Representación grupal

En matemáticas , una representación de grupo describe a un grupo haciéndolo actuar sobre un espacio vectorial de forma lineal . En otras palabras, tratamos de ver al grupo como un grupo de matrices , de ahí el término representación . Podemos así, a partir de las relativamente conocidas propiedades del grupo de automorfismos del espacio vectorial , llegar a deducir algunas propiedades del grupo.

Este es uno de los conceptos importantes de la teoría de la representación .

Definiciones

O G grupo, K un campo conmutativa y V un espacio vectorial sobre K . Llamamos representación del grupo G a una acción lineal de G sobre V , en otras palabras, un morfismo de grupos de G en el grupo lineal GL ( V ) . Más explícitamente, es una aplicación

\ rho ~: ~ G \ to \ mathrm {GL} (V) \ quad \ text {tal que} \ quad \ rho (g_1) \ circ \ rho (g_2) = \ rho (g_1 g_2).

Para que un mapa ρ de G en el espacio de endomorfismos de V que satisfaga ρ ( g 1 ) ∘ρ ( g 2 ) = ρ ( g 1 g 2 ) sea de hecho con valores en GL ( V ), basta que uno de ρ ( g ) es un automorfismo.

Para escribir la acción de un elemento g del grupo sobre un elemento v del espacio vectorial mediante la representación ρ, a veces denotamos ρ ( g ) ( v ), ρ ( g ). v o incluso gv si no hay ambigüedad. A veces denotamos una representación ( V , ρ). A veces también se dice (y incorrectamente) que V es una representación de G .

Un morfismo de representaciones de G , u "operador de entrelazado", de una representación ( V , ρ) a una representación ( W , σ), es un mapa lineal K φ de V a W tal que para cualquier g perteneciente a G tenemos

\ varphi \ circ \ rho (g) = \ sigma (g) \ circ \ varphi.

Φ se dice también que es entonces un morfismo G -équivariant de V en W .

Un caso importante es aquel donde φ es un isomorfismo : se dice que las representaciones ( V , ρ) y ( W , σ) son isomorfas o equivalentes si existe un isomorfismo φ de V a W que es G -equivalente, es decir - es decir, que satisface, para cualquier g perteneciente a G :

\ rho (g) = \ varphi ^ {- 1} \ circ \ sigma (g) \ circ \ varphi.

V y W tienen entonces la misma dimensión .

Ejemplos de

La unidad de representación de G en el vector derecha K es uno que cualquier elemento de G asocia la identidad de K .
Si G es un subgrupo de GL n ( K ), G actúa naturalmente sobre K n . La representación asociada se denomina representación estándar.
Si G es el grupo cíclico acabado ℤ / n ℤ, los datos de una representación de G en V es equivalente a la selección de un elemento f GL ( V ) tal que f n = id V .
A partir de una acción de G sobre un conjunto X , podemos definir una representación de G en el espacio K X de los mapas de X en K , planteando:(ρ(gramo)(F))(X)=F(gramo-1.X){\ Displaystyle \ left (\ rho (g) (f) \ right) (x) = f (g ^ {- 1} .x)} $\ izquierda (\ rho (g) (f) \ derecha) (x) = f (g ^ {- 1} .x)$ y restringirlo a varios subespacios estables , como:
- el subespacio K ( X ) de los mapeos de soporte finito, cuya base canónica (δ x ) x ∈ X (donde δ denota el símbolo de Kronecker : δ x ( y ) es igual a 1 para y = x y es igual a 0 para otros y ∈ X ) se permuta por cada elemento del grupo: ρ ( g ) (δ x ) = δ gx . Para la acción izquierda de G sobre sí misma, la representación correspondiente de G sobre K ( G ) se denomina representación regular izquierda de G ;
- el subespacio de funciones continuas sobre X , si G es un grupo topológico y X un espacio topológico y si la acción es continua o incluso si solo tenemos, para todo g ∈ G , continuidad del mapa X → X , x ↦ gx .

Glosario de representaciones

Como cualquier acción grupal, se dice que la representación es fiel (en) si el morfismo ρ es inyectivo . Esta noción es diferente de la de módulo fiel : el espacio vectorial K de la representación es un módulo en el álgebra K [ G ] del grupo G ( cf. infra ), si este módulo es fiel, entonces la representación de G es fiel. , pero lo contrario es falso.
Se dice que la representación es matricial si el espacio V es de la forma K n para un cierto número natural n , en cuyo caso el grupo (GL ( V ), ∘) se identifica canónicamente con el grupo GL n ( K ) de cuadrado matrices d 'orden n con coeficientes invertibles en K (en otras palabras: de determinante distinto de cero), provistas del producto matricial . A través de esta identificación, dos representaciones de la matriz R y S son equivalentes si y sólo si existe una matriz invertible P tal que para cada elemento g de G , R g = P -1 S g P .
La dimensión de V se llama grado de representación. Si V es de dimensión finita n (que siempre se asume implícitamente en la teoría de las representaciones de un grupo finito ), la representación es equivalente a una representación de la matriz, a través de la elección arbitraria de un φ isomorfismo de K n en V .

Detalles

Sea (e i ) i = 1, ..., n la imagen por φ de la base canónica de K n . Los datos de esta base de V permiten asociar con cada endomorfismo a de V una matriz cuadrada de orden n , cuyos coeficientes a ij son los elementos de K dados por las siguientes igualdades:

\ forall j \ in [\! [1; n] \!] \ quad a (e_j) = \ sum_ {i = 1} ^ n a_ {i, j} \ cdot e_i

La aplicación que a un endomorfismo un asocia la matriz definida anteriormente es un isomorfismo de anillos , del anillo de L ( V ) de los endomorfismos de V en que, M n ( K ), de matrices cuadradas de orden n con coeficientes en K . Este morfismo induce un isomorfismo de grupo entre los grupos de los invertibles de estos dos anillos: los grupos GL ( V ) y GL n ( K ). Por composición con este isomorfismo de grupo, cualquier representación de G en V es equivalente a una representación matricial, con φ para el isomorfismo entrelazado.

Un subrepresentación de ( V , ρ ) es la representación ( W , σ) obtenido por la restricción a un subespacio W estable bajo la acción de G .

Detalles

Suponemos que para cualquier elemento g de G , W es estable por ρ ( g ). Uno puede entonces definir cada σ endomorphism ( g ) de W como el ρ de restricción ( g ) a W . La σ ( g ) verifica σ ( g 1 ) ∘σ ( g 2 ) = σ ( g 1 g 2 ) y la imagen por σ del elemento neutro de G es la restricción a W de la identidad de V , por lo tanto es la identidad de W , que es un automorfismo de W . Las condiciones suficientes que se cumplan de manera que σ es una representación de G en W .

Una representación de la no-cero grados se dice que es irreducible si no admitir cualquier otra sub-representación de sí mismo y la representación de grado cero, en otras palabras, si V no tiene un subespacio adecuado estable por la acción de G . En términos matriciales, esto significa que no se puede encontrar una base en la que la representación de G esté dada por matrices que tengan la misma estructura de bloque triangular superior (con al menos dos bloques diagonales).
La suma directa de una familia de representaciones ( V i , ρ i ) de G es la representación ρ en el espacio vectorial suma directa de V i definida por: ρ ( g ) = ⊕ i ρ i ( g ). En términos matriciales, esto significa que al yuxtaponer las bases de V i para formar una base de su suma directa, la representación ρ se realiza mediante matrices diagonales por bloques, correspondiendo cada bloque a una de las representaciones ρ i .
Se dice que una representación es completamente reducible si es una suma directa de representaciones irreductibles.
Se dice que dos representaciones son inconexas si no tienen un componente irreductible común o si no hay un morfismo distinto de cero entre ellas.
Si V es un espacio de Hilbert cuyo producto escalar es invariante bajo la acción de G , decimos que la representación es unitaria (in) .
Si G es un grupo topológico y V es un espacio vectorial topológico , ρ es una representación lineal continua de G si el mapa G × V → V , ( g , v ) ↦ gv es continuo .

Enlace con los módulos K [ G ]

El K -algebra de G , denotado K [ G ] y consiste en finito lineal combinaciones formales de elementos de G con coeficientes en K es un K álgebra asociativa cuya multiplicación naturalmente se extiende la ley del grupo G .

Entonces podemos extender, y esto de una manera única, la representación ρ en un morfismo de K -álgebras desde K [ G ] hasta Fin ( V ), estableciendo

\ rho \ left (\ sum_ {g \ in G} a_gg \ right) = \ sum_ {g \ in G} a_g \ rho (g).

Esto hace que V sea un módulo K [ G ] . También se dice que V es un módulo G (en) .

Por el contrario, dada una K [ G ] -module proporciona una representación de G .

A través de este "diccionario":

un morfismo de representaciones corresponde a un morfismo de módulos K [ G ];
la representación regular (ver sección “Ejemplos” arriba) corresponde a la estructura natural de K [ G ] vista como un módulo a la izquierda de sí mismo;
una representación ( V , ρ) es irreducible si y solo si V es simple como un módulo K [ G ];
es completamente reducible si y solo si V es semi-simple .

Irreducibilidad

El hecho de considerar representaciones irreductibles permite simplificar en gran medida ciertos razonamientos: por ejemplo, según el lema de Schur , un morfismo entre dos módulos simples es cero o invertible.

A menudo puede llevar el estudio de las representaciones de G para el estudio de sus representaciones irreducibles: si V no es irreductible, que siempre se puede considerar un subespacio de V que es estable en el G . Si V es de dimensión finita, podemos acabar encontrando un submódulo simple.

Teorema de Maschke - Si G es un grupo finito cuyo orden no es divisible por la característica de K , entonces cualquiermódulo K [ G ] es semi-simple (o equivalentemente: cualquier representación de G en unespacio de K -vector es completamente reducible) .

Este teorema se generaliza parcialmente a representaciones continuas de grupos compactos .

Si G es un grupo finito, cualquier representación irreducible compleja (de grado finito) de G es equivalente a una subrepresentación de la representación regular.

Ver también

Representación proyectiva
Representación afín (en)