Producto tensor

Ahora es una forma lineal sobre E y v un vector F . Su producto tensorial se identifica con el mapa lineal de E en F dado por α{\ Displaystyle \ alpha}

X↦α(X)v{\ Displaystyle x \ mapsto \ alpha (x) v}

En coordenadas, si y , la matriz de este mapa lineal esα=(αI){\ Displaystyle \ alpha = (\ alpha _ {i})}v=(vj){\ Displaystyle v = (v ^ {j})}(αIvj){\ Displaystyle (\ alpha _ {i} v ^ {j})}

Esto muestra de paso que se identifica con , los elementos descompuestos de correspondientes a los mapas lineales de rango 1 de . L(mi,F){\ Displaystyle {\ mathcal {L}} (E, F)}mi∗⨂F{\ Displaystyle E ^ {\ ast} \ fanatismo F}mi∗⨂F{\ Displaystyle E ^ {\ ast} \ fanatismo F}L(mi,F){\ Displaystyle {\ mathcal {L}} (E, F)}

Extensión corporal básica

Sea un campo conmutativo y un subcampo de . Desde cualquier espacio vectorial E sobre , podemos construir un espacio vectorial sobre por el ajuste K{\ Displaystyle K}k⊂K{\ Displaystyle k \ subconjunto K}K{\ Displaystyle K}k{\ Displaystyle k}mi~{\ Displaystyle {\ tilde {E}}}K{\ Displaystyle K}

mi~=mi⨂kK{\ Displaystyle {\ tilde {E}} = E \ fanatismos _ {k} K}

donde el subíndice indica que es un producto tensorial de espacios vectoriales en . Un ejemplo importante es dónde y . Decimos que es el más complejo de E . k{\ Displaystyle k}k{\ Displaystyle k}k=R{\ Displaystyle k = \ mathbb {R}}K=VS{\ Displaystyle K = \ mathbb {C}}mi~{\ Displaystyle {\ tilde {E}}}

Tensor producto de dos tensores covariantes de pedidos respectivo p y q

Deja y . Entonces, ¿la forma -linear está definida por S∈⨂pagmi∗{\ Displaystyle S \ in \ bigotimes ^ {p} E ^ {\ ast}}T∈⨂qmi∗{\ Displaystyle T \ in \ bigotimes ^ {q} E ^ {\ ast}}S⊗T{\ Displaystyle S \ otimes T}pag+q{\ Displaystyle p + q}mipag+q{\ Displaystyle E ^ {p + q}}

(S⊗T)(X1,⋯,Xpag,Xpag+1,⋯,Xpag+q)=S(X1,⋯,Xpag)T(Xpag+1,⋯,Xpag+q).{\ Displaystyle (S \ otimes T) (x_ {1}, \ cdots, x_ {p}, x_ {p + 1}, \ cdots, x_ {p + q}) = S (x_ {1}, \ cdots , x_ {p}) T (x_ {p + 1}, \ cdots, x_ {p + q}).}

En coordenadas,

(S⊗T)I1I2⋯Ipagj1⋯jq=SI1⋯IpagTj1⋯jq{\ Displaystyle (S \ otimes T) _ {i_ {1} i_ {2} \ cdots i_ {p} j_ {1} \ cdots j_ {q}} = S_ {i_ {1} \ cdots i_ {p}} T_ {j_ {1} \ cdots j_ {q}}}

Producto tensorial de dos tensores contravariantes de orden 1

Por tanto, aquí se trata de vectores. Deje que E y F sean dos espacios vectoriales de dimensión finita, y de dimensiones respectivas p y q , provistos de bases respectivas y . Si ( con la convención de Einstein ) y , entonces (miI)1≤I≤pag{\ Displaystyle (e_ {i}) _ {1 \ leq i \ leq p}}(Fj)1≤j≤q{\ Displaystyle (f_ {j}) _ {1 \ leq j \ leq q}}v=vImiI{\ Displaystyle v = v ^ {i} e_ {i}}w=wjFj{\ Displaystyle w = w ^ {j} f_ {j}}

v⊗w=vIwjmiI⊗Fj{\ Displaystyle v \ otimes w = v ^ {i} w ^ {j} e_ {i} \ otimes f_ {j}}

En otras palabras, es un espacio vectorial de dimensión pq que una base es generado por los dos productos con tensores a dos vectores básicos E y F . De hecho, el espacio y el producto no dependen de la elección de estas bases. Podemos verificar esto directamente o invocar la definición intrínseca del producto tensorial . mi⨂F{\ Displaystyle E \ fanatismo F}mi⨂F{\ Displaystyle E \ fanatismo F}v⊗w{\ Displaystyle v \ otimes w}

Producto tensor contratado

Contracción

Podemos enviar de la siguiente manera: ⨂pag,qmi{\ Displaystyle \ bigotimes ^ {p, q} E}⨂pag-1,q-1mi{\ Displaystyle \ bigotimes ^ {p-1, q-1} E}

con uno asociado (recordemos que son vectores y formas lineales). Este mapa, definido al principio sobre los elementos descompuestos de (es decir, escrito como productos tensoriales de elementos de y de su dual), se extiende a todo el espacio. v1⊗v2⋯⊗vpag⊗α1⊗α2⋯⊗αq{\ Displaystyle v_ {1} \ otimes v_ {2} \ cdots \ otimes v_ {p} \ otimes \ alpha _ {1} \ otimes \ alpha _ {2} \ cdots \ otimes \ alpha _ {q}}α1(v1)v2⊗⋯⊗vpag⊗α2⊗⋯αq{\ Displaystyle \ alpha _ {1} (v_ {1}) v_ {2} \ otimes \ cdots \ otimes v_ {p} \ otimes \ alpha _ {2} \ otimes \ cdots \ alpha _ {q}}vI{\ Displaystyle v_ {i}}αI{\ Displaystyle \ alpha _ {i}}⨂pag,qmi{\ Displaystyle \ bigotimes ^ {p, q} E}mi{\ Displaystyle E}

En coordenadas (a condición de tomar sobre la base dual de la base elegida ), esta aplicación se escribe mi∗{\ Displaystyle E ^ {\ ast}}mi{\ Displaystyle E}

tj1j2⋯jqI1I2⋯Ipag↦tIj2⋯jqII2⋯Ipag{\ Displaystyle t_ {j_ {1} j_ {2} \ cdots j_ {q}} ^ {i_ {1} i_ {2} \ cdots i_ {p}} \ mapsto t_ {ij_ {2} \ cdots j_ {q }} ^ {ii_ {2} \ cdots i_ {p}}}

Por supuesto, usamos la convención de Einstein. Aquí hemos contraído el primer índice contravariante y el primer índice covariante. Podemos hacer esta operación con otras pistas: hay pq contracciones de en⨂pag,qmi{\ Displaystyle \ bigotimes ^ {p, q} E}⨂pag-1,q-1mi{\ Displaystyle \ bigotimes ^ {p-1, q-1} E}

Un producto tensorial contraído es un producto tensorial seguido de una o más contracciones. Puede verse como una generalización del producto de matrices.

Aplicación para indexar cambios

Sea una forma bilineal no degenerada. Es un tensor de tipo (0,2). La forma dual es un tensor de tipo (2, 0). El producto contraído de g (resp. ) Por un tensor de tipo ( p , q ) es un tensor de tipo ( p - 1, q + 1) (resp. De tipo ( p + 1, q - 1). gramo=gramoIj{\ Displaystyle g = g_ {ij}} gramo∗=gramoIj{\ Displaystyle g ^ {\ ast} = g ^ {ij}}gramo∗{\ displaystyle g ^ {\ ast}}

De hecho, gracias a la hipótesis de no degeneración, el producto contraído por g es un isomorfismo de sobre cuyo isomorfismo inverso es el producto contraído por . Algunos autores denominan a estos isomorfismos isomorfismos musicales y los anotan con bemoles o sostenidos según hagan subir o bajar los índices. Se utilizan ampliamente en geometría riemanniana o pseudo-riemanniana. ⨂pag,qmi{\ Displaystyle \ bigotimes ^ {p, q} E}⨂pag-1,q+1mi{\ Displaystyle \ bigotimes ^ {p-1, q + 1} E}gramo∗{\ displaystyle g ^ {\ ast}}

Ejemplos de

• Para p = q = 1, el mapeo de en K no es más que el rastro , si usamos la identificación natural entre y .mi⨂mi∗{\ Displaystyle E \ bigotimes E ^ {\ ast}}mi⨂mi∗{\ Displaystyle E \ bigotimes E ^ {\ ast}}L(mi,mi){\ Displaystyle {\ mathcal {L}} (E, E)}
• El tensor de curvatura de una variedad de Riemann ( M , g ) es un tensor de tipo (1,3).
  Por tanto, tendría a priori tres posibles contracciones. Pero debido a sus propiedades de simetría, la contracción con el tercer índice covariante da 0, mientras que el primero y el segundo dan resultados opuestos. La curvatura de Ricci es una de estas contracciones (las convenciones pueden variar). En coordenadasRIvskl=RkIlI.{\ Displaystyle \ mathrm {Ric} _ {kl} = R_ {kil} ^ {i}.}Intrínsecamente, es el rastro del operador lineal .RIvs(X,Y){\ Displaystyle \ mathrm {Ric} (X, Y)}Z↦R(X,Z)Y{\ Displaystyle Z \ mapsto R (X, Z) Y}
• En una variedad riemanniana o pseudo-riemanniana, la divergencia de un tensor se obtiene contrayendo el índice derivado y otro índice (la mayoría de las veces trabajamos con tensores simétricos o antisimétricos, entonces no hay excepto por una posible divergencia). Explícitamente, la divergencia de un tensor T de tipo (0, p + 1) es el tensor de tipo (0, p ) dado por

(DIvT)I1...Ipag=gramojk∇jTkI1...Ipag.{\ Displaystyle (\ mathrm {div} T) _ {i_ {1} \ dots i_ {p}} = g ^ {jk} \ nabla _ {j} T_ {ki_ {1} \ dots i_ {p}}. }

• En física del estado sólido , la ley de Hooke se expresa mediante un producto tensorial contraído: tenemosSIj=VSIjklmikl.{\ Displaystyle S_ {ij} = C_ {ijkl} e_ {kl}.}Aquí C denota el tensor de elasticidad (simétrico de orden 4), e el tensor de las tensiones y S el tensor de las deformaciones (ambos simétricos de orden 2) (en física clásica se trabaja en marcos de referencia ortonormales, lo que permite no respetar las convenciones de los índices, ya que se pueden identificar todos los tipos de tensores del mismo orden).

Generalizaciones

El producto tensorial se puede definir

• en el caso de que el campo base no sea conmutativo, pero entonces solo será un grupo abeliano  ;mi⨂F{\ Displaystyle E \ fanatismo F}
• para módulos en un anillo  ;
• para paquetes de vectores (como cualquier operación "natural" en espacios vectoriales);
• para espacios localmente convexos (es esta generalización la que hizo famoso a Alexandre Grothendieck , mucho antes de su trabajo en geometría algebraica).

Bibliografía

• N. Bourbaki , Libro II (Álgebra) , cap. 2, § 3 y 4.
• Roger Godement , Cours d'Algebre , Hermann, sección 21
• (en) Serge Lang , Álgebra [ detalle de las ediciones ], Cap. dieciséis

Notas y referencias

1. La prueba se da en el artículo: Tensor producto de dos módulos
2. (en) Marcel Berger , Una vista panorámica de la geometría de Riemann ,2003[ detalle de la edición ], p.  796 .
3. (en) Sylvestre Gallot, Dominique Hulin y Jacques Lafontaine, Geometría de Riemannian [ detalles de publicación ].
4. Richard P. Feynman , Robert B. Leighton  (en) y Matthew Sands  (en) , La La Feynman Lectures on Physics [ publicar detalles ], Electromagnetismo, 39-2.
5. (en) Morris W. Hirsch , Topología diferencial [ ediciones minoristas ].
6. A. Grothendieck, "  Productos de tensores topológicos y espacios nucleares  ", Seminario de Bourbaki , 1951-1954 ( leer en línea ), Exp. n o  69.

Ver también

Artículos relacionados

• Tensor
• Espacio tensorial
• Producto exterior
• Álgebra tensorial
• Producto tensorial topológico  ( pulg )

Enlace externo

(es) Tim Gowers , "  Cómo perder el miedo a los productos tensores  "