Función periódica

En matemáticas , una función periódica es una función que cuando se aplica a una variable, toma el mismo valor si a esta variable le sumamos una cierta cantidad fija llamada período . Se pueden obtener ejemplos de tales funciones a partir de fenómenos periódicos , como la hora indicada por la manecilla de un reloj , las fases de la luna , etc.

Definición

Se dice que una función definida en un conjunto de números reales es periódica (o -periódica) si F{\ Displaystyle f}D⊂R{\ Displaystyle {\ mathcal {D}} \ subconjunto \ mathbb {R}}t∈R∗{\ Displaystyle t \ in \ mathbb {R} ^ {*}}t{\ Displaystyle t}∀X∈D, X+t∈DmitF(X+t)=F(X).{\ Displaystyle \ forall x \ in {\ mathcal {D}}, \ x + t \ in {\ mathcal {D}} \ quad \ mathrm {y} \ quad f (x + t) = f (x). } [árbitro. necesario]

Cuando una función es periódica, su gráfico reproduce repetitivamente cualquier porción particular de la longitud de un período: es una propiedad de la invariancia por traslación .

Por ejemplo, la función de parte fraccionaria que asocia su parte fraccionaria definida por F{\ Displaystyle f}

∀X∈R, F(X)=X-⌊X⌋{\ Displaystyle \ forall x \ in \ mathbb {R}, \ f (x) = x- \ lfloor x \ rfloor}

Aquí denota la parte entera de . La función es periódica y del período 1. Así que tenemos ⌊X⌋{\ Displaystyle \ lfloor x \ rfloor}X{\ Displaystyle x}F{\ Displaystyle f}

F(0,5)=F(1,5)=F(2,5)=...=0,5{\ Displaystyle f (0.5) = f (1.5) = f (2.5) = \ ldots = 0.5}

Si una función es periódica, entonces para cualquier pertenencia al conjunto de definición de y para cualquier entero natural  : F{\ Displaystyle f}t{\ Displaystyle t}X{\ Displaystyle x}F{\ Displaystyle f}no{\ Displaystyle n}

F(X+not)=F(X){\ Displaystyle f (x + nt) = f (x)}

Este resultado se demuestra por la recurrencia .

En el ejemplo anterior, siendo la función del período 1, tenemos para todos los números reales X{\ Displaystyle x}

F(X)=F(X+1)=F(X+2)...{\ Displaystyle f (x) = f (x + 1) = f (x + 2) \ ldots}

Para cualquier función definida en , el conjunto de tales que es un subgrupo aditivo de llamado grupo de períodos de . Cuando este grupo se reduce a , se dice que la función es aperiódica . R{\ Displaystyle \ mathbb {R}}t∈R{\ Displaystyle t \ in \ mathbb {R}}∀X∈R,F(X+t)=F(X){\ Displaystyle \ forall x \ in \ mathbb {R}, f (x + t) = f (x)}R{\ Displaystyle \ mathbb {R}}F{\ Displaystyle f}{0}{\ Displaystyle \ {0 \}}

Cuando periódica es continua, este grupo está cerrado en . En este caso, este grupo es y es constante, o este grupo es un subgrupo discreto de  : admite un período más pequeño . F{\ Displaystyle f}R{\ Displaystyle \ mathbb {R}}R{\ Displaystyle \ mathbb {R}}F{\ Displaystyle f}R{\ Displaystyle \ mathbb {R}}F{\ Displaystyle f} T>0{\ Displaystyle T> 0}

En el caso no continuo, el grupo de períodos de puede ser un subgrupo denso de  : ya no podemos hablar de “período estrictamente positivo más pequeño”. Por ejemplo, los períodos de la función indicadora de son los números racionales densos en . F{\ Displaystyle f} R{\ Displaystyle \ mathbb {R}}Q{\ Displaystyle \ mathbb {Q}}R{\ Displaystyle \ mathbb {R}}

Las funciones seno y coseno son periódicas y tienen un período de 2π .

La teoría de la serie de Fourier busca escribir una función periódica arbitraria como una suma de funciones trigonométricas.

En física , un movimiento periódico es un movimiento en el que la posición (o posiciones) de un sistema se puede expresar utilizando funciones periódicas de tiempo, todas con el mismo período.

Media, derivada y primitiva de funciones periódicas digitales

Valor medio

El valor promedio de una función periódica integrable de período es el siguiente valor, que es independiente de  : F{\ Displaystyle f} T{\ Displaystyle T}a{\ Displaystyle a}

μ=1T∫0TF(X)DX=1T∫aa+TF(X)DX{\ Displaystyle \ mu = {\ frac {1} {T}} {\ int _ {0} ^ {T} f (x) \ mathrm {d} x} = {\ frac {1} {T}} \ int _ {a} ^ {a + T} f (x) \ mathrm {d} x}

Por lo tanto, la función coseno tiene media cero, su cuadrado tiene media 1/2.

Incluso si agrega una constante a la función, puede cambiar su valor promedio.

Derivado y primitivo

• La derivada de una función , -periódica, es -periódica y de media ceroVS1{\ Displaystyle {\ mathcal {C}} ^ {1}}T{\ Displaystyle T}T{\ Displaystyle T}
• Una función continua y periódica admite una primitiva periódica si y solo si tiene media cero (todas las primitivas son entonces periódicas, solo una tiene media cero).F{\ Displaystyle f} T{\ Displaystyle T} T{\ Displaystyle T}F{\ Displaystyle f}

Para un estudio más preciso de las propiedades de la derivación para funciones periódicas, es necesario introducir la serie de Fourier  ; entonces podemos probar la desigualdad de Wirtinger que compara las normas de y su derivada. F{\ Displaystyle f}

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