Los Elementos (en griego antiguo Στοιχεία / stoïkheïa ) es un tratado matemático y geométrico , que consta de 13 libros organizados temáticamente, probablemente escritos por el matemático griego Euclides alrededor del 300 a. C. AD Incluye una colección de definiciones, axiomas , teoremas y su demostración sobre los temas de la geometría euclidiana y la teoría de números primitivos.
El trabajo es el ejemplo más antiguo conocido de un tratamiento axiomático y sistemático de la geometría y su influencia en el desarrollo de la lógica y la ciencia occidentales es fundamental. Esta es probablemente la colección más exitosa de la historia: los Elementos fue uno de los primeros libros impresos ( Venecia , 1482) y muy probablemente solo esté precedido por la Biblia en cuanto al número de ediciones publicadas (más de 1.000). Durante siglos ha sido parte del plan de estudios universitario estándar.
El método de Euclides consistió en basar su trabajo en definiciones, " demandas " (postulados), " nociones ordinarias " (axiomas) y proposiciones (problemas resueltos, 470 en total en los trece libros). Por ejemplo, el libro I contiene 35 definiciones ( punto , línea , área , etc.), cinco postulados y cinco nociones ordinarias.
El éxito de Elements se debe principalmente a su presentación lógica y organizada. El uso sistemático y eficiente de desarrollar pruebas a partir de un conjunto reducido de axiomas llevó a que se utilizaran como libro de referencia durante siglos.
A lo largo de la historia, ha habido cierta controversia en torno a los axiomas y demostraciones de Euclides. Sin embargo, los Elementos siguen siendo una obra fundamental en la historia de la ciencia y tuvieron una influencia considerable. Los científicos europeos Nicolas Copernicus , Johannes Kepler , Galileo Galilei y especialmente Isaac Newton fueron influenciados por los elementos y aplicaron sus conocimientos del libro a su propio trabajo. Algunos matemáticos ( Bertrand Russell , Alfred North Whitehead ) y filósofos ( Baruch Spinoza ) también han intentado escribir sus propios Elementos , estructuras deductivas axiomáticas aplicadas a sus respectivas disciplinas.
De los cinco postulados enunciados en el Libro I , el último, del que deducimos el postulado de los paralelos : "en un punto fuera de una línea recta, sólo pasa una sola recta que es paralela a ella", siempre ha parecido menos obvio que el otros. Varios matemáticos sospecharon que podría demostrarse a partir de los otros postulados, pero todos los intentos por hacerlo fracasaron. Hacia la mitad del XIX e siglo, se demostró que tal demostración no existe, que el quinto postulado es independiente de los otros cuatro y que es posible construir coherentes geometrías no euclidianas mediante la adopción de su negación.
Los rastros escritos de las nociones de longitud y ortogonalidad aparecen en Mesopotamia en un período comprendido entre 1900 y 1600 a. C. AD Hay muchos rastros de conocimiento del " teorema de Pitágoras " al menos como regla de cálculo.
Aunque la mayoría de los teoremas son anteriores a él, los Elementos eran lo suficientemente completos y rigurosos como para eclipsar las obras geométricas que los precedieron, y se sabe poco sobre la geometría preeuclidiana. Por ejemplo, si uno cree que el neoplatónico Proclo ( V º siglo), Hipócrates de Quíos fue en el V º siglo aC. J. - C. , primer autor conocido de la tradición habiendo escrito elementos de geometría, pero estos no nos llegaron.
Su autor Euclides , activo alrededor del 300 a. C. AD , parece haber sido influenciado por Aristóteles ( -384 - 322 aC ) . Poco se sabe sobre su historia y la de su tratado.
La obra fue traducida al árabe después de haber sido dado a los árabes por el Imperio bizantino y luego traducido al latín de los textos árabes ( Adelardo de Bath en el XII ° siglo, tomada por Campanus de Novara ). Su primera edición impresa data de 1482 y, posteriormente, el libro pasó por un número estimado de ediciones de más de 1.000, que muy probablemente solo es superado por la Biblia. Aún existen copias del texto griego, por ejemplo, en la Biblioteca Vaticana o en la Biblioteca Bodleian de Oxford , pero estos manuscritos son de calidad variable y siempre están incompletos. Analizando las traducciones y los originales, fue posible formular hipótesis sobre el contenido original, del cual no queda ninguna copia completa.
Los matemáticos notaron con el tiempo que las demostraciones de Euclides requerían suposiciones adicionales, no especificadas en el texto original, como lo que se convirtió en el axioma de Pasch . David Hilbert dio en 1899 un desarrollo axiomático de la geometría euclidiana del plano y el espacio en su Grundlagen der Geometrie ( Los fundamentos de la geometría ), los axiomas se hacen explícitos y se presentan de manera organizada. Hilbert destaca notablemente el papel de los axiomas de paralelismo (estructura afín), orden e incidencia (estructura proyectiva) y ortogonalidad (estructura “euclidiana”).
Los elementos están organizados de la siguiente manera:
Hay dos libros apócrifos , adjuntos a la traducción de Heath .
“ Los Elementos de Euclides no solo fue el primer trabajo matemático griego importante que nos llegó, sino también el libro de texto más influyente de todos los tiempos. [...] Las primeras versiones impresas de los Elementos aparecieron en Venecia en 1482, uno de los primeros libros matemáticos escritos en tipo; se ha estimado que desde entonces se han publicado al menos mil ediciones. Quizás ningún otro libro que no sea la Biblia pueda presumir de tantas ediciones, y ciertamente ningún trabajo matemático ha tenido una influencia comparable a la de los Elementos de Euclides . "
“ [...] los Elementos se dieron a conocer en Europa Occidental a través de los árabes y los moros. Allí, los Elementos se convirtieron en la base de la educación matemática. Se conocen más de 1000 ediciones de los Elementos. Con toda probabilidad, es, junto a la Biblia, el libro más difundido en la civilización del mundo occidental. "