Cúpula (geometría)
| Cúpula decagonal | |
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| Tipo | Conjunto de cúpulas |
|---|---|
| Vértices | 3n |
| Bordes | 5n |
| Caras | (número: 2n + 2) 1 n-ido 1n triángulos n cuadrados 2n-ido |
| Configuración facial | - |
| Grupo simétrico | C nv |
| Doble | - |
| Propiedades | convexo |
En geometría , una cúpula es un sólido formado al unir dos polígonos , uno (la base) con el doble de aristas que el otro, mediante una franja alterna de triángulos y rectángulos . Si los triángulos son equiláteros y los rectángulos son cuadrados , y la base y su cara opuesta son polígonos regulares , entonces se dice que la cúpula es "regular".
Las cúpulas hexagonales , octogonales y decagonales son sólidos de Johnson y se pueden formar tomando secciones del cuboctaedro , el pequeño rombicuboctaedro y el pequeño rombicosidodecaedro , respectivamente.
La altura de una cúpula ngonal es igual a la altura de una pirámide ngonal (esta regla también es válida para los casos extremos del prisma triangular y la cúpula dodecagonal ).
Una cúpula puede verse como un prisma donde uno de los polígonos se ha colapsado por la mitad al fusionar vértices alternos.
Las cúpulas son una subclase de prismatoides .
Ejemplos de
Los tres poliedros mencionados anteriormente son las únicas cúpulas no triviales con caras regulares: la "cúpula dodecagonal " es una figura plana, y el prisma triangular puede considerarse como una "cúpula" de grado 2 (la cúpula de un segmento y un cuadrado) . Sin embargo, se pueden construir cúpulas poligonales de mayor grado con caras triangulares y rectangulares irregulares .
Coordenadas de vértices
La definición de cúpula no requiere que la base sea un polígono regular (o el lado opuesto a la base, que se puede llamar la parte superior), pero es conveniente considerar el caso donde la cúpula tiene su máxima simetría, C nv . En este caso, la parte superior es un n-ido regular, mientras que la base es un 2n-ido regular o un 2n-ido que tiene dos longitudes laterales alternas diferentes y los mismos ángulos que un 2n-ido regular. Es conveniente fijar el sistema de coordenadas de manera que la base se coloque en el plano xy, con la parte superior en un plano paralelo al plano xy. El eje z es el eje de las n hojas, y los planos de espejo pasan a través del eje z y comparten los lados de la base. También comparten los lados de los ángulos superiores o ambos. (Si n es par, la mitad de los planos de espejo comparten los lados del polígono superior y la mitad comparten los ángulos, si n es impar, cada plano de espejo comparte un lado y un ángulo del polígono superior). Los vértices de la base se pueden denotar con V 1 a V 2n , mientras que los vértices del polígono superior se pueden denotar con V 2n + 1 a V 3n . Con estas convenciones, las coordenadas de los vértices se pueden escribir como:
V 2j-1 : (r b cos [2π (j-1) / n + α], r b sin [2π (j-1) / n + α], 0) (donde j = 1, 2,…, no);
V 2j : (r b cos (2πj / n - α), r b sin (2πj / n - α), 0) (donde j = 1, 2,…, n);
V 2n + j : (r t cos (πj / n), r t sin (πj / n), h) (donde j = 1, 2,…, n).
Dado que los polígonos V 1 V 2 V 2n + 1 V 2n + 2 , etc. son rectángulos, esto impone una restricción a los valores de r b , r t y α. La distancia V 1 V 2 es igual a
r b {[cos (2π / n - α) - cos α] ² + [sin (2π / n - α) - sin α] 2 } 1/2
= r b {[cos ² (2π / n - α) - 2cos (2π / n - α) cos α + cos² α] + [sin ² (2π / n - α) - 2 sin (2π / n - α) sin α + sin ²α]} 1/2
= r b { 2 [1 - cos (2π / n - α) cos α - sin (2π / n - α) sin α]} 1/2
= r b {2 [1 - cos (2π / n - 2α)]} 1 / 2 ,
mientras que la distancia V 2n + 1 V 2n + 2 es igual a
r t {[cos (π / n) - 1] ² + sin² (π / n)} 1/2
= r t {[cos² (π / n) - 2cos (π / n) + 1] + sin² (π / n)} 1/2
= r t {2 [1 - cos (π / n)]} 1/2 .
Estos son iguales, y si el borde común se denota por s,
r b = s / {2 [1 - cos (2π / n - 2α)]} 1/2
r t = s / {2 [1 - cos (π / n)]} 1/2
Estos valores deben insertarse en las expresiones para las coordenadas de los vértices dadas anteriormente.
Generalización en dimensión 4
Las cúpulas se pueden obtener mediante una "expansión" de las pirámides correspondientes (ejemplo: la pirámide cuadrada da la cúpula octogonal ): las caras triangulares de las pirámides se van separando progresivamente por rectángulos hasta que son cuadrados. Por lo tanto, la base n-gonal de la pirámide se transforma en una base 2n-gonal, y la parte superior de la pirámide da paso a una n-ido. Esta propiedad implica que la altura de una cúpula n-gonal es la misma que la de la pirámide n-gonal.
Para generalizar las cúpulas en dimensión 4, es por tanto necesario partir de una pirámide 4D y aplicar esta misma expansión: siempre obtenemos una base y una cima conectadas entre sí por pirámides (que sustituyen a los triángulos) y prismas (que sustituyen a los triángulos). cuadrícula).
¿Cómo saber qué base corresponde a qué techo? Siempre es una expansión de la base de la pirámide. Así, en la dimensión 2, la operación de expansión correspondía de hecho a un truncamiento: por eso vinculamos un n-ido con un 2n-ido; en la dimensión 3, la expansión se denomina “chaflán” (cantelación en inglés); si quisiéramos expandirnos a la dimensión 5, la expansión toma el nombre (en inglés) de "runcination" y luego "sterication".
Por lo tanto, el ejemplo más simple de una pirámide 4D regular, el pentacoro , se basa en un tetraedro . El biselado de un tetraedro da como resultado un cuboctaedro . La cúpula correspondiente es, por tanto, la cúpula tetraédrica, que tiene como base un cuboctaedro y en la parte superior un tetraedro. Así como 2 cúpulas hexagonales dan un cuboctaedro, 2 cúpulas tetraédricas dan un pentacorón "runciné" (pentacoron runcinado en inglés).
Hay un total de 4 hiperpirámides regulares, por lo que hay 4 hiperpirámides regulares: la cúpula tetraédrica, la cúpula cúbica, la cúpula octaédrica y la cúpula dodecaédrica.
Hypercupola
En la tabla, las celdas se dan en el siguiente orden:
- la parte superior
- las celdas que unen las caras de la base con las caras de la parte superior
- las celdas que unen las caras de la base a los bordes de la parte superior
- las celdas que unen las caras de la base a los vértices de la parte superior
- la base.
| Hipercupolas | ||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Cúpula tetraédrica | Cúpula cúbica | Cúpula octaédrica | Cúpula dodecaédrica | |||||
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| Tipo | Policlorina convexa no uniforme | Policlorina convexa no uniforme | Policlorina convexa no uniforme | Policlorina convexa no uniforme | ||||
| Vértices | dieciséis | 32 | 30 | 80 | ||||
| Bordes | 42 | 84 | 84 | 210 | ||||
| Caras | 42 | 24 triángulos 18 cuadrados |
80 | 32 triángulos 48 cuadrados |
82 | 40 triángulos 42 cuadrados |
194 | 80 triángulos 90 cuadrados 24 pentágonos |
| Células | dieciséis | 1 tetraedro 4 prismas triangulares 6 prismas triangulares 4 tetraedros 1 cuboctaedro |
28 | 1 cubo 6 cubos 12 prismas triangulares 8 tetraedros 1 rombicuboctaedro |
28 | 1 octaedro 8 prismas triangulares 12 prismas triangulares 6 pirámides cuadradas 1 rombicuboctaedro |
64 | 1 dodecaedro 12 prismas pentagonales 30 prismas triangulares 20 tetraedros 1 rombicosidodecaedro |