1.

Propiedades

Para todos los reales y los valores absolutos respectivos y y para todos los números complejos z , z 1 , z 2 , ..., z n : $a$ $B$ $| a |$ $| b |$

$| a | \ leq {\ sqrt {a ^ {2} + b ^ {2}}} = | a + {\ rm {i}} b | \ quad {\ text {y}} \ quad | b | \ leq {\ sqrt {a ^ {2} + b ^ {2}}} = | a + {\ rm {i}} b |$
$| z | \ geq 0$
$| z | = 0 \ Flecha izquierda z = 0$
${\ Displaystyle | z_ {1} z_ {2} | = | z_ {1} || z_ {2} |}$
$\ left | {z_ {1} \ over {z_ {2}}} \ right | = {| z_ {1} | \ over {| z_ {2} |}} \ quad {\ text {si}} \ quad z_ {2} \ neq 0$
$| {\ overline {z}} | = | z | = | - {\ overline {z}} | = | -z |$ , donde denota el conjugado del número complejo ${\ overline {z}}$ $z$
$z {\ overline {z}} = | z | ^ {2}$
$| z_ {1} + z_ {2} | \ leq | z_ {1} | + | z_ {2} |$ ( desigualdad triangular , que se generaliza en ) $| z_ {1} + z_ {2} + \ cdots + z_ {n} | \ leq | z_ {1} | + | z_ {2} | + \ cdots + | z_ {n} |$
$| z_ {1} + z_ {2} | \ geq | ~ | z_ {1} | - | z_ {2} | ~ |$ (deducido de la desigualdad triangular)
Caso de igualdad en la desigualdad triangular: si y solo si , o incluso si y solo si existe un real positivo como o . $| z_ {1} + z_ {2} | = | z_ {1} | + | z_ {2} | ~$ ${\ overline {z_ {1}}} z_ {2} \ in \ mathbb {R} _ {+}$ $\ lambda$ $z_ {2} = \ lambda z_ {1} ~$ $z_ {1} = \ lambda z_ {2} ~$

Interpretación geométrica

Si interpretamos z como un punto en el plano, es decir, si consideramos su imagen , entonces | z | es la distancia desde (la imagen de) z hasta el origen.

Es útil interpretar la expresión | x - y | como la distancia entre las imágenes (de) dos números complejos x y y en el plano complejo.

Desde un punto de vista algebraico, el módulo es un valor absoluto , lo que le da al conjunto de números complejos la estructura de campo valorado .

Es en particular una norma , por lo que el plano complejo es un espacio vectorial normalizado (de dimensión 2). De ello se deduce que es un espacio métrico (por tanto, un espacio topológico ). De hecho, la aplicación: , es una distancia . ${\ Displaystyle \ mathbb {C} \ times \ mathbb {C} \ rightarrow \ mathbb {R} _ {+}}$ $(z_ {1}, z_ {2}) \ mapsto | z_ {1} -z_ {2} |$

Números complejos de módulo 1

La aplicación de in es un morfismo grupal . Su núcleo no es otro que el conjunto de números complejos de módulo 1, que por tanto es un subgrupo de . Se llama grupo de unidades de . $z \ mapsto | z |$ ${\ Displaystyle (\ mathbb {C} ^ {*}, \ times)}$ $(\ mathbb {R} ^ {*}, \ times)$ $\ mathbb {U}$ ${\ Displaystyle (\ mathbb {C} ^ {*}, \ times)}$ $\ mathbb {C}$

El mapa es un morfismo de grupos de en . Este morfismo es periódico y denotamos su período. Esta definición del número $π$ se debe al colectivo Nicolas Bourbaki . $x \ mapsto \ exp ({\ rm {i}} x)$ $(\ mathbb {R}, +)$ $(\ mathbb {U}, \ times)$ $2 \ pies$

Notas y referencias