Teoremas de isomorfismo
En matemáticas , los tres teoremas del isomorfismo proporcionan la existencia de isomorfismos en el contexto de la teoría de grupos .
Estos tres teoremas de isomorfismo se pueden generalizar a estructuras distintas de los grupos . Ver en particular “ Álgebra universal ” y “ Agrupar con operadores ”.
Primer teorema del isomorfismo
El primer teorema de isomorfismo señala que, dado un morfismo de grupos , que pueden hacer inyectiva por quotienting por su núcleo .
F:GRAMO→GRAMO′{\ Displaystyle f: G \ to G '}
F{\ Displaystyle f}
GRAMO{\ Displaystyle G}
Intuitivamente, cociente de un grupo por un subgrupo equivale a "cancelar" los elementos de . Por lo tanto, mediante el cociente por el núcleo de , nos aseguramos de que solo sea cierto para , que es equivalente a la inyectividad de .
GRAMO{\ Displaystyle G}H{\ Displaystyle H}
H{\ Displaystyle H}F{\ Displaystyle f}F(X)=0{\ Displaystyle f (x) = 0}
X=0{\ Displaystyle x = 0}
F{\ Displaystyle f}
Antes de hablar de morfismo grupal , para poder hablar de un grupo cociente, es necesario asegurarse de que sea un subgrupo normal.
GRAMO/KerF→GRAMO′{\ Displaystyle G / \ operatorname {Ker} f \ to G '}
GRAMO/KerF{\ Displaystyle G / \ operatorname {Ker} f}
KerF{\ Displaystyle \ operatorname {Ker} f}
Proposición -
Sea y sea dos grupos y sea un morfismo grupal. Entonces es un subgrupo normal de .
GRAMO{\ Displaystyle G}GRAMO′{\ Displaystyle G '}
F:GRAMO→GRAMO′{\ displaystyle f: G \ rightarrow G '}
KerF{\ Displaystyle \ operatorname {Ker} f}GRAMO{\ Displaystyle G}
Demostración
Nota leyes y y y sus elementos neutros, y verificar que es estable por conjugación, es decir, para cualquier y todos .
⋅{\ Displaystyle \ cdot}
GRAMO{\ Displaystyle G}GRAMO′{\ Displaystyle G '}mi{\ Displaystyle e}
mi′{\ Displaystyle e '}
KerF{\ Displaystyle \ operatorname {Ker} f}X⋅h⋅X-1∈KerF{\ Displaystyle x \ cdot h \ cdot x ^ {- 1} \ in \ operatorname {Ker} f}
X∈GRAMO{\ Displaystyle x \ in G}
h∈KerF{\ Displaystyle h \ in \ operatorname {Ker} f}
Tenemos . Tal como está , es decir eso , deducimos eso . Entonces, está en y por lo tanto es un subgrupo normal de .
F(X⋅h⋅X-1)=F(X)⋅F(h)⋅F(X-1){\ Displaystyle f (x \ cdot h \ cdot x ^ {- 1}) = f (x) \ cdot f (h) \ cdot f (x ^ {- 1})}
h{\ Displaystyle h}
KerF{\ Displaystyle \ operatorname {Ker} f}F(h)=mi′{\ Displaystyle f (h) = e '}
F(X⋅h⋅X-1)=F(X)⋅F(X-1)=F(X⋅X-1)=F(mi)=mi′{\ Displaystyle f (x \ cdot h \ cdot x ^ {- 1}) = f (x) \ cdot f (x ^ {- 1}) = f (x \ cdot x ^ {- 1}) = f ( e) = e '}
X⋅h⋅X-1{\ Displaystyle x \ cdot h \ cdot x ^ {- 1}}
KerF{\ Displaystyle \ operatorname {Ker} f}KerF{\ Displaystyle \ operatorname {Ker} f}GRAMO{\ Displaystyle G}
El hecho de que sea un subgrupo normal de permite definir sobre el grupo cociente una distribución grupal compatible con la de . Gracias a esta compatibilidad, el morfismo de grupos induce un isomorfismo .
KerF{\ Displaystyle \ operatorname {Ker} f}GRAMO{\ Displaystyle G}GRAMO/KerF{\ Displaystyle G / \ operatorname {Ker} f}GRAMO{\ Displaystyle G}F:GRAMO→GRAMO′{\ displaystyle f: G \ rightarrow G '}F^:GRAMO/KerF→SoyF{\ displaystyle {\ widehat {f}}: G / \ operatorname {Ker} f \ rightarrow \ operatorname {Im} f}
Ahora podemos enunciar el teorema.
Primer teorema del isomorfismo :
sean y sean dos grupos y un morfismo de grupo. Luego induzca un isomorfismo de gusano .
GRAMO{\ Displaystyle G}GRAMO′{\ Displaystyle G '}F:GRAMO→GRAMO′{\ displaystyle f: G \ rightarrow G '}F{\ Displaystyle f}GRAMO/KerF{\ Displaystyle G / \ operatorname {Ker} f}F(GRAMO){\ Displaystyle f (G)}
Demostración
Denotemos el núcleo de . Definimos posando
H{\ Displaystyle H}F{\ Displaystyle f}F^{\ Displaystyle {\ hat {f}}}
F^(XH)=F(X){\ Displaystyle {\ widehat {f}} (xH) = f (x)}
.
- La función está bien definida , es decir, depende solo de la clase y no del representante en particular . De hecho, si es otro representante de , es decir si , entonces , por lo tanto , de dónde .F^{\ Displaystyle {\ widehat {f}}}
F^(XH){\ Displaystyle {\ widehat {f}} (xH)}
XH{\ Displaystyle xH}
X{\ Displaystyle x}
y∈GRAMO{\ Displaystyle y \ en G}
XH{\ Displaystyle xH}XH=yH{\ Displaystyle xH = yH}
Xy-1∈H=KerF{\ displaystyle xy ^ {- 1} \ in H = \ operatorname {Ker} f}
F(X)=F(y){\ Displaystyle f (x) = f (y)}
F^(XH)=F^(yH){\ displaystyle {\ widehat {f}} (xH) = {\ widehat {f}} (yH)}
- Por definición de la ley de grupo del cociente, es un morfismo de grupos.F^{\ Displaystyle {\ widehat {f}}}
- El morfismo es sobreyectivo: para todo , existe tal que ; pero luego .F^{\ Displaystyle {\ widehat {f}}}y∈F(GRAMO){\ Displaystyle y \ in f (G)}
X∈GRAMO{\ Displaystyle x \ in G}F(X)=y{\ Displaystyle f (x) = y}
F^(XH)=F(X)=y{\ Displaystyle {\ widehat {f}} (xH) = f (x) = y}
- El morfismo es inyectivo. De hecho, ya sea un elemento de su núcleo. Entonces , es decir, está en el núcleo de . Pero entonces , ¿quién es el elemento neutral de .F^{\ Displaystyle {\ widehat {f}}}XH{\ Displaystyle xH}mi′=F^(XH)=F(X){\ Displaystyle e '= {\ widehat {f}} (xH) = f (x)}
X{\ Displaystyle x}H{\ Displaystyle H}F{\ Displaystyle f}XH=H{\ Displaystyle xH = H}
GRAMO/H{\ Displaystyle G / H}
Otra posible formulación del teorema anterior es que el morfismo está factorizado por sobreyección e inyección canónicas, es decir que el diagrama que sigue es conmutativo .
F{\ Displaystyle f}
Segundo teorema del isomorfismo
Segundo teorema del isomorfismo :
sea un grupo, un subgrupo normal de y un subgrupo de . Entonces es un subgrupo normal de , y tenemos el siguiente isomorfismo:
GRAMO{\ Displaystyle G}NO{\ Displaystyle N}
GRAMO{\ Displaystyle G}H{\ Displaystyle H}GRAMO{\ Displaystyle G}H∩NO{\ Displaystyle H \ cap N}
H{\ Displaystyle H}
H/(H∩NO)≃HNO/NO.{\ Displaystyle H / (H \ cap N) \ simeq HN / N.}
Demostración
- Para poder hablar sobre el grupo , primero debemos demostrar que es un grupo y que es un subgrupo normal.HNO/NO{\ Displaystyle HN / N}
HNO{\ Displaystyle HN}
NO{\ Displaystyle N}
Dejemos y dos elementos de . Tenemos , con , (ya que es normal en ) y , por lo tanto, está en , lo que muestra que es estable por multiplicación.
es estable a la inversión porque , y contiene . Lo notamos porque y .
hno{\ displaystyle hn}
h′no′{\ displaystyle h'n '}
HNO{\ Displaystyle HN}hnoh′no′=hh′(h′-1noh′)no′{\ Displaystyle hnh'n '= hh' (h '^ {- 1} nh') n '}
hh′∈H{\ Displaystyle hh '\ in H}
h′-1noh′∈NO{\ Displaystyle h '^ {- 1} nh' \ in N}
NO{\ Displaystyle N}GRAMO{\ Displaystyle G}no′∈NO{\ Displaystyle n '\ in N}
hnoh′no′{\ Displaystyle hnh'n '}
HNO{\ Displaystyle HN}HNO{\ Displaystyle HN}HNO{\ Displaystyle HN}(hno)-1=h-1(hno-1h-1)∈HNO{\ Displaystyle (hn) ^ {- 1} = h ^ {- 1} (hn ^ {- 1} h ^ {- 1}) \ in HN}
mi{\ Displaystyle e}HNO=NOH{\ Displaystyle HN = NH}
noh=h(h-1noh)∈HNO{\ Displaystyle nh = h (h ^ {- 1} nh) \ in HN}
hno=(hnoh-1)h∈NOH{\ Displaystyle hn = (hnh ^ {- 1}) h \ en NH}
Por otro lado, tenemos inclusiones grupales , y es normal en , por lo que también es normal en .
NO⊂HNO⊂GRAMO{\ Displaystyle N \ subconjunto HN \ subconjunto G}
NO{\ Displaystyle N}GRAMO{\ Displaystyle G}HNO{\ Displaystyle HN}
- Para establecer el isomorfismo, usaremos el primer teorema de isomorfismo.
Tenemos un morfismo inyectivo definido por , y la sobreyección canónica (el conjunto a la llegada es un grupo, ya que es normal en ). Al componer estos dos morfismos, obtenemos un nuevo morfismo definido por .
j:H↪HNO{\ Displaystyle j: H \ hookrightarrow HN}
j(h)=h{\ Displaystyle j (h) = h}
σ:HNO↠HNO/NO{\ Displaystyle \ sigma: HN \ twoheadrightarrow HN / N}
NO{\ Displaystyle N}GRAMO{\ Displaystyle G}F=σ∘j:H→HNO/NO{\ Displaystyle f = \ sigma \ circ j: H \ to HN / N}
F(h)=hNO{\ Displaystyle f (h) = hN}
- El morfismo es sobreyectivo.F{\ Displaystyle f}
De hecho, con y . Ya que está adentro , entonces .
(hno)NO∈HNO/NO{\ Displaystyle (hn) N \ en HN / N}
h∈H{\ Displaystyle h \ in H}
no∈NO{\ Displaystyle n \ in N}
no{\ Displaystyle n}
NO{\ Displaystyle N}hnoNO=hNO{\ Displaystyle hnN = hN}
hnoNO=F(h){\ Displaystyle hnN = f (h)}
- El núcleo de is .F{\ Displaystyle f}H∩NO{\ Displaystyle H \ cap N}
De hecho, es el elemento neutral de si, y solo si, está en . Como ya está adentro , equivale a decir que está adentro .
F(h)=hNO{\ Displaystyle f (h) = hN}NO{\ Displaystyle N}HNO/NO{\ Displaystyle HN / N}h{\ Displaystyle h}NO{\ Displaystyle N}h{\ Displaystyle h}H{\ Displaystyle H}h{\ Displaystyle h}NO∩H{\ Displaystyle N \ cap H}
- El primer teorema del isomorfismo asegura entonces que es un subgrupo normal de y que el morfismo inducido es un isomorfismo.NO∩H{\ Displaystyle N \ cap H}H{\ Displaystyle H}F^:H/(NO∩H)→HNO/NO{\ Displaystyle {\ widehat {f}}: H / (N \ cap H) \ to HN / N}
La conclusión de este teorema sigue siendo cierta si solo se supone que el emisor estándar debe contener (en lugar de suponer que es igual a cualquier número entero).
NO{\ Displaystyle N}H{\ Displaystyle H}GRAMO{\ Displaystyle G}
Tercer teorema del isomorfismo
Tercer teorema del isomorfismo : sea un grupo y dos subgrupos normales de los que están incluidos en . Entonces es un subgrupo normal de y tenemos el siguiente isomorfismo:
GRAMO{\ Displaystyle G}NO{\ Displaystyle N}METRO{\ Displaystyle M}
GRAMO{\ Displaystyle G}METRO{\ Displaystyle M}NO{\ Displaystyle N}NO/METRO{\ Displaystyle N / M}
GRAMO/METRO{\ Displaystyle G / M}
(GRAMO/METRO)/(NO/METRO)≃GRAMO/NO.{\ Displaystyle (G / M) / (N / M) \ simeq G / N.}
Demostración
Morfismo
GRAMO/METRO→GRAMO/NO, gramoMETRO↦(gramoMETRO)NO=gramo(METRONO)=gramoNO{\ Displaystyle G / M \ a G / N, ~ gM \ mapsto (gM) N = g (MN) = gN}
es sobreyectiva y central .
NO/METRO{\ Displaystyle N / M}
Ver también
Referencia
Serge Lang , Álgebra [ detalle de las ediciones ] capítulo I, § 4
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">