Rango (álgebra lineal)

En álgebra lineal  :

Rango de una matriz

El rango de una matriz (cuyos coeficientes pertenecer a un campo conmutativa de escalares , ), denotado , es:

El rango se puede determinar realizando una eliminación mediante el método de Gauss-Jordan y examinando la forma del escalón obtenida de esta manera.

Ejemplo

Considere la siguiente matriz:

A=(1023204602201243){\ displaystyle A = {\ begin {pmatrix} 1 & 0 & 2 & 3 \\ 2 & 0 & 4 & 6 \\ 0 & 2 & 2 & 0 \\ 1 & 2 & 4 & 3 \\\ end { pmatrix}}}

Llamamos a los vectores formados por las cuatro líneas de .

Vemos que la 2 ª  fila es el doble de la primera fila, por lo que el rango de es igual a la de la familia .

Tenga en cuenta también que el 4 º  línea se puede formar mediante la suma de las líneas 1 y 3 (es decir ). Entonces el rango de es igual al de .

Las líneas 1 y 3 son linealmente independientes (es decir, no proporcionales). También lo es el rango 2.

Finalmente, el rango de es 2.


Otra forma es calcular una forma escalada de esta matriz. Esta nueva matriz tiene el mismo rango que la matriz original, y el rango corresponde al número de sus filas que no son cero. En este caso, tenemos dos líneas que coinciden con este criterio.

A′=(1023011000000000){\ displaystyle A '= {\ begin {pmatrix} 1 & 0 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\\ end {pmatrix}}}

Tenga en cuenta que el rango de una matriz dada es igual al rango de su transposición . Para el ejemplo, tomemos la transposición de la matriz A anterior:

tA=(1201002224243603){\ displaystyle ^ {\ text {t}} A = {\ begin {pmatrix} 1 & 2 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 2 \\ 2 & 4 & 2 & 4 \\ 3 & 6 & 0 y 3 \\\ end {pmatrix}}}

Se ve que el 4 º  línea es tres veces el primero, y que la tercera línea es el segundo menos dos veces el primero.


Después de escalar, obtenemos:

(1201001100000000){\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 1 & 2 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\\ end {pmatrix} }}

y el rango de esta matriz es de hecho 2.

Rango de una forma cuadrática

El rango de una forma cuadrática es el rango de la matriz asociada.

Rango de un mapa lineal

Dados dos espacios de vectores , donde es un cuerpo conmutativo y un mapeo lineal de en una fila de es el tamaño de la imagen de .

Si y son de dimensiones finitas, también es el rango de la matriz asociada con en dos bases de y . En particular, el rango de la matriz asociada con no depende de las bases elegidas para representar . De hecho, la multiplicación hacia la derecha o hacia la izquierda por una matriz invertible no cambia el rango, que conduce , donde está la matriz que representa en un primer par de bases, y , de la matriz de cambio de base .

Rango de una familia de vectores

Nota: si es una familia de vectores indexada por números enteros de 1 a , entonces el rango de es el rango del mapa lineal

Kno→mi:(r1,...,rno)↦∑rItuI{\ Displaystyle \ mathbb {K} ^ {n} \ rightarrow E: (r_ {1}, \ dots, r_ {n}) \ mapsto \ sum r_ {i} u_ {i}} donde está el campo de los escalares. La razón es: es la imagen de esta aplicación lineal.

Propiedades

Sean A, B y C matrices.

Demostración

De manera más general, para tres mapas lineales (entre espacios vectoriales de dimensiones no necesariamente finitas) , y tenemos porque el morfismo canónico de in inducido por es sobreyectivo .

Caso donde el campo de los escalares no es conmutativo

En lo anterior, hemos asumido que el campo de los escalares es conmutativo. Podemos extender la noción de rango de una matriz al caso donde el campo de los escalares no es necesariamente conmutativo, pero la definición es un poco más delicada.

Sea un campo no necesariamente conmutativo y una matriz con m filas yn columnas con coeficientes en . Llamamos rango de (con respecto a ) la dimensión del subespacio generado por las columnas de en provisto de su estructura de -espacio vectorial a la derecha . Demostramos que el rango de también es igual a la dimensión del subespacio generado por las líneas de en provisto de su estructura de espacio de K-vector a la izquierda .

Considere, por ejemplo, un campo no conmutativo K y la matriz , donde y son dos elementos de los cuales no se conmutan (estos elementos, por lo tanto, no son cero).

Las dos líneas de esta matriz están relacionadas linealmente en el espacio vectorial de la izquierda , porque . Asimismo, las dos columnas están relacionadas en el espacio vectorial de la derecha , porque . Por tanto, el rango de la matriz es igual a 1.

Por otro lado, las dos columnas no están vinculadas en el espacio vectorial de la izquierda . De hecho, sean y sean escalares de tal manera que . Luego (primeros componentes) , por lo tanto (segundos componentes) . Dado y se supone que no cambie, esto resulta en (se multiplica por para obtener una contradicción) y nuestro resultado es . Por tanto, hemos demostrado que las dos columnas de la matriz son linealmente independientes en el espacio vectorial de la izquierda .

Notas y referencias

  1. (en) G. Marsaglia y GPH Styan, "¿  Cuándo rango ( A + B ) = rango ( A ) + rango ( B )?  ” , Canadian Mathematical Bulletin , vol.  15,1972, p.  451-452 ( leer en línea ).
  2. (in) Sr. Fazel, Minimización de rango de matriz con aplicaciones Tesis de Doctorado . Departamento de Ingeniería Eléctrica , Universidad de Stanford ,2002.
  3. Esta propiedad interviene en los problemas donde se busca obtener objetos parsimoniosos mediante la minimización del rango (en compresión de imágenes por ejemplo). Siendo el rango una función con valores enteros, por tanto difícil de minimizar, a veces se prefiere considerar la aproximación convexa del problema que consiste en minimizar la norma nuclear.
  4. Definición conforme a N. Bourbaki, Álgebra , parte I, París, Hermann, 1970, p. II.59, definición 7.
  5. Véase N. Bourbaki, Álgebra , parte I, París, Hermann, 1970, p. II.59, prop. 10 y párrafo siguiente a la demostración de esta proposición.

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