En matemáticas , y más precisamente en topología , una aplicación abierta es una aplicación entre dos espacios topológicos enviando aberturas de uno a aberturas del otro. Asimismo, una aplicación cerrada envía cerrada desde el primer espacio a cerrada desde el segundo.
Sean dos espacios topológicos X e Y ; decimos que un mapa f de X a Y está abierto si para cualquier U abierta de X , la imagen f ( U ) está abierta en Y ; De manera similar, se dice que f está cerrado si para todo cerrado U de X , la imagen f ( T ) es cerrado en Y .
En ambos casos, no es necesario que f sea continuo ; aunque las definiciones pueden parecer similares, están abiertas o cerradas juegan un papel mucho menos importante en la topología que las aplicaciones continuas donde es la imagen inversa de cualquier abierto desde Y que debe ser una X abierta .
Se dice que un mapa f : X → Y es relativamente abierto si su corestricción X → f ( X ) está abierta.
Un mapa f : X → Y está abierto si y solo si para todo x de X y para todos los vecindarios U de x , f ( U ) es un vecindario de f ( x ).
Para mostrar una aplicación se abre, simplemente comprobarlo en una base del espacio inicial X . En otras palabras, f : X → Y está abierto si y solo si la imagen de f de cada abierto de una base de X está abierta.
Las aplicaciones abiertas y cerradas también se pueden caracterizar en términos de interiores y adherencias . Un mapa f : X → Y es:
El compuesto por dos aplicaciones abiertas está abierto, el compuesto por dos aplicaciones cerradas está cerrado.
El producto de dos corridas abiertas es abierto, pero, en general, el producto de dos corridas cerradas no es cerrado.
Para cualquier biyección f : X → Y, la biyección recíproca f −1 : Y → X es continua si y solo si f está abierta (o cerrada, que es equivalente para una biyección).
Si f : X → Y es un mapa continuo que está abierto o cerrado, entonces:
En los dos primeros casos, estar abierto o cerrado es solo una condición suficiente; también es una condición necesaria en el último caso.
A menudo es útil tener términos y condiciones que garanticen que una aplicación esté abierta o cerrada. Los siguientes resultados se encuentran entre los más utilizados.
Cualquier aplicación continua desde un espacio compacto a un espacio separado está (limpia por lo tanto) cerrada.
En análisis funcional , el teorema de Banach-Schauder (también conocido como el teorema del mapa abierto) dice que cualquier operador lineal continuo sobreyectivo entre espacios de Banach es un mapa abierto.
En el análisis complejo , el teorema de la imagen abierta dice que cualquier función holomórfica no constante definida en un abierto conectado del plano complejo es un mapa abierto.
En geometría diferencial , parte del teorema de inversión local dice que una función continuamente diferenciable entre espacios euclidianos, cuya matriz jacobiana es invertible en un punto dado, es una aplicación abierta en una vecindad de este punto. De manera más general, si un mapa F : U → R m de un U ⊂ R n abierto en R m es tal que la diferencial d F ( x ) es sobreyectiva en cualquier punto x ∈ U , entonces F es un mapa abierto.
Finalmente, el teorema de invariancia de dominio (debido a Brouwer , y usando su famoso teorema de punto fijo ) dice que un mapa continuo y localmente inyectivo entre dos variedades topológicas de la misma dimensión finita está abierto.
N. Bourbaki , Elementos de las matemáticas, libro III: Topología general [ detalle de las ediciones ], Cap. Yo, § 5