Cuerpo valorado

En matemáticas , un campo valorado es un campo K provisto de un valor absoluto . Esto determina en K una estructura de espacio métrico definida por la distancia invariante , y K , provisto de la topología metrizable así definida, es un campo topológico . ${\ Displaystyle x \ mapsto | x |}$ ${\ Displaystyle d (x, y) = | xy |}$

Por ejemplo, cualquier valoración con valores reales en K permite definir un valor absoluto en K (lo contrario es cierto solo para los valores absolutos ultramétricos ). Por este motivo, algunos autores término valorado organismo cualquier organismo provisto de una valoración.

La topología de un cuerpo valorado es discreta si, y sólo si, el valor absoluto es trivial , es decir, resultante de la valoración trivial .

El anillo completado con un cuerpo valorado es un cuerpo valorado.

Demostración

Sea un organismo dotado de una distancia asociada a una valoración y al anillo completo. Por extensión de identidades , es invariante por traducciones y el mapa (que extiende ) es una valoración sobre . La aplicación es - Lipschitzianas en por todo . Por tanto, se extiende de forma continua en una aplicación definida en . ${\ Displaystyle (K, d)}$ ${\ Displaystyle | ~ |}$ ${\ displaystyle ({\ widehat {K}}, {\ widehat {d}})}$ ${\ Displaystyle {\ widehat {d}}}$ ${\ displaystyle x \ mapsto {\ widehat {d}} (x, 0)}$ ${\ Displaystyle | ~ |}$ ${\ displaystyle {\ widehat {K}}}$ ${\ Displaystyle K ^ {*} \ a K, \; x \ mapsto x ^ {- 1}}$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {\ varepsilon ^ {2}}}}$ ${\ Displaystyle \ {x \ in K \ mid | x | \ geq \ varepsilon \}}$ $\ varepsilon> 0$ ${\ displaystyle x \ mapsto x ^ {- 1}}$ ${\ Displaystyle \ cup _ {\ varepsilon> 0} \ {x \ in {\ widehat {K}} \ mid | x | \ geq \ varepsilon \} = {\ widehat {K}} ^ {*}}$

Notas y referencias

N. Bourbaki , Elementos de las matemáticas, el libro III: topología general [ detalle de las ediciones ] (cap. IX, §3, p. 28-31).
Jean-Pierre Serre , Cuerpo local [ detalle de ediciones ]pag. 36, que además menciona una caracterización de valores absolutos no ultramétricos.
Nota: cualquier espacio vectorial a la izquierda sobre un campo de valor discreto es un espacio vectorial topológico para la topología discreta; este no es el caso de un espacio vectorial distinto de cero sobre un campo de valor no discreto.

Ver también

Teorema de ostrowski