Matemáticas árabes

En la historia de las matemáticas , la expresión matemática árabes contribuciones de los matemáticos del mundo musulmán hasta mediados del XV °  siglo .

La ciencia árabe y en primer plano, las matemáticas , se desarrollan en el califato establecida en el Medio Oriente , en Asia Central , en el norte de África , España y el VIII º  siglo , en el sur de Francia. Los textos están escritos en árabe , que era uno de los idiomas de la ciencia y la cultura en ese momento, de ahí el uso de los términos "ciencias árabes" y "matemáticas árabes", sin tener en cuenta la lengua materna de los eruditos e independientemente de sus orígenes étnicos o religión.

Las matemáticas árabes se formaron mediante la asimilación de las matemáticas griegas y las matemáticas indias . También fueron influenciados por las matemáticas chinas y babilónicas antes de experimentar su propio desarrollo. Fue principalmente a través de sus traducciones al árabe y sus comentarios que Europa se enteró de las obras de los matemáticos indios. Investigaciones recientes han demostrado que muchas ideas, pensamos que nació en Europa XVI º , XVII ª o XVIII ° siglo, ya estaban presentes en las matemáticas griegas o fueron desarrollados por los matemáticos árabes, pero algunos n 'no tuvo seguimiento.

Historia

El Islam sabe desde el nacimiento hasta el VII º  rápido progreso siglo. En un siglo, los territorios musulmanes se extendieron desde España hasta Persia. La conquista de los territorios contra el Imperio bizantino llevó a la toma de Damasco , la invasión del valle mesopotámico y la toma de Alejandría en 641. A través de estas conquistas, el imperio musulmán tomó conciencia del conocimiento griego e indio.

Luego, durante un siglo, las luchas internas llevaron a la creación, hacia finales del siglo VIII después de la caída de los omeyas , de tres entidades políticas diferentes: abasíes en el este, idrisíes en Marruecos y omeyas en Córdoba . Este cisma explica en particular la existencia de varias grafías para los llamados números arábigos: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9: utilizado en Fez y Córdoba y ٠,١,٢, ٣,٤,٥,٦,٧,٨,٩: utilizado en Bagdad .

Fez, la capital cultural y espiritual de Marruecos, es el hogar de Quaraouiyine , el establecimiento educativo considerado hoy en día como el más antiguo del mundo que todavía está en funcionamiento.

Bagdad , una ciudad fundada por los califas abasíes para servir como capital del Imperio, se convirtió rápidamente en un centro cultural con la creación de una Casa de la Sabiduría en el reinado del califa al-Mamun (a partir de la IX °  siglo ). Allí se llevó a cabo un importante programa de traducción, primero del persa al árabe, luego del sánscrito o del griego al árabe. Los árabes establecen contactos con los romanos bizantinos de Constantinopla , y los califas árabes compran los manuscritos griegos en particular los Elementos de Euclides (que serán traducidos por Al-Hajjaj ) y la Gran composición matemática de Ptolomeo conocida como Almagest que da lugar a varios traducciones que incluyen la de Al-Hajjaj y la de Thabit ibn Qurra . También se vuelven accesibles y traducidas al árabe obras como las Cónicas de Apolonio , Sobre la esfera y el cilindro de Arquímedes , la Aritmética de Diofanto (traducida por Qusta ibn Luqa ), el Tratado sobre los espejos de Diocles , las Obras sobre la mecánica de Pappo de Alejandría, así como los tratados de Garza de Alejandría . Los matemáticos árabes también traducen textos sánscritos de la astronomía y las matemáticas indias como Surya Siddhanta y Brahma Sphuta Siddhanta (traducido por Muhammad al-Fazari ), Khandakhayaka de Brahmagupta y Aryabhatiya de Aryabhata .

Entre los miembros de la Casa de la Sabiduría se encuentra el matemático persa Al-Khwarizmi . Dos de los tratados han tenido un impacto significativo en las matemáticas europeas XII °  siglo . El primero, del que sólo se conserva la traducción latina, transmite la numeración decimal. El segundo tratado, Kitab fi'l-jabr wa'l-muqabala (Libro sobre restauración y confrontación) trata de manipulaciones de ecuaciones. El álgebra, una nueva disciplina de las matemáticas, seguirá floreciendo con la civilización islámica. También podemos citar a los hermanos Banu Musa y Thābit ibn Qurra (álgebra, traducción a Nicómaco y revisión de los elementos de Euclides, implementación de métodos infinitesimales para el cálculo de áreas, astronomía, trigonometría, teoría de números).

Matemáticas árabes están particularmente floreciendo durante el X º y XI th  siglos, durante los cuales muchos matemáticos profundizan las diferentes ramas de las matemáticas: Abu l-Wafa (traductor, álgebra, aritmética, trigonometría, geometría), Abu Nasr Mansur (trigonometría), Abu Kamil (álgebra), al-Battani (trigonometría), al-Karaji (álgebra), Ibn al-Hayttam conocido como Alhazen (álgebra, geometría, óptica), Omar Khayyam (álgebra, geometría), Sharaf al -Dīn al-Tūsī (álgebra )

La primera caída en la ciencia árabe comienza en el XII °  siglo , como resultado de los conflictos que dividen el mundo musulmán, pero hay, sin embargo, los matemáticos de renombre más allá de este período entre las que se incluyen Nasir al-Din al-Tusi al XII °  siglo (geometría) y al-Kashi a XV °  siglo (aritmética, álgebra, análisis numérico). Después de este último matemático, el número de contribuciones a las matemáticas medievales de los matemáticos árabes se vuelve insignificante. La influencia de Algazel en este declive fue presentada como decisiva por Neil deGrasse Tyson en su conferencia sobre la Edad de Oro islámica.

Número: escritura, cálculo, naturaleza.

Escritura

Varios sistemas de numeración coexistieron en el mundo árabe medieval.

De hecho, existe un sistema de numeración decimal multiplico-aditivo en el que las 9 unidades, las 9 decenas, las 9 centenas y las mil se identifican mediante 28 letras del alfabeto árabe tomadas en un cierto orden, el jummal. Luego se escribe un número como 3854, usando cinco letras, como 3 por 1000 más 800 más 50 más 4. Este sistema de numeración parece tener fuentes siríacas, permite en teoría escribir todos los números, pero parece que no se ha usado para números grandes. por lo que se prefiere la escritura sexagesimal . Este sistema de numeración está asociado con un sistema de cálculo mental llamado cálculo digital. En este sistema de numeración solo existen 8 tipos de fracciones: 1/2, 1/3, ..., 1/9, expresándose los demás por producto o suma de fracciones de este tipo. Las fracciones cuyo denominador tiene un factor primo distinto de 2, 3, 5, 7 se denominan fracciones sordas, es decir fracciones inexpresables a las que intentamos dar un valor aproximado.

También encontramos, principalmente en los escritos astronómicos, el sistema de numeración sexagesimal de los babilonios que parece llegar al mundo árabe por la ruta siríaca o persa.

Un sistema final reemplazará gradualmente a los dos anteriores. Es el sistema decimal posicional de origen indio que consta de nueve dígitos y cero. Uno de los primeros escritos árabes que lo describen es el libro sobre cálculo indio de al-Khwarizmi, del cual solo queda una versión latina incompleta. Este trabajo presenta el sistema de notación, el de las fracciones (fracciones indias a b ⁄ c , decimales y sexagesimales) así como las técnicas operativas (suma, resta, duplicación, división por dos, multiplicación, división, raíz cuadrada ). Un trabajo posterior de al-Uqlidisi también describe esta aritmética y hace un estudio comparativo de las tres aritméticas (india, sexagesimal, digital). También fue él quien perfeccionó el uso de la fracción decimal, utilizando un separador para distinguir la parte entera de la parte decimal. El cálculo indio luego se extendió por todo el mundo árabe con diferentes grafías en Occidente y Oriente.

Cálculos

La computación digital es un sistema de cálculo mental como el que se encuentra en el Imperio Bizantino y el Imperio Árabe, probablemente derivado del mundo comercial. Utiliza las articulaciones de los dedos para almacenar valores intermedios y también se conoce como aritmética de nudos (o hisāb al-'uqūd). Los métodos son simples para sumar y restar, pero son complicados para otras operaciones. Ha sido objeto de escritos, el más antiguo de los cuales en árabe es el de Abu al Wafa al-Buzjani, pero desaparece gradualmente con el desarrollo del cálculo indio.

El cálculo indio aporta una mejora significativa en particular en lo que respecta a la multiplicación, la suma y la extracción de la raíz cuadrada. Según la tradición india, los cálculos se realizaron en una tablilla de arena donde los cálculos intermedios se borraron a medida que avanzaban. Bajo el impulso de los matemáticos árabes, este sistema es reemplazado paulatina pero lentamente por cálculos con tinta y papel que permiten preservar y controlar los resultados intermedios. Así, el método de las casas (o la multiplicación por celos ) ya está presente en la obra de al-Uqlidisi . Los métodos de análisis numérico desarrollado a partir del XI °  siglo también se utiliza para encontrar valores aproximados más precisa para el cálculo de raíces (cuadrado, cubo , etc.). El astrónomo y matemático persa Al-Kashi marcó, calculando 16 lugares decimales de π , un paso en la sucesión de registros, a partir de los 3 lugares decimales calculados por Arquímedes .

Los libros de aritmética también presentan técnicas de cálculo representados en números ( número poligonal , números piramidales ), la serie aritmética y geométrica , de sumas de cuadrados , cubos o cuatro potencias de enteros primos. Hay una parte de la obra en la India o las fuentes griegas, pero el tratamiento de estos cálculos por Ibn Tahir , el andaluz al-Umawi  (en) ( XV °  siglo ) y al-Kashi parece ser original y permitir que su trabajo 'make es un todo coherente y explotable.

Naturaleza

Si se llama número al objeto sobre el que se realiza el cálculo, se puede notar durante estos siglos, una evolución en cuanto al estatuto del número.

Encontramos en al-Khwarizmi, como en los autores indios, reglas operativas relativas al cero, pero solo como un símbolo en la numeración decimal.

El número negativo también está presente en los coeficientes de polinomios. Esto lleva a al-Samaw'al a exponer reglas de signos idénticas a las existentes en las matemáticas indias, pero el resultado del cálculo, o la solución de la ecuación, permanece en el dominio de los números positivos.

El cambio más importante es en el tratamiento de cantidades irracionales de la X ª  siglo se están denomina número ( "  Adad  '), el número racional es'  muntica al-al-Adad  " e irracional " al-al-Adad summa  ”. Estamos asistiendo a una aritmetización de cantidades geométricas. Reglas de funcionamiento están dado concerniente a los irracionales cuadráticos ( un ± √ b , donde un y b son números racionales y donde b no es el cuadrado de un racional) y biquadratic (raíz cuadrada de números irracionales cuadráticos). Así, Abu Kamil da la siguiente regla operativa sobre la suma de dos irracionales cuadráticos: Estos irracionales intervienen, así como los números negativos, en Abu Kamil como coeficientes en ecuaciones de la misma forma que los números enteros o racionales. Los irracionales de raíces cúbicas o de raíces n - ésimas se calculan de manera aproximada y estas aproximaciones se utilizan en otros cálculos para construir tablas trigonométricas o para aproximar π. La pregunta sobre la naturaleza de los números y, en particular, sobre el estado que se concederá al cociente de dos magnitudes inconmensurables se plantean los matemáticos del XI °  siglo , al-Khayyam y Ibn Mu'adh que introduzca su número de la condición .

Álgebra

Al-jabr al-muqabala

Entre 813 y 830, al-Khwarizmi escribió su tratado Kitab al-jabr wa al-muqabala ( abreviatura de cálculo por restauración y comparación ) en el que presentó técnicas para resolver ecuaciones de primer y segundo grado. Comienza por definir los objetos de su estudio: los números, lo desconocido ( al-shay , la cosa), su cuadrado ( al-māl , el tesoro o el bien), lo desconocido también se designa como la raíz del bien ( jidhr ). A continuación, presenta las seis situaciones canónicas a las que podemos volver. La presentación de Al-Khwarizmi es completamente retórica y no requiere ninguna escritura simbólica, pero sus seis situaciones se pueden resumir en lenguaje moderno en estas 6 ecuaciones: con a, b, c números enteros positivos o números racionales.

Para cada uno de ellos, presenta un método de resolución cuya validez demuestra mediante el razonamiento geométrico utilizando áreas de rectángulos, cuadrados y gnomones . Las soluciones solo se buscan en números positivos. Estudia la condición de existencia de soluciones para la ecuación de tipo 5 (4ac menor que b²) y presenta las dos soluciones de esta ecuación cuando existen.

También muestra cómo volver a estas seis situaciones canónicas utilizando la técnica de restauración (agregando la misma cantidad a los dos miembros de la igualdad para llenar un vacío ) y comparación (eliminando la misma cantidad presente en los dos miembros de la ecuación) . También define algunas reglas de cálculo elementales sobre expresiones que comprenden su factor desconocido, por ejemplo, la expansión de (a + bx) (c + dx). Luego siguen muchos problemas prácticos de comercio, agrimensura o herencia.

El tema no es nuevo. Hay procedimientos de resolución de problemas de primer y segundo grado en las matemáticas de Babilonia e India . Los mismos términos de al-jabr y al-muqabala ya se usaban para denotar técnicas de cálculo. Incluso podemos citar a dos contemporáneos de Al-Khwârizmî que escribieron en paralelo sobre el mismo tema ( Ibn Turk y Abu Bakr). Las matemáticas griegas ya habían resuelto problemas cuadráticos utilizando manipulaciones geométricas. Finalmente, Diofanto , cuya aritmética no era conocida por Al-Khwârizmî , estudia muchos problemas que comprenden varias incógnitas y su cuadrado o su cubo y establece una escritura sincopada que mezcla retórica y un embrión de escritura simbólica. El mérito de al-Khwarizmi es haber sabido presentar el todo en un todo coherente y exhaustivo, combinando técnica y demostración. La exposición de una teoría de ecuaciones con un nombre, objetos, herramientas, pruebas y aplicaciones la convierte en una disciplina por derecho propio. El lugar de nacimiento del álgebra es un tema controvertido, pero el trabajo de al-Khwarizmi contribuye a convertirlo en una disciplina explotable en sí misma, propicia para su desarrollo.

El trabajo de al-Khwarizmi es desarrollado por sus sucesores: Thābit ibn Qurra trabaja en la traducción geométrica de las ecuaciones, Abu Kamil aumenta el grado y toma sus coeficientes en los números irracionales. Cuando en 870, Qusta ibn Luqa tradujo la aritmética de Diofanto, fue el vocabulario creado por al-Khwarizmi el que utilizó.

Ecuación de grado tres

La nueva herramienta se utiliza para resolver problemas clásicos de la antigüedad como la duplicación del cubo , la trisección del ángulo , la construcción del heptágono regular y el corte de la esfera según una determinada proporción. Estos problemas se reducen a una ecuación de grado tres. Los matemáticos árabes están buscando métodos generales de resolución por radicales, pero esto es un fracaso.

También se explora otra vía, más fructífera: la solución de las ecuaciones de forma aproximada como intersección de dos cónicas. El método ya fue utilizado para ciertas ecuaciones por Apolonio en sus Cónicas . Este camino es estudiado por muchos matemáticos árabes, incluidos al-Khazin , al-Quhi , Abu al-Jud Ibn al-Laith, al-Shanni, al-Biruni, etc. El aporte decisivo es el de al-Khayyam , quien hace un estudio sistemático de la misma, clasificando las ecuaciones según el signo de sus coeficientes, exhibiendo una solución positiva, si existe, como la intersección de dos cónicas y buscando un valor aproximado. a eso -esto. Su trabajo es profundizado por Sharaf al-Dīn al-Tūsī , quien demuestra que las soluciones se pueden obtener como la intersección de dos cónicas tomadas entre parábola, hipérbola equilátera y círculo. Al-Tusi se libera de las limitaciones de homogeneidad, también está interesado en el número de soluciones positivas, reduce la ecuación a la forma f ( x ) = cy analiza el número de soluciones según el valor del máximo tomado por la función . Para determinar el máximo, utiliza la derivada formal del polinomio f sin explicar qué lo llevó a inventar esta derivación. También utiliza esta derivada formal y cambios de variables afines en el cálculo de un valor aproximado de la solución.

"Álgebra" de polinomios

Un siglo y medio después de al-Khwarizmi , al-Karaji se comprometió a aplicar las técnicas de cálculo del sistema decimal a polinomios, más exactamente a expresiones que se escriben hoy en la forma: por analogía con la escritura de números decimales: Según su sucesor al-Samaw'al , habría demostrado la fórmula del binomio hasta la potencia de 12 e indicó que la fórmula podría extenderse indefinidamente con la regla de constitución de los coeficientes que hoy lleva el nombre de fórmula de el triángulo de Pascal . Este es uno de los primeros ejemplos de demostración que utilizan una especie de inducción de tipo finito.

Su trabajo es continuado y profundizado por al-Samaw'al quien da las reglas de cálculo de los monomios, las reglas de divisibilidad de un polinomio por otro y presenta técnicas de aproximaciones de un cociente de dos polinomios o de una raíz cuadrada de un polinomio usando exponentes negativos. También presenta los polinomios en forma sintética de una tabla que contiene los coeficientes de los monomios ordenados según sus potencias decrecientes. También reflexiona sobre exponentes fraccionarios y presenta reglas de cálculo.

En árabe Occidente, manuscritos perdidos no definen con precisión las aportaciones de todos, pero sabemos que esta rama del álgebra se enseñaba en las universidades andaluzas todavía el XIV °  siglo . Es también en Occidente árabe, el Magreb específicamente, encontró rastros del XIV °  siglo (a Ibn Qunfudh , al-Qalasadi y Ibn Ghazi al-Miknasi  (en) ), e incluso de la XII ª  siglo , de un emotivo simbolismo algebraico así como el cálculo como los polinomios y las ecuaciones, simbolismo que parece aparecer en esta forma elaborado por primera vez y sería una originalidad de las matemáticas de esta región.

Análisis indeterminado

El álgebra también se usa para el análisis racional indeterminado, también llamado análisis diofantino racional. Consiste en encontrar, si existen, las soluciones racionales a un problema que comprende más incógnitas que ecuaciones. El estudio de este tipo de problemas se produce muy temprano en las matemáticas árabes: antes de Abu Kamil , que parece ser el primero en distinguir entre problema determinado y problema indeterminado y antes de la traducción de la aritmética de Diofante por Qusta Ibn Luqa. Abu Kamil está interesado principalmente en problemas cuadráticos y sistemas lineales. Por ejemplo, resuelve la ecuación ax - x² + b = y² cambiando la variable afín con coeficientes racionales y especifica sus condiciones de existencia. En el contexto de los sistemas de ecuaciones, utiliza el principio de eliminación por sustitución. La traducción del tratado de Diofanto da un fuerte impulso a este tipo de investigación, que toma el nombre de al-istriqa . Al-Karaji dedica un tratado a este tema que ahora está perdido, pero que se puede encontrar en dos de sus tratados al-Badi y al-Fakhri . Se retoma y profundiza los problemas presentados por Abu Kamil y por los libros II, III y IV de Aritmética para hacer un estudio sistemático de los mismos. Su trabajo es ampliado por sus sucesores al-Samaw'al , al-Zanjani, Ibn al-Khawwam y Kamāl al-Dīn al-Fārisī y el análisis indeterminado se convierte en un capítulo integrado en cualquier tratado de álgebra.

Análisis numérico

Para resolver ecuaciones numéricamente, los matemáticos árabes establecieron métodos, algunos de los cuales se derivan de las matemáticas griegas o indias, como la extracción de la raíz cuadrada o la raíz cúbica. El principio consiste en determinar sucesivamente los dígitos de una solución utilizando la siguiente propiedad: si X es un valor aproximado de una solución de la ecuación f (x) = N y si establecemos x = X + y y g (y) = f (X + y) - f (X) entonces x es una solución de f (x) = N si y solo si y es una solución de g (y) = N - f (X).

Por lo tanto, para encontrar la solución positiva de la ecuación f (x) = N donde f (x) = x 3 + 6x y N = 5 178755, buscamos el entero más grande a tal que f (100a) ≤ N, encuentra a = 1 que da el número de centenas de la solución. Luego establecemos g (y) = f (100 + y) - f (100) y N 1 = N - f (100) para resolver la ecuación g (y) = N 1 . Buscamos el entero más grande b tal que g (10b) ≤ N 1 , encontramos b = 7 que es el dígito de las decenas de la solución. Finalmente, establecemos h (z) = g (70 + z) - g (70) y N 2 = N 1 - g (70) para resolver la ecuación h (z) = N 2 . Buscamos el entero más grande c tal que h (c) ≤ N 2 , encontramos c = 3 que es el dígito de las unidades de la solución. Como h (3) = N 2 , sabemos que 173 es la solución exacta de la ecuación.

Este método se utiliza en el X º  siglo por Kushyar Ibn Labban  (in) y Ibn al-Hayttam para la extracción de la raíz y el cubo de la raíz cuadrada y el XII º  siglo a la raíz n º. Para calcular g (y), los matemáticos árabes tenían a su disposición la fórmula binomial pero también es posible utilizar técnicas similares al método de Ruffini-Horner , como hace Sharaf al-Din al-Tusi en la resolución numérica de la ecuación de grado 3.

Cuando la raíz no está lleno, se le da la aproximación tradicional, pero el desarrollo de la teoría de las fracciones decimales por al-Karaji y al-Samaw'al del XII °  siglo hace que encontrar a continuación, las aproximaciones decimales tan delgado como uno quiere la raíz irracional.

Otro método que utiliza el alojamiento atractivo punto fijo se utiliza al final de la XV ª  siglo en al-Kashi y XVIII °  siglo por Mirza al-Isfahânî. Poniendo la ecuación en la forma x = f (x), las aproximaciones sucesivas de la solución son los elementos de la secuencia definida por: x 0 es una primera aproximación y x n + 1 = f (x n ).

El deseo de mejorar la precisión de las tablas trigonométricas impulsa a los matemáticos árabes a perfeccionar los métodos de interpolación . Los griegos ya conocían la interpolación afín y la traducción del Khandakhadyaka de Brahmagupta los familiarizó con la interpolación cuadrática. Se lleva a cabo una reflexión para determinar la mejor interpolación a utilizar, aprovechando los promedios ponderados y la velocidad de variación de las diferencias, y posiblemente invocando funciones distintas de las funciones de primer y segundo grado.

Combinacional

Existe una preocupación lo suficientemente temprana como para enumerar de manera organizada ciertas configuraciones como la expresión de la fórmula de la figura secante de Thābit ibn Qurra o en problemas de álgebra. El número de casos entonces no requiere el establecimiento de fórmulas. Contando cuestiones de hecho surgen en el campo de la lingüística que se presentan, desde el VIII °  siglo con Khalil ibn Ahmad , preguntas como "¿Cuántas palabras de 5 letras pueden formar? Y estos estudios son útiles para lexicógrafos y criptógrafos.

En el XIII °  siglo fórmulas cuentan son trabajadas por Nasir ad-Din Tusi y Ahmad Ibn Mun'im que en su al-Fiqh Hisab (La ciencia del cálculo), establece las siguientes fórmulas: Número de permutaciones de n elementos :; Número de palabras de n letras de las cuales se repiten k veces :; Número de palabra n letras, el i ésimo se repite k i veces: . Se estudia el número de combinaciones , lo que da lugar a la reaparición del triángulo de Pascal ya no asociado a la fórmula binomial sino al conteo. Este trabajo continuó al final de la XIII °  siglo y principios del XIV °  siglo . Kamāl al-Dīn al-Fārisī usa el triángulo de Pascal para calcular los números calculados estableciendo la fórmula: n- ésimo número calculado orden r  : Ibn al-Banna establece la igualdad: Número de combinaciones de p elementos tomados de n  : El análisis combinatorio se convierte en un capítulo de trabajos matemáticos como en al-Kashi o es objeto, tardíamente, de tratados independientes como en Ibrahim al-Halabi.

Teoría de los números

Existe una larga tradición de estudio de la teoría de números en las matemáticas árabes, inspirada en los escritos de Euclides , Diofanto y Nicomaco de Gerasio .

Sobre los números perfectos , Ibn Tahir al-Baghdadi establece un método alternativo para generar números perfectos euclidianos utilizando una serie aritmética. Se menciona el caso de números perfectos impares y se emprende la búsqueda de un recíproco. Ibn al-Haytham propone así un recíproco parcial en los números de la forma 2 p (2 q -1). Matemáticos árabes interesados en la distribución, van a la 7 ª  número perfecto al tiempo que la introducción de parásitos y números invalidan la afirmación de Nicómaco imaginar que uno de cada 10 de potencia.

El estudio de los números amigos recorre la historia de las matemáticas árabes y conduce al desarrollo de conocimientos sobre la descomposición en factores primos y sobre la suma de divisores y funciones de número de divisores. Thabit ibn Qurra demuestra su teorema: si A (= 3,2 n - 1), B (= 3,2 n - 1 - 1) y C (= 9,2 2n - 1 - 1) son primos, entonces 2 n AB y 2 n C son amigos . Además del par (220, 284), los matemáticos árabes exhiben los pares (17 296, 18 416) y (9 363 584, 9 437 056).

El trabajo de Ibn al-Haytham sobre el problema del resto chino lo llevó a enunciar el teorema de Wilson sobre la caracterización de los números primos.

En el análisis de números enteros indeterminados, los triples pitagóricos se estudian y generalizan a dimensiones superiores: al-Sijzi muestra que, para todo n , existe una suma cuadrada de n cuadrados. También se estudian ecuaciones de la forma x² ± a = y². Sobre el problema de Fermat , en el caso de n = 3 o n = 4, los matemáticos árabes afirman la inexistencia de soluciones sin lograr, sin embargo, proporcionar una prueba satisfactoria.

Geometría

Influenciada por escritos griegos ( Elementos de Euclides , Cónicas de Apolonio , Esféricas de Teodosio y Menelao ) e indios, la geometría árabe se desarrolló en varias direcciones (traducciones y comentarios, astronomía y trigonometría, óptica, problemas prácticos y teóricos), utilizando nuevas herramientas (álgebra , análisis numérico, métodos infinitesimales).

Áreas, volúmenes, problemas isoperimétricos

Las fórmulas sobre áreas (disco, fórmula de Heron , polígonos regulares inscritos en un círculo, cono) y sobre volúmenes (esfera, cono), conocidas por los griegos y los indios, se exponen desde muy temprano ( al-Khwarizmi , hermanos Banu Musa ). Sus cálculos se refinan gracias a técnicas de análisis numérico. Muy temprano (de al-Biruni ), los matemáticos estaban convencidos de la irracionalidad de π . Se desarrollan otras fórmulas como el volumen de conos y pirámides truncadas.

Una de las originalidades del trabajo árabe es el desarrollo de técnicas infinitesimales basadas en el método del agotamiento puesto en práctica por Arquímedes en La esfera y el cilindro y La medida del círculo . Este movimiento es iniciado por los hermanos Banu Musa que entienden el alcance general del método de Arquímedes y lo utilizan para la superficie de la esfera. Su Tratado sobre la medición de figuras planas y esféricas , se convierte en un texto fundamental, tanto en el mundo árabe y en el Occidente latino, después de su traducción al XII °  siglo por Gerard de Cremona . Su discípulo y sucesor, Thābit ibn Qurra , continúa de la misma manera, calculando el área de una parábola cortando trapecios similares a las sumas de Riemann . También calcula el volumen de paraboloides y el área de la elipse. Después de él, podemos citar a Ibrahim ibn Sinan , al-Quhi , Ibn al-Haytham . Con este último, encontramos todos los elementos del cálculo integral por sumas de Darboux (encuadre, juego de recortes, error cometido tan pequeño como queramos). Sin embargo, los matemáticos árabes limitan estas técnicas a áreas y volúmenes que pueden expresarse en términos de áreas y volúmenes conocidos.

También están interesados ​​en cálculos de áreas de porciones de círculos. Thābit ibn Qurra calcula el área de la parte de un círculo delimitada por el lado de un triángulo equilátero y la de un hexágono regular inscrito en el círculo. Ibn al-Haytham está interesado en las lúnulas y muestra la relación entre sus áreas y la trigonometría.

El problema de los isoperímetros (a perímetro constante, ¿qué figura tiene el área más grande?) Ya estudiado por Zénodorus y muchos matemáticos griegos, es retomado por matemáticos árabes ( al Khazin , Ibn al-Haytham). En cuanto al espacio y al problema de los isepifanos (a superficie constante, ¿cuál es el sólido de máximo volumen?), No pueden concluir rigurosamente pero sus estudios conducen al desarrollo de una teoría sobre el ángulo sólido (Ibn al-Haytham).

Construcciones y curvas

Los matemáticos árabes también están interesados ​​en problemas de construcción, algunos de los cuales son problemas clásicos de la matemática griega: construcción de un doble proporcional, trisección del ángulo, construcciones exactas o aproximadas de polígonos regulares, corte de un cuadrado en menos de varios cuadrados, construcción con la regla y el compás de espaciado constante, construcciones geométricas para instrumentos astronómicos .

La resolución de las ecuaciones de grado tres, así como la óptica, los empuja a interesarse por las cónicas de las que estudian las propiedades focales ( ibn Sahl ) y para las que imaginan mecanismos de construcción continua: compás perfecto de al -Quhi , Mecanismos con regla, cuerda y polea de Ibn Sahl. Entre estos tratados, se puede citar el tratado de Thābit ibn Qurra sobre las elipses y el de al-Sijzi sobre las hipérbolas. Según el testimonio de otros matemáticos, hoy existirían tratados perdidos sobre las curvas obtenidas como proyecciones de curvas izquierdas .

Transformaciones y proyecciones

Los matemáticos árabes son menos reacios que algunos matemáticos griegos como Euclides a utilizar el movimiento y las transformaciones en geometría. La homotecia se usa muy temprano ( Ibrahim ibn Sinan , al-Farabi y Abu l-Wafa ). Ibn-Sinan y al-Quhi demuestran sus propiedades sobre las configuraciones (transformación de círculos en círculos) . Siguiéndolos, Ibn al-Haytham estudia las similitudes directas y demuestra que transforman las líneas en líneas y los círculos en círculos. Thābit ibn Qurra e Ibrahim ibn Sinan usan afinidades para transmitir propiedades del círculo a la elipse o hipérbola equilátera de hipérbola a cualquiera y demuestran que la transformación afín uno mantiene las proporciones de área. Incluso nos encontramos, en al-Biruni e Ibn Sinan, círculos transformados en cónicas gracias a transformaciones proyectivas .

La astronomía necesita, especialmente para la construcción de astrolabios o determinación de la qibla , empujar a los matemáticos árabes a estudiar las proyecciones de la esfera en el plano ( proyección ortogonal , proyecciones estereográficas de polo y varios planos, proyecciones cilíndricas , proyecciones con abatimiento). Al-Farghani demuestra que una proyección estereográfica transforma los círculos que pasan a través del poste en líneas y transforma otros círculos en círculos. Su trabajo es extendido por al-Quhi e ibn Sahl , pero ninguno se refiere a una reversión . La conformidad (conservación de ángulos) de la proyección estereográfica es conocida y utilizada por al-Biruni y 'Abd al-Jabbar al-Kharaqi (m. 1158) y la proyección estereográfica se reinvierte en cartografía.

Preguntas fundamentales

Al comentar los Elementos de Euclides, los matemáticos árabes también buscan reformar la teoría, afirmando, por ejemplo, que es necesario agregar un postulado sobre la existencia de puntos, líneas y planos. También se preguntan sobre la naturaleza del postulado V, dice el Postulado de los paralelos  : "Si dos líneas intersecan la misma línea creando dos ángulos internos más pequeños que una línea recta, entonces estas líneas son secantes", y tratan de demostrarlo o simplificarlo. , exhibiendo así propiedades que son equivalentes a él ( al-Jawhari , Thābit ibn Qurra , ibn al-Haytham , al-Biruni , Omar al-Khayyam , Nasir al-Din al-Tusi y su escuela y Muhyi al-Dīn al-Maghribī ).

Por lo tanto, Al-Jawhari se basa en la idea de que, mediante un punto interior en ángulo, se puede trazar una línea que se encuentre con los dos lados. Thabit ibn Qurra utiliza la hipótesis de que dos líneas rectas que se alejan en una dirección necesariamente se acercan en la otra y viceversa. También propone en otra demostración un movimiento simple: el lugar atravesado por el extremo A de un segmento [AB] perpendicular a (d) en B, cuando el punto B atraviesa (d) es una línea paralela a (d). Ibn al-Haytham usa un cuadrilátero con 3 ángulos rectos (cuadrilátero de Lambert ). Al-Khayyam luego al-Tusi estudia el cuadrilátero ABCD de manera que los lados AB y CD son iguales y los ángulos de los vértices C y D son rectos (cuadrilátero de Saccheri ).

El trabajo de estos matemáticos sentó las primeras bases de lo que sería el XIX °  siglo la teoría de las geometrías no euclidianas , hiperbólicas y elípticas .

Trigonometría

La trigonometría es una disciplina creada con el propósito de la astronomía. Se remonta al menos a Hiparco, quien construyó la primera mesa de cuerdas. El principal resultado utilizado en la astronomía griega y en los primeros días de la astronomía árabe es el teorema de Menelao . Las matemáticas indias introdujeron el seno y el sinusal, también estableciendo algunas fórmulas sobre el triángulo rectángulo esférico. Retomando estas obras, los matemáticos árabes las enriquecen y completan. Lo convierten en una disciplina separada que resulta en tratados específicos como el 3 E  del Tratado Canon Masud de al-Biruni , el Tratado de Ibn Mu'adh al-Jayyānī y el Tratado del cuadrilátero de Nasir al-Din al-Tusi .

Introducen nuevas funciones, la secante (R / sen) y la cosecante (R / seno del ángulo complementario). Habash al-Hasib añade la noción de sombra correspondiente a R.tan, para distinguirla de la sombra del gnomon. Lo usa como función auxiliar en sus tablas numéricas y la pestaña. También se establecen algunas fórmulas trigonométricas (relación entre las distintas funciones, seno del doble ángulo, seno de una suma…).

Estas funciones encuentran su utilidad en la trigonometría esférica donde se demuestran nuevas relaciones. La regla del seno aparece en varios escritos ( al-Khujandi , Abu l-Wafa , Abu Nars ), la regla de la tangente para el triángulo rectángulo esférico (Abu l-Wafa) y la regla del coseno en el triángulo rectángulo esférico ( Abu Nars ). Poco a poco, se establecen las fórmulas para resolver el triángulo rectángulo esférico y parcialmente las de resolver cualquier triángulo con la introducción del triángulo polar ( al Khazin , Abu Nars, Ibn Muʿādh al-Jayyānī, Nasir al-Din al-Tusi).

El uso de la trigonometría en problemas planos sigue siendo ocasional, con la excepción de al-Kashi, que produce una tabla reservada para la resolución de triángulos planos arbitrarios y en honor a la cual se ha cambiado el nombre de la ley de los cosenos .

La búsqueda de una mayor precisión en las tablas de senos con interpolaciones y mejor con la ayuda de álgebra, matemáticos y astrónomos árabes ocupa principalmente de la final de la X ª  siglo ( Ibn Yunus , Abu l- Wafa, al-Biruni, al-Kashi) .

Óptica geométrica

La óptica geométrica árabe es un descendiente directo de la perspectiva griega. Los grandes nombres de esta disciplina son Qusta ibn Luqa , al-Kindi , Ibn Sahl e Ibn al-Haytham . Inicialmente, se tradujeron la Óptica de Euclides , así como otras obras griegas sobre óptica o catópica ( Diocles , Anthemius de Tralles ). Qusta ibn Luqa comenta sobre Euclides y pretende justificar las proposiciones griegas sobre la propagación rectilínea de la luz y las leyes de la reflexión. Se profundiza y completa el estudio de los espejos ( planos , esféricos , parabólicos o de fuego ). Al-Kindi cuestiona la leyenda de que Arquímedes prendió fuego a la flota romana usando espejos y aclara el principio del espejo parabólico. En dioptría , Ibn Sahl define el índice de refracción y establece la ley de Snellius . Estudia en particular la lente biconvexa hiperbólica. Ibn al-Haytham, gran reformador de la óptica fisiológica, física y geométrica, hace un extenso estudio de los problemas de los reflejos y resuelve el problema que lleva su nombre : "Dados dos puntos A y B distintos, encontrar el punto de reflexión, en un espejo esférico cóncavo o convexo, el radio viene de A y llega a B ”, llevando el problema a la intersección de un círculo y una hipérbola. En dioptría, estudia la dioptría y la lente esférica analizando el fenómeno de la aberración esférica . Su gran tratado Óptica , traducido al latín en el XII ª  siglo ha sido objeto de muchos comentarios a la XVII ª  siglo .

Influencias en las matemáticas en el occidente latino

La transferencia del conocimiento árabe-musulmán se produce de varias maneras: a través del contacto directo con la civilización andaluza , a través de la ciencia en hebreo medieval, a través de la traducción de obras árabes al latín, luego, más tarde, a través del éxodo. De eruditos bizantinos tras la toma de Constantinopla . La transferencia es parcial, ciertos textos no se han conocido, ciertos temas no despiertan el interés de los científicos occidentales, otras obras son demasiado difíciles de traducir al principio. Las traducciones son a menudo híbridas, mezclando fuentes griegas y árabes.

El Occidente medieval aprendió desde el principio la escritura decimal y el sistema de cálculo indio. El primer contacto del Occidente latino con el sistema decimal parece datar de X ª  siglo en el momento de Gerberto de Aurillac . Las primeras traducciones de cálculo indio de al-Khwarizmi ( Dixit algorizmi , Liber Ysagogarum alchorismi ...) volver a la fecha del XII °  siglo y son híbridos, incorporando textos Nicómaco y Boecio . El nombre del autor se convierte en un nombre común, "algorismo", designando la técnica de cálculo mientras que quienes la practican se denominan algoristas. El polvo tabla de cálculo sido tratada XIII °  siglo y el método de multiplicación por persianas se incorpora en la Europa medieval.

Varias traducciones del Tratado de más o menos fiel al-Khwarizmi al-Jabr w'al muqabala aparecen XII °  siglo ( Juan de Toledo , Roberto de Chester , Gerard de Cremona ). El término al-jabr se convierte en el nombre de una disciplina de álgebra. Pero el trabajo que realmente trae esta disciplina al mundo latino es el Liber abaci de onard de Pisa, dice Fibonnaci . Este matemático introdujo el trabajo de Diofanto en el Occidente latino, pero sus préstamos de fuentes árabes ( al-Khwarizmi , Abu Kamil , al-Karaji ) son numerosos. También introduce la secuencia de Fibonnacci y la numeración arábiga en Occidente a la que se inició durante su viaje por Oriente, en particular en la ciudad de Béjaïa (Bougie) en Argelia (se inspira en los métodos de cálculo de los apicultores y campesinos de la ciudad para formular su secuela). Sin embargo, el Occidente latino parece asimilar solo lo que constituye los primeros pasos de los matemáticos árabes en el campo del álgebra y escritos como los de Omar Khayyam o Sharaf al-Dīn al-Tūsī parecen no ser reconocidos. Desde el XVI °  siglo , Occidente pondrá en marcha de forma limpia con la escuela alemana ( Christoph Rudolff ), la escuela italiana ( Luca Pacioli , Tartaglia , Cardan , Bombelli ) y las contribuciones simbolistas ( Vieta , Descartes ).

En geometría, el Occidente latino tenía solo un conocimiento muy parcial de los elementos de Euclides. Las traducciones del árabe Euclides de Adelard de Bath , de Gerard de Cremona , quien también es el traductor de los comentarios a Al-Nayrizi y el Comentario de Campanus de Novara sobre esta misma obra son el punto de partida para una renovación de la geometría en Occidente. Lo mismo ocurre con las obras de Arquímedes . Pero estos textos griegos llegan a Occidente enriquecidos por las aportaciones árabes de matemáticos traducidos por Gérard de Cremona ( hermano Banu Musa , Thabit ibn Qurra , ibn al Hayttham ) que influirán en matemáticos como Witelo o Regiomontanus . La proyección estereográfica se transmite durante la traducción de tratados sobre el astrolabio. Sin embargo, algunos capítulos permanecen ignorados o se descubren tarde; que hace el trabajo en el axioma de las paralelas cuya influencia aparece sólo XIII °  siglo en las obras de Witelo o Levi Ben Gerson . Asimismo, las obras de al-Biruni , al-Farabi y Abu l-Wafa, así como los estudios sobre las transformaciones afines de Thabit ibn Qura e Ibrahim ibn Sinan, parecen ignorarse .

La trigonometría se transmite en Occidente al mismo tiempo que la astronomía, de la que a menudo constituye un capítulo aparte. Se convierte en una disciplina separada en el XIV °  siglo , pero podemos medir la influencia de la trigonometría árabe en una obra como De Triangulis Regiomontano, muy cerca de Tratado cuadrilátero de Nasir al-Din Tusi .

Gracias a la transmisión de parte de los textos griegos y del conocimiento matemático árabe, las matemáticas europeas se beneficiaron así de un impulso decisivo para su desarrollo.

Notas y referencias

Notas

  1. Roshdi Rashed considera que esta obra está “bien en la tradición de Arquímedes sin estar redactada según el modelo de La esfera y el cilindro o según cualquier otro tratado de Arquímedes. "
  2. El tratado de Arquímedes La cuadratura de la parábola no se descubrirá hasta más tarde.
  3. Porción de superficie delimitada por dos círculos no concéntricos de diferentes radios.
  4. Una proyección estereográfica es la restricción de una inversión a una esfera y un plano.
  5. La cuerda del ángulo a es la longitud de un segmento [AB] donde A y B son dos puntos de un círculo con centro O y radio R (R puede valer según trabajos 60, 360 u otros valores) con el ángulo AOB igual a a .
  6. El seno indio también tiene una longitud igual a R.sin.
  7. a ( a ) = R (1 - sen a ).
  8. La sombra de un gnomon vertical de altura h , cuando el sol está en la altura a es o = h cot ( a ).
  9. En el rectángulo ABC del triángulo esférico en B, sin (AC) = Tan (BC) / tan (A).

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  77. Euclides demuestra que si A = 1 + 2 + 2 2 + ... + 2 n es primo, entonces 2 n A es perfecto ( Libro IX de los Elementos de Euclides , propuesta 36) y al-Baghadi demuestra que si A = 2 n + 1 -1 es primo, luego 1 + 2 + 3 + ... + A es perfecto ( Rashed (Análisis) , p.  90).
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Bibliografía

enlaces externos