Teorema de Stone-Weierstrass

En matemáticas , el teorema de Stone-Weierstrass es una generalización del teorema de aproximación de Weierstrass en análisis real , según el cual cualquier función continua definida en un segmento puede aproximarse uniformemente mediante funciones polinómicas .

La generalización de Marshall Stone extiende este resultado a funciones continuas definidas en un espacio compacto y con valores reales , reemplazando el álgebra de funciones polinomiales por una subálgebra o una celosía que satisfaga hipótesis naturales.

Teorema de aproximación de Weierstrass

Sea f una función continua de [ a , b ] a ℝ.

Para todo ε> 0, existe una función polinomial p con coeficientes reales tales que para todo x en [ a , b ], | f ( x ) - p ( x ) | ≤ ε.

o :

Existe una secuencia ( P n ) de polinomios que convergen uniformemente a f en [ a , b ].

El conjunto C ([ a , b ]) de funciones con valores reales y continuos en [ a , b ], dotado de la norma infinita ${\ Displaystyle \ | f \ | = \ sup _ {x \ in [a, b]} | f (x) |}$ , es un álgebra de Banach ( es decir, un ℝ-álgebra asociativa y un espacio de Banach tal que para todo f y g ). El conjunto de funciones polinomiales forma una subálgebra de C ([ a , b ]) y el teorema de aproximación de Weierstrass afirma que esta subálgebra es densa en C ([ a , b ]). ${\ estilo de pantalla \ | f \ cdot g \ | \ leq \ | f \ | \ cdot \ | g \ |}$

El teorema para cualquier a , b es equivalente al de a , b fijo (con a < b ).

Suponga que el teorema es verdadero para cualquier función continua en un segmento fijo [ c , d ] (con c < d ), y demuestre que todavía es cierto para una función continua f en otro segmento [ a , b ] (con a < b ). Para esto, elegimos un homeomorfismo polinomial Φ: [ a , b ] → [ c , d ] - por ejemplo, la biyección afín x ↦ c + ( x - a ) ( d - c ) / ( b - a ) - y sea g la función f ∘ Φ −1 , que en [ c , d ] es continua por lo tanto (por hipótesis) límite uniforme de una secuencia de polinomios g n . Sea f n : = g n ∘ Φ. Es nuevamente una función polinomial, esta vez definida en [ a , b ] y (dado que $Φ$ es una biyección de [ a , b ] en [ c , d ]) ║ f - f n ║ = ║ ( g - g n ) ∘ Φ║ = ║ g - g n ║ → 0.

A continuación, un ejemplo de una secuencia de polinomios que convergen a la función de valor absoluto en el intervalo [–1, 1].

Otras versiones y generalizaciones

Versión trigonométrica

Para cualquier función continua periódica f , existe una secuencia de polinomios trigonométricos que converge uniformemente af .

Derivado de la teoría de la serie de Fourier , el teorema de Fejér da un ejemplo constructivo de tal secuencia.

Ley de los grandes números

S. Bernstein dio una prueba constructiva y probabilística del teorema de Weierstrass en [0, 1], al demostrar que podríamos tomar:

P_ {n} (x) = \ sum _ {{k = 0}} ^ {n} f \ left ({\ frac kn} \ right) B_ {k} ^ {n} (x)

donde son los polinomios de Bernstein . $B_ {k} ^ {n} (x) = {n \ elija k} x ^ {k} (1-x) ^ {{nk}}$

De hecho, si X es una variable aleatoria que sigue la distribución binomial de parámetros ( n , x ), entonces P n ( x ) es la expectativa de f ( X / n ), es decir, la media de f aplicada al número de éxitos de n experimentos independientes de probabilidad x . La convergencia simple de P n ( x ) af ( x ) para todo x es una consecuencia de la ley débil de los números grandes . Al aumentar la probabilidad de la diferencia entre X / n y x , deducimos la convergencia uniforme de P n hacia f .

Teorema de Stone-Weierstrass, versión algebraica

El teorema de aproximación se generaliza en dos direcciones:

El intervalo compacto [ a , b ] se puede sustituir por un espacio compacto X .
El álgebra de funciones polinomiales puede ser reemplazada por otra subálgebra A de C ( X ) siempre que satisfaga una propiedad crucial que es separar los puntos (in) (un subconjunto A de C ( X ) separa los puntos si para cualquier par { x , y } de puntos en X , existe una función p de A tal que p ( x ) ≠ p ( y )).

En este contexto, el teorema está escrito:

Teorema - Sea X un espacio compacto y C ( X ) el álgebra de Banach de funciones continuas de X a ℝ. Una subálgebra es densa en C ( X ) si (y solo si) separa los puntos y contiene, para cualquier punto x de X , una función que no desaparece en x .

Dado que los polinomios sobre [ a , b ] forman una subálgebra unificada de C ([ a , b ]) que separa los puntos, el teorema de Weierstrass es una consecuencia del teorema anterior.

El campo de los números reales puede sustituirse por el de los complejos , a condición de suponer que A es estable por conjugación .

Este teorema se deduce del teorema de Stone-Weierstrass "versión reticular" (abajo) y de los dos lemas siguientes.

Lema 1 - Para cualquier real a > 0, existe una secuencia de polinomios que converge uniformemente en [- a , a ] hacia la función x ↦ | x |.

Lema 2 : cualquier subálgebra cerrada de C ( X ) es un enrejado.

Prueba de los dos lemas

Lema 1 . Por homotecia , basta con aproximar por polinomios la función de valor absoluto en [–1, 1]. Para eso, escribimos | x | = $\sqrt 1 - (1 - x 2 )$ y usamos que la serie de Taylor de la función $h$ ↦ $\sqrt 1 - h$ es normalmente convergente en [0, 1].
Lema 2 . Sea L esta subálgebra. En virtud de las relaciones $\ max (g, h) = {\ frac {g + h} 2} + {\ frac {| gh |} 2} {\ text {et}} \ min (g, h) = {\ frac {g + h} 2} - {\ frac {| gh |} 2},$ basta con probar que si $f$ ∈ L entonces | $f$ | ∈ L . Tomando $a = \ max _ {{x \ in X}} \ left | f (x) \ right |,$ que existe por continuidad y compacidad, encontramos por el Lema 1 una secuencia de polinomios $( P n )$ que converge uniformemente en $[- a , a ]$ hacia la función de valor absoluto. Incluso si eso significa restar de cada uno de estos polinomios su término constante, podemos suponer que son más cero en 0. Los $P n ( f )$ forman una secuencia de funciones de L , que converge uniformemente en X hacia | $f$ |.

Reducción del teorema al de la "versión reticular"

Let L de la adhesión de la sub-álgebra A .

Por la continuidad de la multiplicación, la suma y el producto por un escalar, L es una subálgebra.
Según el Lema 2, es una celosía.
Demostremos que se verifica el supuesto del teorema de Stone-Weierstrass "versión reticular". Deje $x$ ser dos puntos distintos $x$ y $y$ de X y dos números reales $a$ y $b$ . A partir de $p, q, r \ in A {\ text {tal que}} p (x) \ neq p (y), q (x) \ neq 0, r (y) \ neq 0,$ construimos primero $g \ in A {\ text {tal que}} g (x) \ neq g (y), g (x) \ neq 0, g (y) \ neq 0,$ estableciendo $g = p + uq + vr$ para las realidades $u$ y $v$ elegidas adecuadamente. Entonces hay números reales $α$ y $β$ tales que la función $f = \ alpha g + \ beta g ^ {{2}}$ (que pertenece a A , por lo tanto a L ) satisface $f ( x ) = a$ y $f ( y ) = b$ .

Se deduce que L es denso en C ( X ) por lo tanto igual a C ( X ), es decir que A es denso en C ( X ).

Funciones completas

En 1885, Weierstrass también había demostrado un teorema análogo para funciones enteras ( funciones holomórficas en todo el plano complejo), que Torsten Carleman (en) generalizó en 1927, mostrando que cualquier función continua en R es un límite uniforme (en R ) de una secuencia de funciones enteras. Tras un comentario de Marcel Brelot , Wilfred Kaplan (en) mostró que la prueba de Carleman incluso produjo el siguiente resultado:

Teorema de Carleman : sea una función continua. Para toda función continua , existe una función entera tal que: . ${\ Displaystyle Q: \ mathbb {R} \ to \ mathbb {C}}$ ${\ Displaystyle E: \ mathbb {R} \ to \ left] 0, + \ infty \ right [}$ $F$ ${\ Displaystyle \ forall x \ in \ mathbb {R} \ quad | f (x) -Q (x) | <E (x)}$

Aplicaciones

El teorema de Stone-Weierstrass nos permite probar las siguientes cuatro proposiciones:

si f es una función continua con valores reales definidos en el bloque [ a , b ] × [ c , d ] y si ε es real estrictamente positivo, entonces existe una función polinomial p con dos variables tales que para todo x en [ a , b ] y y en [ c , d ], | f ( x , y ) - p ( x , y ) | <ε.
si X e Y son dos espacios compactos y si f : X × Y → ℝ es una función continua entonces, para todo ε> 0, existe n > 0 y funciones continuas f 1 , f 2 ,…, f n en X y g 1 , g 2 ,…, g n en Y tal que ║ f - ∑ f i g i ║ <ε
Una medida acotada en [ a , b ] cuyos momentos son cero es cero ( cf. Problema de momentos ). Por ejemplo, si una función integrable $f$ de [0, 1] en ℝ es tal que $\ forall p \ in \ mathbb {N}, ~ \ int _ {0} ^ {1} t ^ {p} f (t) ~ {\ mathrm d} t = 0,$ entonces $f$ es cero en casi todas partes (por lo tanto, en todas partes si es continua ).
Si X es un espacio métrico compacto ( por lo tanto separable ) , entonces el álgebra de Banach C ( X ) es separable . Basta elegir en X una parte contable densa Y , definir sobre X , para cualquier elemento y de Y , una función f y por f y ( x ) = d ( x , y ), y tomar para A la Uniferous sub -ℝ-álgebra de C ( X ) generada por estos f y : dado que A es denso en C ( X ) según el teorema, la sub-ℚ-álgebra unificada generada por estos mismos f y (contable y denso en A ) es denso en C ( X ).
Si f es una función continua en [ a ; b ] entonces f admite una antiderivada en este segmento. Esta prueba proporciona la existencia de un primitivo sin involucrar una noción de integral.

Algunos resultados válidos para funciones continuas se pueden reducir al caso de funciones indefinidamente diferenciables utilizando el teorema de Stone-Weierstrass. Así es como obtenemos una demostración del teorema del punto fijo de Brouwer usando el teorema de Stokes .

Teorema de Stone-Weierstrass, versión de celosía

Sea X un espacio compacto. Un subconjunto L de C ( X ) se llama un enrejado de C ( X ) si para cualquier par de elementos f , g de L , funciones max ( f , g ) y min ( f , g ) también pertenecen a L . La versión de celosía del teorema de Stone-Weierstrass establece que:

Teorema - Si X es un espacio compacto, con al menos dos puntos y si L es un enrejado de C ( X ) tal que, para todos los puntos distintos x y Y de X y todos los reales una y b , L contiene una función f que satisface f ( x ) = a y f ( y ) = b , entonces L es denso en C ( X ).

Esta versión más general se deriva inmediatamente del siguiente lema.

Lema 3 : Sea L una red de C ( X ). Para que una función $g$ de C ( X ) pertenezca a la adhesión de L , (es necesario y) basta que para todo $x , y$ ∈ X y todo $ε> 0$ , exista una función $f$ ∈ L tal que

| f (x) -g (x) | <\ varepsilon {\ text {y}} | f (y) -g (y) | <\ varepsilon.

Prueba del lema 3

Sea $ε> 0$ y $g$ ∈ C ( X ) satisfaciendo esta condición. Construiremos una función $f$ ∈ L que se aproxima a $g$ uniformemente $ε$ cerca.

En primer lugar un elemento fijo $z \in X$ .
Deje $x \in X$ . Por hipótesis, existe una función $f z, x$ ∈ L tal que $f _ {{z, x}} (z)> g (z) - \ varepsilon {\ text {y}} f _ {{z, x}} (x) <g (x) + \ varepsilon.$ Luego preguntamos $V _ {{z, x}} = \ {y \ en X \ mid f _ {{z, x}} (y) <g (y) + \ varepsilon \}$ que contiene $x$ y que es un abierto , por continuidad de $f z, x$ y $g$ .
La familia $( V z, x ) x \in X$ es una cubierta abierta de X , y por compacidad podemos extraer de ella una cubierta finita $( V z, x ) x \in A z$ . Entonces podemos preguntar $h_ {z} = \ min _ {{x \ en A_ {z}}} f _ {{z, x}}$ que pertenece a la red L . Tenga en cuenta que la función $h z$ satisface $h_ {z} (z)> g (z) - \ varepsilon {\ text {y}} \ forall y \ in X, h_ {z} (y) <g (y) + \ varepsilon.$
Ahora nos fijamos en la familia $( h z ) z \in X$ . Nosotros posamos $U_ {z} = \ {y \ in X \ mid h_ {z} (y)> g (y) - \ varepsilon \}$ que contiene $z$ y que está abierto, por las mismas razones que $V z, x$ . La familia $( U z ) z \in X$ cubre X , y por compacidad extraemos una subcobertura finita $( U z ) z \in B$ Establecemos $f = \ max _ {{z \ en B}} h_ {z}$ propiedad L .

La función $f$ luego verifica

\ forall x \ in X, \ quad g (x) - \ varepsilon <f (x) <g (x) + \ varepsilon

como se esperaba.

Notas y referencias

(fr) Este artículo está tomado parcial o totalmente del artículo de Wikipedia en inglés titulado “ Teorema de Stone - Weierstrass ” ( ver la lista de autores ) .

(de) Karl Weierstrass , “ Über die analytische Darstellbarkeit sogenannter willkürlicher Functionen einer reellen Veränderlichen ” , Sitz'ber. K. Preuss. Akad. Wiss. Berlín ,1885 : Yo, p. 633-639 y II, pág. 789-805 .
Tal espacio es por definición separado .
Laurent Schwartz, General de topología y análisis funcional , Hermann,1970, p. 372-376
Esta demostración se debe a Henri Lebesgue , que acababa de obtener la graduación en matemáticas , en su primer artículo: Henri Lebesgue, " Sobre la aproximación de funciones ", Bulletin des sciences mathiques , vol. 22,1898, p. 278-287 ( leer en línea ).
Torsten Carleman, Sobre un teorema de Weierstrass , Arkiv. Mástil. Astron. Fys. , Vuelo. 20, n o 4, 1927, p. 1-5 .
Carleman lo formula, como Weierstrass, en términos -más conocido en 1885- de una serie de funciones convergentes uniformemente (porque normalmente ) ( Weierstrass 1885 , p. 637: " es convergirt […] die Reihe […] unbedingt und gleichmässig ${\ Displaystyle \ sum _ {\ nu = 0} ^ {\ infty} f _ {\ nu} (x)}$ " ).
(en) Wilfred Kaplan, " Aproximación por funciones completas " , Michigan Math. J. , vol. 3, n o 1,1955, p. 43-52 ( DOI 10.1307 / mmd / 1031710533 , leer en línea ).
Pinkus 2000 , p. 51-54.
Cf. (en) Charalambos D. Aliprantis y Kim C. Border, Infinite Dimensional Analysis: A Hitchhiker's Guide , Springer ,2007, 3 e ed. ( ISBN 978-3-540-32696-0 , leer en línea ) , pág. 353, que también prueban lo contrario: para cualquier X compacto , si C ( X ) es separable, entonces X es metrizable . De hecho, para cualquier espacio vectorial normado separable E , la bola unitaria del doble E ' , dotada de la topología débil- *, es metrizable , o para E = C ( X ), X se identifica naturalmente con un subespacio de esta bola .

Ver también

Bibliografía

(en) Allan Pinkus, “ Weierstrass y la teoría de la aproximación ” , J. Aprox. Teoría , vol. 107, n o 1,2000, p. 1-66 ( DOI 10.1006 / jath.2000.3508 )