Sistema de ecuaciones lineales
En matemáticas y particularmente en álgebra lineal , un sistema de ecuaciones lineales es un sistema de ecuaciones compuesto por ecuaciones lineales que se relacionan con las mismas incógnitas. Por ejemplo :
{2X1+3X22+X3=-1X12+X2+3X3=42X1+3X2+X34=3{\ Displaystyle {\ begin {cases} 2x_ {1} + {\ frac {3x_ {2}} {2}} + x_ {3} = - 1 \\ {\ frac {x_ {1}} {2}} + x_ {2} + 3x_ {3} = 4 \\ 2x_ {1} + 3x_ {2} + {\ frac {x_ {3}} {4}} = 3 \ end {cases}}}![{\ begin {cases} 2x_ {1} + {\ frac {3x_ {2}} {2}} + x_ {3} = - 1 \\ {\ frac {x_ {1}} {2}} + x_ { 2} + 3x_ {3} = 4 \\ 2x_ {1} + 3x_ {2} + {\ frac {x_ {3}} {4}} = 3 \ end {cases}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0fb528ec5922636ee0f54bb061c2f787546c4c7a)
El problema es encontrar los valores de las incógnitas , y que satisfacen las tres ecuaciones simultáneamente.
X1{\ Displaystyle x_ {1}}
X2{\ Displaystyle x_ {2}}
X3{\ Displaystyle x_ {3}}![x_ {3}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/766d09a498699be10e276ad49145c921f8cbe335)
La resolución de sistemas de ecuaciones lineales pertenece a los problemas más antiguos de las matemáticas y estos aparecen en muchos campos, como en el procesamiento de señales digitales , en la optimización lineal o en la aproximación de problemas no lineales en el análisis numérico . Una forma eficiente de resolver un sistema de ecuaciones lineales viene dada por la eliminación de Gauss-Jordan o por la descomposición de Cholesky o por la descomposición LU . En casos simples, también se puede aplicar la regla de Cramer .
Definiciones matemáticas
En general, un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas se puede escribir de la siguiente forma:
{a1,1X1+a1,2X2+⋯+a1,noXno=B1a2,1X1+a2,2X2+⋯+a2,noXno=B2⋮⋮ametro,1X1+ametro,2X2+⋯+ametro,noXno=Bmetro{\ Displaystyle \ left \ {{\ begin {matrix} a_ {1,1} x_ {1} + a_ {1,2} x_ {2} + \ dots + a_ {1, n} x_ {n} = b_ {1} \\ a_ {2,1} x_ {1} + a_ {2,2} x_ {2} + \ puntos + a_ {2, n} x_ {n} = b_ {2} \\\ vdots \ \\ vdots \\ a_ {m, 1} x_ {1} + a_ {m, 2} x_ {2} + \ dots + a_ {m, n} x_ {n} = b_ {m} \ end {matrix} } \ derecho.}![{\ Displaystyle \ left \ {{\ begin {matrix} a_ {1,1} x_ {1} + a_ {1,2} x_ {2} + \ dots + a_ {1, n} x_ {n} = b_ {1} \\ a_ {2,1} x_ {1} + a_ {2,2} x_ {2} + \ puntos + a_ {2, n} x_ {n} = b_ {2} \\\ vdots \ \\ vdots \\ a_ {m, 1} x_ {1} + a_ {m, 2} x_ {2} + \ dots + a_ {m, n} x_ {n} = b_ {m} \ end {matrix} } \ derecho.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e41fcc0309300dbdc4aa63e8b57893c0448ea883)
¿Dónde están las incógnitas y los números son los coeficientes del sistema?
X1,...,Xno{\ Displaystyle x_ {1}, \ dots, x_ {n}}
aI,j{\ Displaystyle a_ {i, j}}![a_ {i, j}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4bb5a346f58c6568306a02596dd318d1b7e6b2c2)
Ejemplo
Un sistema de 2 ecuaciones lineales con 2 incógnitas es un sistema de la forma
(S){aX+By=mivsX+Dy=F{\ Displaystyle (S) \ quad \ left \ {{\ begin {matrix} ax + by = e \\ cx + dy = f \ end {matrix}} \ right.}![{\ Displaystyle (S) \ quad \ left \ {{\ begin {matrix} ax + by = e \\ cx + dy = f \ end {matrix}} \ right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a8653b94dbe62f10b6e9cfcc478a08f6fa491a76)
Resolver es encontrar todos los valores que se deben dar a cada incógnita al mismo tiempo para que todas las igualdades sean verdaderas.
(S){\ Displaystyle (S)}![(S)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e7fcd27e8d01fdf5fe00da4f97045f079cd97bff)
Un sistema de ecuaciones lineales también se puede escribir en forma de matriz :
AX=B{\ Displaystyle Ax = b}![Ax = b](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c294fb03a23c833d5b3cc6b3cbe40f25f0005745)
con :
A=(a1,1a1,2⋯a1,noa2,1a2,2⋯a2,no⋮⋮⋱⋮ametro,1ametro,2⋯ametro,no);X=(X1X2⋮Xno)yB=(B1B2⋮Bmetro){\ Displaystyle A = {\ begin {pmatrix} a_ {1,1} & a_ {1,2} & \ cdots & a_ {1, n} \\ a_ {2,1} & a_ {2,2} & \ cdots & a_ {2, n} \\\ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \\ a_ {m, 1} & a_ {m, 2} & \ cdots & a_ {m, n} \ end { pmatrix}}; \ qquad x = {\ begin {pmatrix} x_ {1} \\ x_ {2} \\\ vdots \\ x_ {n} \ end {pmatrix}} \ quad {\ text {y}} \ quad b = {\ begin {pmatrix} b_ {1} \\ b_ {2} \\\ vdots \\ b_ {m} \ end {pmatrix}}}![A = {\ begin {pmatrix} a _ {{1,1}} & a _ {{1,2}} & \ cdots & a _ {{1, n}} \\ a _ {{2,1} } & a _ {{2, 2}} & \ cdots & a _ {{2, n}} \\\ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \\ a _ {{m, 1}} & a _ {{m, 2}} & \ cdots & a_ {{m, n}} \ end {pmatrix}}; \ qquad x = {\ begin {pmatrix} x_ {1} \\ x_ {2} \\\ vdots \\ x_ {n} \ end {pmatrix}} \ quad {\ text {et}} \ quad b = {\ begin {pmatrix} b_ {1} \\ b_ {2} \\\ vdots \\ b_ { m} \ end {pmatrix}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae9b1fb986c109dd901905dca4adb0b9dd526152)
Sistema homogéneo
Un sistema de la forma:
AX=0{\ displaystyle Ax = 0}![{\ displaystyle Ax = 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d65b554c665205ea91902f56fc1836086c1fbeaf)
se llama sistema de ecuaciones lineales homogéneas. Todos los sistemas homogéneos admiten al menos una solución:
X1=0 ; X2=0 ; ... ; Xno=0{\ Displaystyle x_ {1} = 0 \; \ x_ {2} = 0 \; \ \ dots \; \ x_ {n} = 0}![{\ Displaystyle x_ {1} = 0 \; \ x_ {2} = 0 \; \ \ dots \; \ x_ {n} = 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/079cb7edca58ab0524e2e2bf2d7d6404d945b66f)
Esta solución es la solución nula o trivial .
Número de soluciones de un sistema de ecuaciones
Si el campo es infinito (como es el caso de los números reales y de los números complejos ), entonces solo los siguientes tres casos son posibles para cualquier sistema dado de ecuaciones lineales con n incógnitas:
- el sistema no tiene solución (para un sistema homogéneo, este caso es imposible);
- el sistema tiene una solución n- uplet única;
- el sistema tiene una infinidad de n -tuplas soluciones (para un sistema homogéneo que comprende estrictamente inferior a n ecuaciones, están siempre en este 3 rd caso).
No hay regla más precisa que para un sistema de ecuaciones lineales independientes con n incógnitas. Entonces hay:
- no hay solución cuando el número de ecuaciones es estrictamente mayor que n ;
- una solución única cuando el número de ecuaciones es igual an ;
- una infinidad de soluciones (en un campo infinito) cuando el número de ecuaciones es estrictamente menor que n (por ejemplo, la solución de un sistema de dos ecuaciones cartesianas de secantes planos , en un espacio afín de dimensión n = 3, consiste en proporcionar un paramétrico ecuación de la línea de intersección de estos dos planos).
Ejemplo de una ecuación con 2 incógnitas que tienen infinidad de soluciones
La ecuación tiene infinidad de soluciones. Si tomamos por el valor , obtenemos:
4X+2y=-1{\ Displaystyle 4x + 2y = -1}
X{\ Displaystyle x}
1{\ Displaystyle 1}![1](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92d98b82a3778f043108d4e20960a9193df57cbf)
-
4×1+2y=-1{\ Displaystyle 4 \ times 1 + 2y = -1}
;
-
4+2y=-1{\ Displaystyle 4 + 2y = -1}
;
-
2y=-5{\ Displaystyle 2y = -5}
;
-
y=-52{\ Displaystyle y = {\ dfrac {-5} {2}}}
.
De manera más general, esta ecuación determina el valor de para cualquier elección de un valor de :
y{\ Displaystyle y}
X{\ Displaystyle x}![X](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4)
4X+2y=-1⇔2y=-1-4X⇔y=-1-4X2⇔y=-0,5-2X.{\ displaystyle {\ begin {align} 4x + 2y = -1 & \ Leftrightarrow 2y = -1-4x \\ & \ Leftrightarrow y = {\ dfrac {-1-4x} {2}} \\ & \ Leftrightarrow y = -0 {,} 5-2x. \ End {alineado}}}![{\ displaystyle {\ begin {align} 4x + 2y = -1 & \ Leftrightarrow 2y = -1-4x \\ & \ Leftrightarrow y = {\ dfrac {-1-4x} {2}} \\ & \ Leftrightarrow y = -0 {,} 5-2x. \ End {alineado}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ec87e393160d3be7b5bd479cd0a737fcda2c39e)
Sistemas de 2 ecuaciones lineales con 2 incógnitas
El tipo más simple de sistema lineal involucra dos ecuaciones y dos variables:
(S){aX+By=mivsX+Dy=F{\ Displaystyle (S) \ quad \ left \ {{\ begin {matrix} ax + by = e \\ cx + dy = f \ end {matrix}} \ right.}![{\ Displaystyle (S) \ quad \ left \ {{\ begin {matrix} ax + by = e \\ cx + dy = f \ end {matrix}} \ right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a8653b94dbe62f10b6e9cfcc478a08f6fa491a76)
Este sistema se puede resolver mediante sustitución .
Interpretación gráfica
Esto nos permitirá establecer teoremas útiles para lo siguiente.
Cada ecuación del sistema define una función afín y, por lo tanto, está representada por una línea recta en un sistema de coordenadas. Oro :
(S){\ Displaystyle (S)}![(S)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e7fcd27e8d01fdf5fe00da4f97045f079cd97bff)
- las coordenadas del punto de intersección de las dos líneas representan la solución de ;(S){\ Displaystyle (S)}
![(S)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e7fcd27e8d01fdf5fe00da4f97045f079cd97bff)
- dos líneas tienen:
- ya sea un solo punto de intersección;
- o ningún punto de intersección;
- es decir una infinidad de puntos de intersección.
De ahí el siguiente teorema:
Teorema 1 : El sistema tiene:
(S){\ Displaystyle (S)}![(S)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e7fcd27e8d01fdf5fe00da4f97045f079cd97bff)
- ya sea una sola solución;
- o no hay solución;
- es decir una infinidad de soluciones.
También probamos el siguiente teorema:
Teorema 2 : El sistema admite solo una solución si, y solo si, el número no es cero.
(S){\ Displaystyle (S)}
aD-Bvs{\ displaystyle ad-bc}![{\ displaystyle ad-bc}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d7a02216ef47ba00ea58970ca8a10da5b62aa648)
Que llamamos el factor determinante del sistema .
aD-Bvs{\ displaystyle ad-bc}
(S){\ Displaystyle (S)}![(S)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e7fcd27e8d01fdf5fe00da4f97045f079cd97bff)
Ejemplo de resolución gráfica : O el sistema
{4X+2y=-13X-y=2.{\ Displaystyle \ left \ {{\ begin {matrix} 4x + 2y = -1 \\ 3x-y = 2. \ end {matrix}} \ right.}![{\ Displaystyle \ left \ {{\ begin {matrix} 4x + 2y = -1 \\ 3x-y = 2. \ end {matrix}} \ right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cdd80b57733f60ef6cda312c6292577e4bf208e7)
La primera ecuación es equivalente a ( ver arriba ).
y=-0,5-2X{\ Displaystyle y = -0 {,} 5-2x}![{\ Displaystyle y = -0 {,} 5-2x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a9ef5fca9f55a076e0b74422921a0d347aafccdf)
La segunda ecuación es equivalente a:
-
3X-y=2{\ Displaystyle 3x-y = 2}
;
-
-y=2-3X{\ Displaystyle -y = 2-3x}
;
-
y=-(2-3X)=3X-2{\ Displaystyle y = - (2-3x) = 3x-2}
.
Al trazar las líneas de las respectivas ecuaciones y , vemos que su punto de intersección es . La solución del sistema es y .
y=-0,5-2X{\ Displaystyle y = -0 {,} 5-2x}
y=3X-2{\ Displaystyle y = 3x-2}
(0,3,-1,1){\ displaystyle (0 {,} 3, -1 {,} 1)}
X=0,3{\ Displaystyle x = 0 {,} 3}
y=-1,1{\ Displaystyle y = -1 {,} 1}![{\ Displaystyle y = -1 {,} 1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b662ca43b224e48fdf571b324ecc005f23cb2fe8)
Resolución algebraica
La eliminación de Gauss-Jordan , mencionada anteriormente, se aplica a todos estos sistemas, incluso si los coeficientes provienen de un campo arbitrario.
Hay dos métodos a priori diferentes, pero que se basan en el mismo principio básico: eliminación de una incógnita. Vamos a detallarlos con un ejemplo.
Método de sustitución
Tomemos el sistema por ejemplo:{4X+2y=-13X-y=2{\ Displaystyle \ left \ {{\ begin {matrix} 4x + 2y = -1 \\ 3x-y = 2 \ end {matrix}} \ right.}
La primera ecuación nos permite expresar en función de . Más precisamente, es equivalente a ( ver arriba ). Así que reemplacemos por en la segunda ecuación. Se tiene :
y{\ Displaystyle y}
X{\ Displaystyle x}
y=-0,5-2X{\ Displaystyle y = -0 {,} 5-2x}
y{\ Displaystyle y}
-0,5-2X{\ displaystyle -0 {,} 5-2x}![{\ displaystyle -0 {,} 5-2x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6904bf25319e11552fdad73c624854b77b3a1169)
3X-(-0,5-2X)=2⇔3X+0,5+2X=2⇔5X+0,5=2⇔5X=1,5⇔X=1,55=0,3.{\ displaystyle {\ begin {align} 3x - (- 0 {,} 5-2x) = 2 & \ Leftrightarrow 3x + 0 {,} 5 + 2x = 2 \\ & \ Leftrightarrow 5x + 0 {,} 5 = 2 \\ & \ Leftrightarrow 5x = 1 {,} 5 \\ & \ Leftrightarrow x = {\ dfrac {1 {,} 5} {5}} = 0 {,} 3. \ end {alineado}}}![{\ displaystyle {\ begin {align} 3x - (- 0 {,} 5-2x) = 2 & \ Leftrightarrow 3x + 0 {,} 5 + 2x = 2 \\ & \ Leftrightarrow 5x + 0 {,} 5 = 2 \\ & \ Leftrightarrow 5x = 1 {,} 5 \\ & \ Leftrightarrow x = {\ dfrac {1 {,} 5} {5}} = 0 {,} 3. \ end {alineado}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e6320d83ee5711a267d322de04821008f42c72f)
Por tanto, el sistema es equivalente a:
{y=-0,5-2XX=0,3.{\ displaystyle {\ begin {cases} y = -0 {,} 5-2x \\ x = 0 {,} 3 \ end {cases}}.}![{\ displaystyle {\ begin {cases} y = -0 {,} 5-2x \\ x = 0 {,} 3 \ end {cases}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca3c0af1013429356d3685fb3371a96dcaee449c)
Sustitución por en la primera ecuación, se obtiene: .
X{\ Displaystyle x}
0,3{\ displaystyle 0 {,} 3}
y=-0,5-2×0,3=-0,5-0,6=-1,1{\ Displaystyle y = -0 {,} 5-2 \ times 0 {,} 3 = -0 {,} 5-0 {,} 6 = -1 {,} 1}![{\ Displaystyle y = -0 {,} 5-2 \ times 0 {,} 3 = -0 {,} 5-0 {,} 6 = -1 {,} 1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea10f1af5fa122517350f5fe59b6653b677f6db4)
Por tanto, el sistema tiene una única solución: la pareja .
(X,y)=(0,3,-1,1){\ displaystyle (x, y) = (0 {,} 3, -1 {,} 1)}![{\ displaystyle (x, y) = (0 {,} 3, -1 {,} 1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/65172e2fcc6f07f9ced24c459f7c2532ff5e39c8)
Método de combinación o eliminación
Este método también se denomina "método por combinación lineal".
Ejemplo : tomemos el sistema
{4X+2y=-13X-y=2{\ displaystyle {\ begin {cases} 4x + 2y & = - 1 \\ 3x-y & = 2 \ end {cases}}}![{\ displaystyle {\ begin {cases} 4x + 2y & = - 1 \\ 3x-y & = 2 \ end {cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5c75d4efa9501b8d30d2f958e30a19f232b351b4)
Un equivalente sistema se obtiene por mantener la primera fila y multiplicando la segunda por 2 a continuación, mediante la adición de la primera a la misma, a fin de eliminar . El sistema se convierte en:
y{\ Displaystyle y}![y](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8a6208ec717213d4317e666f1ae872e00620a0d)
{4X+2y=-12×3X-2×y=2×2{\ displaystyle {\ begin {cases} 4x + 2y & = - 1 \\ 2 \ times 3x-2 \ times y & = 2 \ times 2 \ end {cases}}}![{\ displaystyle {\ begin {cases} 4x + 2y & = - 1 \\ 2 \ times 3x-2 \ times y & = 2 \ times 2 \ end {cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ad44f62b17400d13bc00beb61b941124e95faa8)
, es decir
{4X+2y=-16X-2y=4{\ displaystyle {\ begin {cases} 4x + 2y & = - 1 \\ 6x-2y & = 4 \ end {cases}}}
luego (por adición):
{4X+2y=-110X=3{\ displaystyle {\ begin {cases} 4x + 2y & = - 1 \\ 10x & = 3 \ end {cases}}}![{\ displaystyle {\ begin {cases} 4x + 2y & = - 1 \\ 10x & = 3 \ end {cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e49ebdf54749e12db2d37066dd442b94b6978da)
, es decir
{4X+2y=-1X=310.{\ displaystyle {\ begin {cases} 4x + 2y & = - 1 \\ x & = {\ dfrac {3} {10}}. \ end {cases}}}
Reemplacemos con en la primera línea. Se convierte en :
X{\ Displaystyle x}
310=0,3{\ displaystyle {\ dfrac {3} {10}} = 0 {,} 3}![{\ displaystyle {\ dfrac {3} {10}} = 0 {,} 3}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b302fff30388d59553d74d83babaf96e821c964d)
-
4×0,3+2y=-1{\ Displaystyle 4 \ times 0 {,} 3 + 2y = -1}
;
-
1,2+2y=-1{\ Displaystyle 1 {,} 2 + 2y = -1 \,}
;
-
2y=-1-1,2=-2,2{\ Displaystyle 2y = -1-1 {,} 2 = -2 {,} 2}
;
-
y=-2,22=-1,1{\ Displaystyle y = {\ dfrac {-2 {,} 2} {2}} = - 1 {,} 1}
.
Por tanto, el sistema inicial es equivalente a
{y=-1,1X=0,3{\ displaystyle {\ begin {cases} y & = - 1 {,} 1 \\ x & = 0 {,} 3 \ end {cases}}}![{\ displaystyle {\ begin {cases} y & = - 1 {,} 1 \\ x & = 0 {,} 3 \ end {cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d6a6305121b1d959687a5b6870190fd9166fd2d)
Descubrimos así que tiene una solución única: la pareja .
(0,3,-1,1){\ displaystyle (0 {,} 3, -1 {,} 1)}![{\ displaystyle (0 {,} 3, -1 {,} 1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/62bbd593d6abb52baab260b1b6f3ad8894e6a004)
Caso general
En general, un sistema de la forma
{aX+By=mivsX+Dy=F{\ Displaystyle \ left \ {{\ begin {matrix} ax + by = e \\ cx + dy = f \ end {matrix}} \ right.}![\ left \ {\ begin {matrix} ax + by = e \\ cx + dy = f \ end {matrix} \ right.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c2ce8fcd6f7db2a02814a77b192195b089f91eaf)
cuyo determinante no es cero tiene como única solución:
aD-Bvs{\ displaystyle ad-bc}![{\ displaystyle ad-bc}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d7a02216ef47ba00ea58970ca8a10da5b62aa648)
X=|miBFD||aBvsD|=miD-BFaD-Bvs,y=|amivsF||aBvsD|=aF-mivsaD-Bvs.{\ displaystyle x = {{\ begin {vmatrix} e & b \\ f & d \ end {vmatrix}} \ over {\ begin {vmatrix} a & b \\ c & d \ end {vmatrix}}} = {ed-bf \ over ad- bc}, \ quad y = {{\ begin {vmatrix} a & e \\ c & f \ end {vmatrix}} \ over {\ begin {vmatrix} a & b \\ c & d \ end {vmatrix}}} = {af-ec \ over ad-bc}.}![x = {\ begin {vmatrix} e & b \\ f & d \ end {vmatrix} \ over \ begin {vmatrix} a & b \\ c & d \ end {vmatrix}} = {ed - bf \ over ad - bc}, \ quad y = {\ begin {vmatrix} a & e \\ c & f \ end {vmatrix} \ over \ begin {vmatrix} a & b \\ c & d \ end {vmatrix}} = { af - ec \ over ad - bc}.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e99b4339bb25d8680ccb4408bdd0baf64aa9f43d)
Sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas
Los sistemas de 3 ecuaciones con 3 incógnitas también se resuelven de esta forma:
Método de sustitución
{X+10y-3z=5[1]2X-y+2z=2[2]-X+y+z=-3[3]{\ Displaystyle \ left \ {{\ begin {matrix} x + 10y-3z = 5 \ quad [1] \\ 2x-y + 2z = 2 \ quad [2] \\ - x + y + z = -3 \ quad [3] \ end {matriz}} \ right.}![{\ Displaystyle \ left \ {{\ begin {matrix} x + 10y-3z = 5 \ quad [1] \\ 2x-y + 2z = 2 \ quad [2] \\ - x + y + z = -3 \ quad [3] \ end {matriz}} \ right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/26d32b15666ccfe3fa57023dcfc3b730ef6f9f21)
.
Para resolver este sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas, aislamos una incógnita en una de las ecuaciones. En este sistema, aislamos la x desconocida en la ecuación [1]
[1] .
X=-10y+3z+5{\ Displaystyle x = -10y + 3z + 5}![{\ Displaystyle x = -10y + 3z + 5}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b14b7581e355750b9473167a37721594600d504)
Ahora reemplazamos la incógnita en las ecuaciones [2] y [3], lo que da un sistema de 2 ecuaciones con 2 incógnitas para resolver.
X{\ Displaystyle x}![X](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4)
{2(-10y+3z+5)-y+2z=2[2]-(-10y+3z+5)+y+z=-3[3]{\ Displaystyle \ left \ {{\ begin {matrix} 2 (-10y + 3z + 5) -y + 2z = 2 [2] \\ - (- 10y + 3z + 5) + y + z = -3 [ 3] \ end {matriz}} \ right.}![{\ Displaystyle \ left \ {{\ begin {matrix} 2 (-10y + 3z + 5) -y + 2z = 2 [2] \\ - (- 10y + 3z + 5) + y + z = -3 [ 3] \ end {matriz}} \ right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af03c76dd205fbb6fc7c00921301fb83de70c76a)
.
Después de encontrar y , los reemplazamos en la ecuación [1] para encontrar .
y{\ Displaystyle y}
z{\ Displaystyle z}
X{\ Displaystyle x}![X](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4)
Método de eliminación
{X-3y+10z=5[1]2X+2y-z=2[2]-X+y+z=-3[3]{\ Displaystyle {\ begin {cases} x & - & 3y & + & 10z & = 5 & [1] \\ 2x & + & 2y & - & z & = 2 & [2] \\ - x & + & y & + & z & = - 3 & [3] \ end {cases}}}![{\ Displaystyle {\ begin {cases} x & - & 3y & + & 10z & = 5 & [1] \\ 2x & + & 2y & - & z & = 2 & [2] \\ - x & + & y & + & z & = - 3 & [3] \ end {cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/de1c99adb82d751ab2f9b718217a86de7a71829e)
Para resolver este sistema, se puede eliminar, por ejemplo, en las ecuaciones [2] y [3] reemplazándolas por las ecuaciones [2 ']: = –2 × [1] + [2] y [3']: = [1] + [3]. Dado que esta transformación es reversible ([2] = [2 '] + 2 × [1] y [3] = [3'] - 1), el sistema inicial es equivalente al nuevo sistema
X{\ Displaystyle x}![X](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4)
{X-3y+10z=5[1]8y-21z=-8[2′]-2y+11z=2[3′]{\ Displaystyle {\ begin {cases} x & - & 3y & + & 10z & = 5 & [1] \\ && 8y & - & 21z & = - 8 & [2 '] \\ && - 2y & + & 11z & = 2 & [3 '] \ end {cases}}}![{\ Displaystyle {\ begin {cases} x & - & 3y & + & 10z & = 5 & [1] \\ && 8y & - & 21z & = - 8 & [2 '] \\ && - 2y & + & 11z & = 2 & [3 '] \ end {cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/edab1a6ab4391b9a5de899418ab2a6347887fb56)
Entonces es suficiente eliminar otro factor desconocido, por ejemplo en la ecuación [3 '], reemplazando este último (nuevamente, de manera reversible) por 4 × [3'] + [2 ']. Por tanto, el sistema es equivalente al siguiente sistema, que es escalonado (e incluso triangular ):
y{\ Displaystyle y}![y](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8a6208ec717213d4317e666f1ae872e00620a0d)
{X-3y+10z=5[1]8y-21z=-8[2′]23z=0[3″]{\ displaystyle {\ begin {cases} x & - & 3y & + & 10z & = 5 & [1] \\ && 8y & - & 21z & = - 8 & [2 '] \\ &&&& 23z & = 0 & [3 ''] \ end {cases}}}![{\ displaystyle {\ begin {cases} x & - & 3y & + & 10z & = 5 & [1] \\ && 8y & - & 21z & = - 8 & [2 '] \\ &&&& 23z & = 0 & [3 ''] \ end {cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c804407b3205ed288a7c20016a066a586a71e04)
La ecuación [3 "] determina quién, reemplazado en la ecuación [2 '], determina . Estos dos valores, reemplazados en la ecuación [1], determinan .
z{\ Displaystyle z}
y{\ Displaystyle y}
X{\ Displaystyle x}![X](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4)
Este método se generaliza a sistemas que comprenden más ecuaciones y más incógnitas y toma el nombre de método de pivote gaussiano .
Notas y referencias
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">