Problema de Alhazen

El problema de Alhazen es un problema óptico geométrico relativo al reflejo en un espejo esférico . Se nombra Alhazen en referencia al matemático árabe del XI °  siglo Alhazen ( Ibn al-Haytham ) que presentó una solución geométrica en su libro de Óptica . La solución algebraica requiere una ecuación cuártica . La solución del problema, en general, no se puede construir con la regla y el compás .

Formulación geométrica

El objetivo es resolver el siguiente problema óptico: “Dada una fuente de luz y un espejo esférico , convexo o cóncavo , encontrar el punto en la superficie donde se refleja el rayo de luz antes de llegar al ojo del observador. " Este problema es análogo a la pregunta: " En una piscina circular, ¿en qué dirección enviar la bola rebota en el borde de la piscina antes de alcanzar la bola objetivo? "

La solución para un espejo plano se conoce desde hace mucho tiempo: es el punto de intersección del espejo plano con la línea que une el ojo del observador y la simétrica de la fuente de luz con respecto al espejo plano. Esta propiedad se deriva del hecho de que el rayo de luz se refleja en una superficie mientras permanece en el mismo plano y mantiene el mismo ángulo con respecto a la normal a la superficie.

El problema de la reflexión en un espejo esférico, en su aspecto simétrico se estudia desde la II ª  siglo por Claudio Ptolomeo .

Una traslación geométrica de este problema es: "Dados dos puntos A y B de un plano y un círculo dado con centro O y radio r, encuentre el punto D del círculo tal que la línea (DO) sea la bisectriz del ángulo (ADB ). "

Solución de Ibn al-Haytham

Ibn al-Haytham resuelve el problema por medio de intersecciones cónicas y tiene una prueba geométrica 6 lemas en su óptica Tratado ( XI º  siglo ). Devuelve el problema a la construcción de una secante en un triángulo isósceles  :

Tomamos la traslación anterior: encuentre el punto D de un círculo con centro O y radio r tal que (OD) sea la bisectriz del ángulo AOB. Construimos un triángulo isósceles MNP cuyo ángulo de vértice P es igual a AOB. Colocamos en la base [MN] un punto F tal que . Dibujamos por F una secante al triángulo que interseca [NP] en ​​Q y la bisectriz perpendicular de [MN] en S tal que (esta construcción usa la intersección de una hipérbola y un círculo) y demuestra que l 'ángulo SQN es igual al ángulo BOD donde D es el punto buscado.

No se limita al espejo esférico sino que resuelve el caso del espejo cilíndrico y el cono. Su obra se tradujo al latín desde el final del XII °  siglo y principios del XIII °  siglo . Vitellion publicó en 1270 una Óptica inspirada en gran medida en el Tratado de Alhazen y que contenía el problema sin aportar nada nuevo, luego el trabajo de Alhazen se publicó en Basilea en 1572.

Soluciones posteriores

La solución de Ibn al-Haytham parece tan complicada que los matemáticos posteriores intentarán encontrar soluciones más elegantes.

Construcción mecánica

De acuerdo con Roberto Marcolongo , Leonardo da Vinci , al final de la XV ª  siglo , se ha buscado en vano una solución matemática a Alhazen antes de proponer una solución mecánica usando un instrumento articulado de pantógrafo que garantiza la igualdad de los ángulos de la AOD y ODB. Analizando textos y dibujos de varias páginas del Codex Atlantico , Marcolongo construyó el instrumento articulado de enfrente. El punto O se coloca en el centro del círculo, la longitud OD es fija, igual al radio del círculo. Ramas (DA) y el pivote (DB) alrededor de retención D (OD) como la bisectriz como la pastilla formada por los deforma sistema articulado de retención el vértice opuesto D alineado con O y D . Se coloca un alfiler en A en el sistema de deslizamiento de la sien ( DA ). Y el instrumento gira alrededor de O para que la segunda rama pase por B.

Construcciones geométricas

Isaac Barrow en 1669 propuso la intersección del círculo con una curva de un bucle que pasa por A y B , que tiene O como un punto doble y tiene una asíntota.

René-François de Sluse propone la construcción mediante la intersección de una parábola y un círculo, mientras que Christian Huygens propone, en 1672, la intersección del círculo con una hipérbola equilátera que pasa por el centro del círculo, por los puntos A 'y B 'inversas de los puntos A y B con respecto al círculo especular, y teniendo como asíntotas las líneas paralelas a las bisectrices del ángulo AOB que pasan por el punto medio de [A'B'].

Estas diversas curvas cortan el círculo en 2 o 4 puntos. Cuando A y B son interiores al círculo, todos estos puntos son soluciones. Si son externos, solo uno de cada dos puntos es una solución.

Soluciones analíticas

También se buscan resoluciones analíticas. Al mismo tiempo que Sluse y Huygens, James Gregory intenta sin éxito una resolución analítica.

En el XVIII °  siglo , se proponen resoluciones algebraicas y trigonométricas. Abraham Gotthelf Kästner , por ejemplo, propuso en 1777 una resolución trigonométrica, mientras que William Wales cita, en 1781, el problema de Alhazen como un problema que conduce a una ecuación de grado 4 que resuelve mediante tablas logarítmicas .

Las publicaciones también existen en el XIX °  siglo y la conexión se hace con los problemas de los caminos o máxima mínimos. En el XX °  siglo , el problema sigue siendo de interés para los matemáticos: Jack M. Elkin en 1965 y Peter Neumann en 1998 muestran que la solución general no es construible con regla y compás , John D. Smith presenta una solución elegante 1992 utilizando complejos.

Notas y referencias

  1. Smith 1992 , p.  192.
  2. Sabra, 1982 .
  3. Bode 1892 , p.  77.
  4. Sabra , 1982 , p.  299.
  5. Roberto Marcolongo. Lo strumento inventato da Leonardo da Vinci per la risoluzione del problema di Alhazen , Napoli: Unione tipografica combatenti, 1929.
  6. Roberto Marcolongo, "Leonardo da Vinci nelle storia della matamatica e della meccanica, Il problema d'Alhazen", ATTI del congresso internationale dei matematici (Bologan 3-10 de septiembre de 1928 , volumen 1, pp 287-289, leer en línea .
  7. Smith , 1992 , p.  194.
  8. Hipérbola posiblemente degeneró en dos líneas si OA = OB.
  9. Smith 1992 , p.  195.
  10. Baker , 1881 , pág.  328.
  11. Bode 1892 , p.  81-82.
  12. Baker , 1881 , pág.  329.
  13. Enoch Beery Seitz  (en) lo resuelve utilizando una ecuación de grado 8 (de grado 4 según ( Bode 1892 , p.  81-82)) y por el método de Horner ( Baker 1881 , p.  328).
  14. (en) Jack M. Elkin, "  Un problema engañosamente fácil  " , Profesor de matemáticas , vol.  58, n o  3,1965, p.  194-199 ( JSTOR  27968003 ).
  15. Neumann, 1998 .

Bibliografía