Grupo Lorentz

El grupo de Lorentz es el grupo matemático formado por el conjunto de transformaciones de Lorentz del espacio de Minkowski . Es un grupo relacionado .

Fórmulas matemáticas:

• leyes de la cinemática de la relatividad especial  ;
• de las ecuaciones de campo de Maxwell en la teoría del electromagnetismo  ;
• de la ecuación de Dirac en la teoría electrónica

son todos invariantes bajo las transformaciones de Lorentz . Como resultado, el grupo de Lorentz expresaría la simetría fundamental de varias leyes de la naturaleza .

El grupo restringido de Lorentz

El grupo de Lorentz apropiado y ortocrónico o restringido es un subgrupo del grupo ortogonal que une todos los automorfismos ortogonales (mapas lineales uno a uno) del espacio vectorial subyacente al espacio de Minkowski . ENTONCES0⁡(1,3){\ Displaystyle \ operatorname {SO} _ {0} (1,3)}O⁡(1,3){\ Displaystyle \ operatorname {O} (1,3)}

Incluye dos tipos de simetrías:

1. las rotaciones estáticas del espacio  ;
2. las transformaciones especiales de Lorentz .

Estas transformaciones conservan no solo la forma cuadrática , forma de Lorentz de la firma (1,3), sino también la orientación así como el origen de las marcas del espacio de Minkowski. vs2t2-X2-y2-z2{\ Displaystyle c ^ {2} t ^ {2} -x ^ {2} -y ^ {2} -z ^ {2}}

En física , se trata de cambios de marcos de referencia de la relatividad especial que envían un marco de referencia inercial sobre otro, conservando su orientación tanto espacial como temporal, así como el origen del marco del espacio-tiempo. Se dice que estas transformaciones son lineales, limpias y ortocrónicas.

• Generando transformaciones del grupo de Lorentz restringido

• Rotaciones estáticas del espacio.
  Nota: Este es un pivote angular alrededor de un eje que pasa por el origen y no un movimiento de rotación continuo.θ{\ Displaystyle \ theta}

• Transformaciones especiales de Lorentz ( refuerzos de Lorentz ).
  Nota: Siendo las transformaciones lineales, los orígenes de las marcas de referencia son los mismos en t = t '= 0.

Definición

Las transformaciones de grupo de Lorentz son cambios lineales de coordenadas entre marcos de referencia inerciales, que transforman un cuadrivector en  : X{\ Displaystyle X}X′{\ Displaystyle X '}

X′=ΛX{\ Displaystyle X '= \ Lambda X}

Para ser compatibles con los principios de la relatividad especial , estas transformaciones deben preservar el intervalo espacio-temporal entre dos eventos. Matemáticamente, esto significa que las matrices satisfacen la condición: Δs2{\ Displaystyle \ Delta s ^ {2}}Λ{\ Displaystyle \ Lambda}

tΛ η Λ=η{\ Displaystyle ^ {t} \ Lambda ~ \ eta ~ \ Lambda = \ eta}

¿Dónde está la métrica diag de Minkowski ? El conjunto de estas matrices de hecho forma un grupo, porque cada transformación tiene una inversa y el producto de dos transformaciones del grupo de Lorentz es también una transformación del grupo de Lorentz. Además, el producto es asociativo y hay una transformación de identidad. Se dice que las transformaciones que conservan la orientación del espacio son propias y corresponden a las matrices de determinante positivo: η{\ Displaystyle \ eta} η={\ Displaystyle \ eta =}(+1,-1,-1,-1){\ displaystyle (+ 1, -1, -1, -1)}Λ{\ Displaystyle \ Lambda}

det Λ=+1{\ Displaystyle \ Lambda = + 1}

por el contrario, se dice que transformaciones como det son impropias . Además, se dice que las transformaciones que preservan la orientación del tiempo son ortocrónicas y satisfacen: Λ=-1{\ Displaystyle \ Lambda = -1}

Λ00≥+1{\ displaystyle {\ Lambda ^ {0}} _ {0} \ geq +1}

El grupo de Lorentz restringido se limita a transformaciones propias y ortocrónicas. El grupo de Lorentz completo se obtiene del grupo de Lorentz restringido mediante la introducción de operadores discretos de paridad e inversión de tiempo .

Propiedades

• El grupo de Lorentz restringido es un grupo de Lie con 6 parámetros (3 parámetros para rotaciones y 3 para refuerzos ). Cualquier transformación se desglosa de forma única como el producto de un impulso y una rotación espacial  :Λ{\ Displaystyle \ Lambda} L{\ Displaystyle L}R{\ Displaystyle R}

Λ=L⋅R{\ Displaystyle \ Lambda = L \ cdot R}

• La composición de dos rotaciones espaciales da una rotación espacial. El conjunto de rotaciones espaciales forma un subgrupo isomorfo al grupo de rotaciones .ENTONCES⁡(3){\ Displaystyle \ operatorname {SO} (3)}
• La composición de dos impulsos de diferentes direcciones no da otro impulso , sino que equivale al producto de un impulso y una rotación (hablamos entonces de rotación de Thomas , o rotación de Wigner ). Por lo tanto, el conjunto de refuerzos no forma un subgrupo.
• La composición de dos impulsos en la misma dirección da otro impulso (en este caso, son las velocidades de los dos impulsos las que se suman, y no sus velocidades). Todos los impulsos en la misma dirección forman un subgrupo de un parámetro.

Clasificación de transformaciones

El grupo de Lorentz restringido es isomorfo al grupo de Möbius , que corresponde al grupo de simetría de transformaciones conformes de la esfera de Riemann . Sus elementos, además de la identidad, se pueden dividir en clases de conjugación  : ENTONCES0⁡(1,3){\ Displaystyle \ operatorname {SO} _ {0} (1,3)} METRO(VS^){\ Displaystyle {\ mathcal {M}} ({\ widehat {\ mathbb {C}}})}

• Transformaciones elípticas  : esta clase incluye rotaciones del sistema de coordenadas a lo largo de un eje que pasa por el origen.

Ejemplo: Rotación de ángulo alrededor del eje . θ{\ Displaystyle \ theta}X{\ Displaystyle x}Λ=(1000010000porque⁡θ-pecado⁡θ00pecado⁡θporque⁡θ){\ displaystyle \ Lambda = {\ begin {pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \ cos \ theta & - \ sin \ theta \\ 0 & 0 & \ sin \ theta & \ cos \ theta \ end {pmatrix}}}

• Transformaciones hiperbólicas  : esta clase incluye transformaciones especiales de Lorentz, dejando un plano del espacio sin cambios.

Ejemplo: aumento de velocidad a lo largo del eje (con ), correspondiente a una rotación hiperbólica . v{\ Displaystyle v}X{\ Displaystyle x}-vs<v<vs {\ Displaystyle -c <v <c ~} ψ=argth⁡(v/vs){\ Displaystyle \ psi = \ operatorname {argth} (v / c)}Λ=(aporrear⁡ψpecado⁡ψ00pecado⁡ψaporrear⁡ψ0000100001){\ Displaystyle \ Lambda = {\ begin {pmatrix} \ cosh \ psi & \ sinh \ psi & 0 & 0 \\\ sinh \ psi & \ cosh \ psi & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \ \ 0 & 0 & 0 & 1 \ end {pmatrix}}}

• Transformaciones loxodrómicas (o quadrivis ): Transformaciones que combinan una transformación de Lorentz especial de una dirección dada y una rotación en el plano que es ortogonal a ella. Se caracterizan por el ángulo y la velocidad .

Ejemplo: Quadriscrew que combina una rotación hiperbólica de rapidez a lo largo del eje y una rotación espacial de ángulo alrededor del eje . ψ{\ Displaystyle \ psi}X{\ Displaystyle x}θ{\ Displaystyle \ theta}X{\ Displaystyle x}Λ=(aporrear⁡ψpecado⁡ψ00pecado⁡ψaporrear⁡ψ0000porque⁡θ-pecado⁡θ00pecado⁡θporque⁡θ){\ displaystyle \ Lambda = {\ begin {pmatrix} \ cosh \ psi & \ sinh \ psi & 0 & 0 \\\ sinh \ psi & \ cosh \ psi & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \ cos \ theta & - \ sin \ theta \\ 0 & 0 & \ sin \ theta & \ cos \ theta \ end {pmatrix}}}

• Transformaciones parabólicas (o rotaciones de luz ): Transformaciones que dejan invariante un plano del espacio de Minkowski tangente al cono de luz .

Ejemplo: Rotación de luz de parámetro real . Un fotón de cuatro momentos que se propaga a lo largo del eje de en la dirección positiva no se ve afectado por la transformación (esta dirección de luz invariante es única para cada rotación de luz). α{\ Displaystyle \ alpha} PAG=(pag,pag,0,0){\ Displaystyle \ mathbf {P} = (p, p, 0,0)}X{\ Displaystyle x}Λ=(1+2α2-2α22α02α21-2α22α02α-2α100001){\ Displaystyle \ Lambda = {\ begin {pmatrix} 1 + 2 \ alpha ^ {2} & - 2 \ alpha ^ {2} & 2 \ alpha & 0 \\ 2 \ alpha ^ {2} & 1-2 \ alpha ^ {2} & 2 \ alpha & 0 \\ 2 \ alpha & -2 \ alpha & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \ end {pmatrix}}}

Nota: Cualquier transformación del grupo de Lorentz restringido es necesariamente un quadriscrew o una rotación ligera. Los otros tipos de transformaciones pueden verse como casos límite de estas últimas.

Vincular con el grupo SL⁡(2,VS){\ Displaystyle \ operatorname {SL} (2, \ mathbb {C})}

El grupo especial lineal es el grupo de recubrimiento universal del grupo restringido de Lorentz . Por lo tanto, cualquier transformada de Lorentz restringida puede condensarse y reescribirse como una matriz compleja de 2 × 2 . SL⁡(2,VS){\ Displaystyle \ operatorname {SL} (2, \ mathbb {C})}ENTONCES0⁡(1,3){\ Displaystyle \ operatorname {SO} _ {0} (1,3)}

Estas matrices actúan sobre el espacio de Minkowski identificando cada evento mediante una matriz hermitiana de 2 × 2 . Tomando como base las matrices de Pauli  : (t,X,y,z){\ Displaystyle (t, x, y, z)}

X=[vst+zX-IyX+Iyvst-z]=vst11+XσX+yσy+zσz,{\ Displaystyle X = {\ begin {bmatrix} ct + z & x-iy \\ x + iy & ct-z \ end {bmatrix}} = ct1 \! \! 1 + x \ sigma _ {x} + y \ sigma _ {y} + z \ sigma _ {z},}

Con esta notación, el cálculo del determinante revela la forma cuadrática invariante correspondiente a la pseudo-norma relativista:

detX=vs2t2-X2-y2-z2,{\ Displaystyle \ det \, X = c ^ {2} t ^ {2} -x ^ {2} -y ^ {2} -z ^ {2},}

La matriz de asociada con una transformación de Lorentz determinada actúa sobre este evento a través de: SL⁡(2,VS){\ Displaystyle \ operatorname {SL} (2, \ mathbb {C})}

X↦PAGXPAG∗ .{\ Displaystyle X \ mapsto PXP ^ {*} ~.}

donde es la matriz asistente de . Esta transformación conserva el valor del determinante y, por tanto, la estructura del espacio de Minkowski. PAG∗{\ Displaystyle P ^ {*}}PAG{\ Displaystyle P}

La operación que asocia una transformación de Lorentz con cualquier matriz se llama mapeo de espino o morfismo de espino . El interés de esta relación proviene del hecho de que determinadas propiedades de pueden deducirse del estudio de las conocidas propiedades de . En particular, sus álgebras de Lie son similares, lo que facilita el estudio de las representaciones del grupo de Lorentz. SL⁡(2,VS){\ Displaystyle \ operatorname {SL} (2, \ mathbb {C})}ENTONCES0⁡(1,3){\ Displaystyle \ operatorname {SO} _ {0} (1,3)}SL⁡(2,VS){\ Displaystyle \ operatorname {SL} (2, \ mathbb {C})}

Algunos ejemplos de matrices y su imagen enSL⁡(2,VS){\ Displaystyle \ operatorname {SL} (2, \ mathbb {C})}ENTONCES0⁡(1,3){\ Displaystyle \ operatorname {SO} _ {0} (1,3)}

	Rotación espacial	Transf. de Lorentz especial	Quadrivis	Rotación de luz
SL⁡(2,VS){\ Displaystyle \ operatorname {SL} (2, \ mathbb {C})}	(porque⁡θ2-Ipecado⁡θ2-Ipecado⁡θ2porque⁡θ2){\ Displaystyle {\ begin {pmatrix} \ cos {\ frac {\ theta} {2}} & - i \ sin {\ frac {\ theta} {2}} \\ - i \ sin {\ frac {\ theta } {2}} & \ cos {\ frac {\ theta} {2}} \ end {pmatrix}}}	(aporrear⁡ψ2pecado⁡ψ2pecado⁡ψ2aporrear⁡ψ2){\ Displaystyle {\ begin {pmatrix} \ cosh {\ frac {\ psi} {2}} & \ sinh {\ frac {\ psi} {2}} \\\ sinh {\ frac {\ psi} {2} } & \ cosh {\ frac {\ psi} {2}} \ end {pmatrix}}}	(aporrear⁡ψ-Iθ2pecado⁡ψ-Iθ2pecado⁡ψ-Iθ2aporrear⁡ψ-Iθ2){\ Displaystyle {\ begin {pmatrix} \ cosh {\ frac {\ psi -i \ theta} {2}} & \ sinh {\ frac {\ psi -i \ theta} {2}} \\\ sinh {\ frac {\ psi -i \ theta} {2}} & \ cosh {\ frac {\ psi -i \ theta} {2}} \ end {pmatrix}}}	(1+Iα-IαIα1-Iα){\ Displaystyle {\ begin {pmatrix} 1 + i \ alpha & -i \ alpha \\ i \ alpha & 1-i \ alpha \ end {pmatrix}}}
ENTONCES0⁡(1,3){\ Displaystyle \ operatorname {SO} _ {0} (1,3)}	(1000010000porque⁡θ-pecado⁡θ00pecado⁡θporque⁡θ){\ Displaystyle \ scriptstyle {\ begin {pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \ cos \ theta & - \ sin \ theta \\ 0 & 0 & \ sin \ theta & \ cos \ theta \ end {pmatrix}}}	(aporrear⁡ψpecado⁡ψ00pecado⁡ψaporrear⁡ψ0000100001){\ Displaystyle \ scriptstyle {\ begin {pmatrix} \ cosh \ psi & \ sinh \ psi & 0 & 0 \\\ sinh \ psi & \ cosh \ psi & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \ end {pmatrix}}}	(aporrear⁡ψpecado⁡ψ00pecado⁡ψaporrear⁡ψ0000porque⁡θ-pecado⁡θ00pecado⁡θporque⁡θ){\ Displaystyle \ scriptstyle {\ begin {pmatrix} \ cosh \ psi & \ sinh \ psi & 0 & 0 \\\ sinh \ psi & \ cosh \ psi & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \ cos \ theta & - \ sin \ theta \\ 0 & 0 & \ sin \ theta & \ cos \ theta \ end {pmatrix}}}	(1+2α2-2α22α02α21-2α22α02α-2α100001){\ Displaystyle \ scriptstyle {\ begin {pmatrix} 1 + 2 \ alpha ^ {2} & - 2 \ alpha ^ {2} & 2 \ alpha & 0 \\ 2 \ alpha ^ {2} & 1-2 \ alpha ^ {2} & 2 \ alpha & 0 \\ 2 \ alpha & -2 \ alpha & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \ end {pmatrix}}}

Nota: La aplicación spinor es sobreyectiva. A cualquier transformación de Lorentz restringida corresponde una matriz de y su opuesto (hablamos de un recubrimiento de dos hojas).SL⁡(2,VS){\ Displaystyle \ operatorname {SL} (2, \ mathbb {C})}

El grupo Lorentz completo

El grupo completo de Lorentz es un subgrupo del grupo completo de Poincaré que une todas las isometrías afines del espacio de Minkowski . El grupo de Poincaré también incluye las traducciones estáticas del origen, por lo que a veces se le llama grupo de Lorentz afín o no homogéneo . O⁡(1,3){\ Displaystyle \ operatorname {O} (1,3)}R1,3⋊O⁡(1,3){\ Displaystyle R ^ {1,3} \ rtimes \ operatorname {O} (1,3)}

El grupo de Lorentz homogéneo es un grupo lineal cerrado, es un grupo de Lie no compacto y no conectado de dimensión 6 . A diferencia del grupo de Lorentz restringido, el tiempo se puede invertir ( Simetría T ), así como las coordenadas espaciales ( Paridad ). Estas simetrías adicionales conducen en particular a aplicaciones en mecánica cuántica .

Representaciones del grupo Lorentz

Las transformaciones del grupo de Lorentz están representadas por matrices de 4 × 4 que actúan sobre cuadrivectores . Sin embargo, se puede desear aplicar estas transformaciones a objetos de diferente naturaleza, como escalares (masa, tiempo natural , intervalo espacio-temporal , etc.), tensores (campo electromagnético) o incluso espinores . Entonces debemos utilizar una representación adaptada del grupo de Lorentz.

Así, para cualquier objeto (relacionado con un vector de dimensión ), los cambios de coordenadas se escriben: F{\ Displaystyle F}no{\ Displaystyle n}

F′=Π(Λ)F{\ Displaystyle F '= \ Pi (\ Lambda) F}

donde es una representación del grupo que describe las transformaciones en forma de matrices . Se dice que la cantidad es covariante . Π{\ Displaystyle \ Pi}Λ{\ Displaystyle \ Lambda}no×no{\ Displaystyle n \ times n}F{\ Displaystyle F}

Ejemplos  :

• Tomemos una cantidad escalar como la masa propia de un cuerpo. Siendo invariable esta cantidad por cambio de marco de referencia, la representación asociada es la representación trivial (en otras palabras ).Π(Λ)≡1{\ Displaystyle \ Pi (\ Lambda) \ equiv 1}

• La transformación del campo electromagnético también requiere el uso de una representación adaptada del grupo de Lorentz. En la relatividad especial, los campos eléctrico y magnético no pueden considerarse de hecho como dos objetos físicos separados. No es posible aplicar ingenuamente las transformaciones de Lorentz al campo eléctrico y luego al campo magnético de forma independiente: el campo electromagnético debe verse como un solo tensor dotado de seis componentes independientes. Por tanto, el grupo de Lorentz se puede representar mediante matrices que actúan sobre un vector de campo de 6 dimensiones:6×6{\ Displaystyle 6 \ times 6}

F′=[mi′1mi′2mi′3B′1B′2B′3]=[Π(Λ)00Π(Λ)10Π(Λ)20Π(Λ)30Π(Λ)40Π(Λ)50Π(Λ)01Π(Λ)11Π(Λ)21Π(Λ)31Π(Λ)41Π(Λ)51Π(Λ)02Π(Λ)12Π(Λ)22Π(Λ)32Π(Λ)42Π(Λ)52Π(Λ)03Π(Λ)13Π(Λ)23Π(Λ)33Π(Λ)43Π(Λ)53Π(Λ)04Π(Λ)14Π(Λ)24Π(Λ)34Π(Λ)44Π(Λ)54Π(Λ)05Π(Λ)15Π(Λ)25Π(Λ)35Π(Λ)45Π(Λ)55][mi1mi2mi3B1B2B3]{\ displaystyle F '= {\ begin {bmatrix} {E'} _ {} ^ {1} \\ {E '} _ {} ^ {2} \\ {E'} _ {} ^ {3} \ \ {B '} _ {} ^ {1} \\ {B'} _ {} ^ {2} \\ {B '} _ {} ^ {3} \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix } \ Pi (\ Lambda) _ {0} ^ {0} & \ Pi (\ Lambda) _ {1} ^ {0} & \ Pi (\ Lambda) _ {2} ^ {0} & \ Pi (\ Lambda) _ {3} ^ {0} & \ Pi (\ Lambda) _ {4} ^ {0} & \ Pi (\ Lambda) _ {5} ^ {0} \\\ Pi (\ Lambda) _ { 0} ^ {1} & \ Pi (\ Lambda) _ {1} ^ {1} & \ Pi (\ Lambda) _ {2} ^ {1} & \ Pi (\ Lambda) _ {3} ^ {1 } & \ Pi (\ Lambda) _ {4} ^ {1} & \ Pi (\ Lambda) _ {5} ^ {1} \\\ Pi (\ Lambda) _ {0} ^ {2} & \ Pi (\ Lambda) _ {1} ^ {2} & \ Pi (\ Lambda) _ {2} ^ {2} & \ Pi (\ Lambda) _ {3} ^ {2} & \ Pi (\ Lambda) _ {4} ^ {2} & \ Pi (\ Lambda) _ {5} ^ {2} \\\ Pi (\ Lambda) _ {0} ^ {3} & \ Pi (\ Lambda) _ {1} ^ {3} & \ Pi (\ Lambda) _ {2} ^ {3} & \ Pi (\ Lambda) _ {3} ^ {3} & \ Pi (\ Lambda) _ {4} ^ {3} & \ Pi (\ Lambda) _ {5} ^ {3} \\\ Pi (\ Lambda) _ {0} ^ {4} & \ Pi (\ Lambda) _ {1} ^ {4} & \ Pi (\ Lambda ) _ {2} ^ {4} & \ Pi (\ Lambda) _ {3} ^ {4} & \ Pi (\ Lambda) _ {4} ^ {4} & \ Pi (\ Lambda) _ {5} ^ {4} \\\ Pi (\ Lambda) _ {0} ^ {5} & \ Pi (\ Lambda) _ {1} ^ {5} & \ Pi (\ Lambda) _ {2} ^ {5} & \ Pi (\ Lambda) _ {3} ^ {5} & \ Pi (\ Lambda) _ {4} ^ {5} & \ Pi (\ Lambda) _ {5} ^ {5} \ end {bmatrix} } {\ begin {bmatr ix} {E} _ {} ^ {1} \\ {E} _ {} ^ {2} \\ {E} _ {} ^ {3} \\ {B} _ {} ^ {1} \\ {B} _ {} ^ {2} \\ {B} _ {} ^ {3} \ end {bmatrix}}}Nota: En la práctica, el campo electromagnético generalmente se expresa en forma tensorial , con:Fμ′ν′=Λμ′μΛν′νFμν.{\ Displaystyle F ^ {\ mu '\ nu'} = {\ Lambda ^ {\ mu '}} _ {\ mu} {\ Lambda ^ {\ nu'}} _ {\ nu} F ^ {\ mu \ nu}.}

• Los bispiners involucrados en la ecuación de Dirac son vectores de números complejos con 4 componentes. Sin embargo, las matrices originales del grupo de Lorentz son inapropiadas, incluso al limitarse a rotaciones. Por tanto, es necesaria una representación de espinor de las transformaciones de Lorentz.4×4{\ Displaystyle 4 \ times 4}4×4{\ Displaystyle 4 \ times 4}

Generalización en dimensión superior

El concepto del grupo de Lorentz se generaliza naturalmente a un espacio-tiempo dotado de cualquier número de dimensiones. Matemáticamente, el grupo de Lorentz de un espacio dimensional de Minkowski es el grupo (o ) de transformaciones lineales de las cuales preservan la forma cuadrática: no+1{\ Displaystyle n + 1}O⁡(1,no){\ Displaystyle \ operatorname {O} (1, n)}O⁡(no,1){\ Displaystyle \ operatorname {O} (n, 1)}Rno+1{\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {n + 1}}

(X0,X1,⋯,Xno)↦(X0)2-(X1)2-⋯-(Xno)2{\ Displaystyle (x_ {0}, x_ {1}, \ cdots, x_ {n}) \ mapsto (x_ {0}) ^ {2} - (x_ {1}) ^ {2} - \ cdots - ( x_ {n}) ^ {2}}

La mayoría de las propiedades del grupo de Lorentz de cuatro dimensiones (n = 3) se generalizan para valores arbitrarios de n. Los casos n = 1 y n = 2 sirven principalmente como modelos de estudio simplificados para el caso físico n = 3. Los casos de mayor dimensión se utilizan en teorías físicas que postulan la existencia de dimensiones ocultas, como la teoría de cuerdas , y en algunos modelos cosmológicos como el universo de De Sitter .

Notas y referencias

1. Más precisamente, es isomorfo al grupo proyectivo especial lineal .ENTONCES0⁡(1,3){\ Displaystyle \ operatorname {SO} _ {0} (1,3)}PSL⁡(2,VS)=SL⁡(2,VS)/{11,-11}{\ Displaystyle \ operatorname {PSL} (2, \ mathbb {C}) = \ operatorname {SL} (2, \ mathbb {C}) / \ {1 \! \! 1, -1 \! \! 1 \ }}
2. El término "completo" se usa aquí en el sentido de "sin restricciones", y no en el sentido matemático .

1. Gourgoulhon 2010 , cap.  6 , secc. 6.3 , §  6.3.6 , pág.  194, nota.
2. Gourgoulhon 2010 , cap.  6 , secc. 6.3 , §  6.3.5 , pág.  193, nota.
3. Taillet, Villain y Febvre 2018 , sv grupo de Lorentz, p.  349, col.  2 .
4. Choquet-Bruhat 1968 , cap.  III , pág.  98.
5. Gourgoulhon 2010 , cap.  7 , secc. 7.1 , §  7.1.2 , pág.  224.

Ver también

Bibliografía

• F. Paulin, Introducción a los grupos de mentiras para la física , notas de clase, segundo ciclo, 2016 ( leer en línea )
• [Gourgoulhon 2010] Éric Gourgoulhon ( pref.  De Thibault Damour ), Relatividad restringida: de las partículas a la astrofísica , Les Ulis y París, Ciencias EDP y CNRS , coll.  "Conocimientos físicos / actuales",Mayo de 2010, 1 st  ed. , 1  vol. , XXVI -776  p. , fig. , 15,5 × 23  cm ( ISBN  978-2-7598-0067-4 , EAN  9782759800674 , OCLC  690639994 , aviso BnF n o  FRBNF41411713 , SUDOC  14466514X , presentación en línea , leer en línea ).
• [Choquet-Bruhat 1968] Yvonne Choquet-Bruhat ( pref.  Con André Lichnerowicz ) Geometría diferencial y sistemas externos , París, Dunod , coll.  "Monografías universitarias de matemáticas" ( n o  28)1968, 1 st  ed. , 1  vol. , XVII -328  p. , enfermo. y fig. , gr. en-8 o , br. ( OCLC  301353407 , aviso BnF n o  FRBNF32950431 , SUDOC  006192696 , leer en línea ).
• [Taillet, Villain y Febvre 2018] Richard Taillet , Loïc Villain y Pascal Febvre , Diccionario de física , Louvain-la-Neuve, De Boeck Supérieur , exterior coll. / Ciencias,Ene. De 2018, 4 ª  ed. ( 1 st  ed. Mayo de 2008), 1  vol. , X -956  pág. , enfermo. , fig. , tabl. e índice, 17 × 24  cm , br. ( ISBN  978-2-8073-0744-5 , EAN  9782807307445 , OCLC  1022951339 , aviso BnF n o  FRBNF45646901 , SUDOC  224228161 , presentación en línea , leer en línea ) , sv groupe de Lorentz, p.  349.

Artículos relacionados

• Grupo Poincaré
• Relatividad
• Covarianza de Lorentz
• Invariancia de Lorentz
• Ecuaciones de Maxwell

enlaces externos

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