La conjetura de Poincaré fue una conjetura matemática en el campo de la topología algebraica relacionada con la caracterización de una variedad particular, la esfera tridimensional ; lo demostró en 2003 el ruso Grigori Perelman . Por tanto, también se le puede llamar "teorema de Perelman".
Hasta entonces, era parte de los problemas de Smale y los siete " problemas del Premio del Milenio " identificados y tasados en 2000 por el Instituto Clay de Matemáticas . En 2006, esta demostración fue validada con la atribución de una medalla Fields a Grigori Perelman (quien la rechazó); Además, en marzo de 2010, el Instituto Clay otorgó oficialmente el premio correspondiente a Perelman, que también rechazó, por "desacuerdo con las decisiones de la comunidad matemática".
La pregunta fue formulada por primera vez por Henri Poincaré en 1904 y dice lo siguiente:
Cada compacto de 3 colectores sin límite y simplemente conectado, ¿ es homeomórfico a las 3 esferas ?Poincaré añadió, con gran clarividencia, un comentario: "pero esta pregunta nos llevaría demasiado lejos" .
Más comúnmente, se trata de determinar si un " objeto tridimensional " dado que tiene las mismas propiedades que las de una esfera 3D (en particular, todos los bucles se pueden "apretar" en un punto ) es de hecho solo una deformación de ' una esfera tridimensional (la esfera ordinaria, la superficie en el espacio ordinario, tiene solo dos dimensiones).
Ningún 3-múltiple sin bordes que no sea ( espacio ordinario , no compactado) se puede dibujar limpiamente como un objeto en un espacio tridimensional ordinario. Ésta es una de las razones por las que es difícil visualizar mentalmente el contenido de la conjetura.
Hacia fines de 2002, las publicaciones sobre arXiv de Grigory Perelman del Instituto Steklov de Matemáticas en San Petersburgo sugieren que pudo haber encontrado pruebas de la " conjetura de geometrización " (ver más abajo ), implementando un programa descrito anteriormente por Richard S. Hamilton . En 2003 publicó un segundo informe y dio una serie de conferencias en Estados Unidos . En 2006, un consenso de expertos concluyó que el trabajo reciente de Perelman en 2003 resolvió este problema, casi un siglo después de su primera declaración. Este reconocimiento fue anunciado oficialmente en el Congreso Internacional de Matemáticos el 22 de agosto de 2006 en Madrid , durante el cual se le otorgó la Medalla Fields junto con otros tres matemáticos. Sin embargo, Perelman rechazó la medalla e insinuó que también rechazaría el Premio Clay . Este premio le fue otorgado el 18 de marzo de 2010, junto con un premio de un millón de dólares, y efectivamente lo rechazó. Según Aleksandr Zabrovsky , quien afirma haber obtenido una entrevista con él, le dijo al periódico Komsomolskaya Pravda el 29 de abril de 2011 :
"¿Por qué tardé tantos años en resolver la conjetura de Poincaré?" Aprendí a detectar vacíos. Con mis colegas, estamos estudiando mecanismos para llenar los vacíos sociales y económicos. Los vacíos están por todas partes. Podemos detectarlos y eso da muchas posibilidades… Sé cómo manejar el Universo. Dime entonces, ¿cuál es el punto de perseguir un millón de dólares? "Pero esta afirmación de Zabrovsky es controvertida, y varios periodistas niegan la autenticidad de esta entrevista.
Si bien la conjetura condujo a una larga lista de demostraciones incorrectas, algunas de ellas llevaron a una mejor comprensión de la topología de pequeñas dimensiones.
Su resolución está relacionada con el problema de la clasificación de variedades tridimensionales Una clasificación de variedades tridimensionales se considera generalmente como la producción de una lista de todas las variedades tridimensionales hasta un homeomorfismo (sin repetición).
Tal clasificación es equivalente a un algoritmo de reconocimiento, que podría verificar si dos variedades tridimensionales son homeomórficas o no.
Por tanto, la conjetura de Poincaré puede considerarse como un caso especial de la conjetura de geometrización de Thurston . Esta última conjetura, una vez probada (lo que hizo Perelman en 2003), completa la cuestión de la clasificación de variedades tridimensionales.
Las únicas partes de la conjetura de la geometrización que quedaron por demostrar después de su formulación por Thurston alrededor de 1980 se denominaron conjetura de "hiperbolización" y conjetura de "eliptización".
La conjetura de la "eliptización" establece que cualquier variedad tridimensional cerrada que tenga un grupo fundamental finito tiene una geometría esférica, es decir, está cubierta por la esfera tridimensional . La conjetura de Poincaré corresponde al caso donde el grupo fundamental es trivial.
También se pueden formular conjeturas similares a las de Poincaré en dimensiones distintas a 3:
Cualquier variedad compacta de dimensión n que sea homotópicamente equivalente a la esfera unitaria es homeomórfica a la esfera unitaria.La conjetura de Poincaré dada anteriormente aparece como el caso particular n = 3.
La dificultad de la baja dimensión en topología se ve acentuada por el hecho de que se han probado todos los resultados similares:
mientras que la versión tridimensional original de la conjetura de Poincaré quedó sin resolver.