Fórmula de Garza

En la geometría euclidiana , la fórmula de la garza , el nombre de Heron de Alejandría , hace que sea posible calcular el área $S$ de cualquier triángulo conociendo sólo las longitudes de $un$ , $b$ y $c$ de sus tres lados:

{\ Displaystyle S = {\ sqrt {p (pa) (pb) (pc)}} \ quad {\ text {con}} \ quad p = {\ frac {a + b + c} {2}}.}

Demostraciones

Heron of Alexandria afirma y demuestra su teorema en su tratado The Metrics . Su demostración se basa en las propiedades del círculo inscrito en un triángulo y en la explotación de las relaciones de longitud en triángulos similares .

Las propiedades trigonométricas permiten una prueba más breve de esta igualdad.

Por tanto, la fórmula de Heron se puede deducir algebraicamente de la ley de los cosenos .

Demostración usando la ley de los cosenos.

La ley de los cosenos está escrita. ${\ Displaystyle 2ab \ cos \ gamma = a ^ {2} + b ^ {2} -c ^ {2},}$

unido a la fórmula clásica para el área del triángulo dada por este ángulo y los lados adyacentes: ${\ Displaystyle {\ begin {alineado} S & = {\ frac {ab} {2}} \ sin \ gamma \\ & = {\ frac {2ab} {4}} {\ sqrt {1- \ cos ^ { 2} \ gamma}} \\ & = {\ frac {1} {4}} {\ sqrt {2ab (1+ \ cos \ gamma) 2ab (1- \ cos \ gamma)}} \\ & = {\ frac {1} {4}} {\ sqrt {(2ab + a ^ {2} + b ^ {2} -c ^ {2}) (2ab-a ^ {2} -b ^ {2} + c ^ {2})}} \\ & = {\ frac {1} {4}} {\ sqrt {\ left ((a + b) ^ {2} -c ^ {2} \ right) \ left (c ^ {2} - (ab) ^ {2} \ right)}} \\ & = {\ frac {1} {4}} {\ sqrt {(a + b + c) (a + bc) (c + ab ) (c-a + b)}}. \ end {alineado}}}$

Entonces, observando, $p = a + b + c / 2$ el medio perímetro , concluimos: ${\ Displaystyle S = {\ frac {1} {4}} {\ sqrt {2p (2p-2c) (2p-2b) (2p-2a)}} = {\ sqrt {p (pc) (pb) ( Pensilvania)}}.}$

Hay muchas otras demostraciones: ver en particular el artículo " Ley de los cotangentes ".

Existe también una forma sencilla de encontrar la fórmula de Heron considerando la forma que debe tomar el polinomio $S 2$ explotando las propiedades de los triángulos planos, las propiedades de homogeneidad y de simetría.

Búsqueda de análisis dimensional

El área del triángulo depende de la longitud de los 3 lados: $S ( a , b , c )$ , y estas tres variables tienen exactamente la misma importancia (hay simetría).

Si asumimos por supuesto que el cuadrado del área es un polinomio en $( a , b , c )$ , este polinomio es simétrico. Por análisis dimensional, sabemos que este polinomio es de grado 4 porque es el cuadrado de un área y que el polinomio es homogéneo.

Además, el área se cancela solo cuando el triángulo es plano, es decir, cuando la suma de las longitudes de dos de los lados es igual a la longitud del tercero. Entonces, hay tres formas de cancelar el polinomio.

El polinomio $S 2$ tiene entonces la forma

{\ Displaystyle S ^ {2} (a, b, c) = k \ times (b + ca) (a + cb) (a + bc).}

Sin embargo, dado que $S 2$ es homogéneo simétrico de grado 4, $k$ es un polinomio simétrico y homogéneo de grado 1 de la forma $k = C ( a + b + c )$ con $C$ una constante real por determinar.

Para encontrar $C$ , miramos un caso particular que es el del triángulo rectángulo isósceles. Fue entonces $S = un 2 /2$ , $a = b$ y , dando ${\ Displaystyle c = a {\ sqrt {2}}}$

{\ Displaystyle {\ frac {a ^ {4}} {4}} = C \ left (2a + {\ sqrt {2}} a \ right) \ left (2a - {\ sqrt {2}} a \ right ) \ left ({\ sqrt {2}} a \ right) ^ {2} = C (4a ^ {2} -2a ^ {2}) (2a ^ {2})}

por lo tanto $C = 1/16$ .

Así que tenemos . ${\ Displaystyle S ^ {2} (a, b, c) = {\ frac {1} {16}} (a + b + c) (b + ca) (a + cb) (a + bc)}$

Luego encontramos la fórmula demostrada por la trigonometría anterior reemplazando $p$ por . ${\ Displaystyle {\ frac {a + b + c} {2}}}$

Fórmulas alternativas

Usar polinomios simétricos

Según los cálculos intermedios anteriores, también tenemos: ${\ Displaystyle {\ begin {alineado} 16 \, S ^ {2} & = (a + b + c) (a + bc) (- a + b + c) (a-b + c) \\ & = 2 ( a ^ {2} b ^ {2} + a ^ {2} c ^ {2} + b ^ {2} c ^ {2}) - (a ^ {4} + b ^ {4} + c ^ { 4}) \\ & = (a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2}) ^ {2} -2 (a ^ {4} + b ^ {4} + c ^ {4} ). \ End {alineado}}}$ ${\ Displaystyle S = {\ frac {1} {4}} {\ sqrt {(a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2}) ^ {2} -2 (a ^ {4} + b ^ {4} + c ^ {4})}}.}$

Para una implementación digital

La fórmula de Heron presenta una inestabilidad durante el cálculo numérico, que se manifiesta en los triángulos alfiler, es decir, un lado de los cuales tiene un tamaño muy pequeño en comparación con los otros (comparación de valores pequeños y grandes).

Al elegir los nombres de los lados para que a > b > c , y al reorganizar los términos para optimizar las cantidades sumadas o restadas, William Kahan propone una fórmula más estable:

${\ Displaystyle S = {\ frac {1} {4}} {\ sqrt {[a + (b + c)] \, [c- (ab)] \, [c + (ab)] \, [a + (bc)]}}.}$

Generalización

En geometría esférica

En trigonometría esférica , existe una fórmula similar a la fórmula de Heron que permite deducir el área de un triángulo esférico a partir de sus lados: está dada por el teorema de Huilier .

Para los cuadriláteros

Existen formulaciones similares para determinar el área de un cuadrilátero , pero a menos que se pueda escribir , se necesitan datos adicionales de ángulos o diagonales. Ver: Fórmula Bretschneider (en) y Fórmula Brahmagupta .

Para tetraedros

El volumen de un tetraedro viene dado en función de la longitud de sus bordes por el determinante de Cayley-Menger (en) .

Notas y referencias

Para un estudio detallado de su demostración, ver (en) Christy Williams, Crystal Kayla Holcomb y Gifford, " Fórmula de Heron para el aire triangular " en la Universidad de Kentucky .
. Ejercicios de matemáticas -CSK - 2017/2018 , Ejercicio 14, en el sitio web animath.fr
(en) W. Kahan, " Calculando mal el área y los ángulos de un triángulo con forma de aguja " , en UC Berkeley ,2014.
Ver también “ Determinantes de Cayley-Menger ” , en mathafou.free.fr .

Ver también

enlaces externos

Michel Hort, " La fórmula de Héron " , en le-triangle-et-ses-calculs.ch
(en) Eric W. Weisstein , " La fórmula de Heron " , en MathWorld
(en) A. Bogomolny, " Heron's Formula " , en Cut The Knot