Base (topología)

En matemáticas , la base de una topología es un conjunto de aberturas de modo que cualquier abertura de la topología sea una reunión de elementos de este conjunto. Este concepto es útil porque muchas propiedades de una topología se pueden rastrear hasta declaraciones sobre una de sus bases y muchas topologías son fáciles de definir por los datos de una base.

Definiciones

Sea ( X , T ) un espacio topológico .

Un retículo de T es un conjunto N de partes de X tal que cualquier U abierta de T es una unión de elementos de N , en otras palabras: para cualquier punto x de U , existe en N una parte incluida en U y que contiene x .

Una base de T es una red formada por aberturas.

Propiedades

Un conjunto B de partes de X es una base de una topología en X si y solo si satisface las siguientes dos condiciones:

1. B es una superposición de X  ;
2. La intersección de dos elementos B es una unión (de cualquier número) de los elementos B .

Una condición suficiente para que 2. sea cierto es que B sea ​​estable por intersecciones finitas.

Si B controles 1. y 2., hay una única topología en X que B es una base: la topología generada por B . Sus aperturas son todas las reuniones de elementos de B y para cualquier O abierto , podemos hacer explícita la unión que forma O (en particular para evitar el axioma de elección ): O es la unión de todos los elementos de B que son incluido en O .

Si B es una base para una topología T , cualquier conjunto de T abierto que contenga B es un T básico .

Para cualquier topología T sobre X , un conjunto B de partes de X es una base de T si y solo si, para cualquier punto x de X , el subconjunto de los elementos de B que contienen x es una base de vecindades de x .

Objetos definidos en términos de bases

• Una topología de orden se define generalmente por una colección de conjuntos similares a intervalos abiertos.
• Una topología métrica se define generalmente por una colección de bolas abiertas .
• Un espacio de base contable tiene precisamente una base contable .
• Una topología discreta tiene una base formada por singletons .

Ejemplos de

En el conjunto ℝ de números reales  :

• El conjunto de intervalos abiertos forma una base de la topología habitual en ℝ. Incluso podemos limitarnos a intervalos cuyas extremidades sean racionales, haciendo ℝ un espacio con una base contable  ;
• Por otro lado, el conjunto de intervalos semi-infinitos de tipo] −∞ , a [o] a , + ∞ [, donde a es un número real, no es una base de una topología en ℝ. Por ejemplo,] −∞ , 1 [y] 0, + ∞ [de hecho pertenecen a este conjunto, pero su intersección] 0, 1 [no se puede expresar como una unión de elementos de este conjunto.

Peso y carácter

Definimos varias funciones cardinales de un espacio topológico ( X , T ) ( T a menudo estará implícito), entre las cuales:

• el peso de X , denotado w ( X ), como el cardinal más pequeño de una base de T ;
• su peso de celosía , anotado nw ( X ), como el cardenal más pequeño de una celosía  ;
• el carácter de un punto x de X , denotado χ ( x , X ), como el cardinal más pequeño de una base de vecindades de x ;
• el carácter de X , denotado χ ( X ), como el límite superior de todo χ ( x , X ).

Estos diferentes cardenales están vinculados por las siguientes propiedades:

• nw ( X ) ≤ w ( X );
• si X es discreto , entonces w ( X ) = nw ( X ) = | X | ;
• si X está separado , entonces nw ( X ) es finito si y solo si X es finito y discreto;
• cada base de T contiene una base de T del cardinal w ( X );
• toda base de vecindarios de un punto x contiene una base de vecindarios de x con cardinalidad χ ( x , X );
• para cualquier imagen continua Y de X , nw ( Y ) ≤ w ( X ) (porque la imagen de cualquier base de X es un retículo de Y );
• si ( X , T ) está separado, existe en X una topología separada menos fina T ' tal que w ( X , T' ) ≤ nw ( X , T ). A fortiori , si ( X , T ) es compacto , nw ( X ) = w ( X ) (según el primer punto y porque las dos topologías coinciden).

Estas nociones permiten, por ejemplo, demostrar nuevamente que cualquier imagen continua Y de un compacto X que se puede medir en una separada es metrizable (porque un compacto es metrizable si y solo si tiene una base contable , o Y es compacto por lo tanto w ( Y ) = nw ( Y ) ≤ w ( X ) ≤ ℵ 0 ).

• No existe una familia de aperturas estrictamente creciente (o una familia de aperturas estrictamente decreciente) indexada por w ( X ) + .
• También definimos el π -peso π w ( X ) como el más pequeño de un cardenal “  π -base”, es decir, de una familia de aberturas tal que cualquier abierta no vacío de X contiene un abierto de esta familia.

Notas y referencias

(fr) Este artículo está tomado parcial o totalmente del artículo de Wikipedia en inglés titulado "  Base (topología)  " ( consulte la lista de autores ) .

1. (en) Alexander Arhangelskii , "Red (de conjuntos en un espacio topológico)" en Michiel Hazewinkel , Encyclopedia of Mathematics , Springer ,2002( ISBN  978-1556080104 , leer en línea )
2. Esta equivalencia se demuestra, por ejemplo, en el capítulo "Conceptos básicos" de la lección "Topología general" sobre Wikiversidad .
3. (en) Ryszard Engelking , Topología general ,1977, p.  12, 127-128.
4. Para otras aplicaciones de muestra, consulte (en) AV Arkhangel'skii , "Característica cardinal" en Michiel Hazewinkel , Encyclopedia of Mathematics , Springer ,2002( ISBN  978-1556080104 , leer en línea ).
5. Para ver una demostración sin estas herramientas, consulte Propiedades de los espacios separables .
6. Arkhangel'skii, “Característica cardinal”, op. cit.