En matemáticas , un número de Friedman (también llamado número autodigital o número narcisista ) es un número entero que es el resultado de una combinación de todos sus dígitos en una base dada, usando las cuatro operaciones aritméticas elementales y, a veces, la potenciación .
Un entero relativo es un número de Friedman si, en una base , hay una expresión que usa todos sus dígitos que es igual a él. Las operaciones matemáticas permitidas en esta expresión son:
Por ejemplo, 347 es un número de Friedman en base 10 porque se puede escribir como 7 3 + 4.
Los paréntesis están permitidos, pero solo para cambiar el orden de las operaciones : por ejemplo, 1024 = (4-2) 10 . El uso de paréntesis sin un operador daría como resultado números de Friedman triviales como 24 = (24). Los ceros iniciales tampoco están permitidos por la misma razón: 001729 = 1700 + 29.
Un número de Friedman agradable u ordenado es un número de Friedman cuyos dígitos de la expresión están dispuestos en el mismo orden que el número en sí. Por ejemplo: 127 = −1 + 2 7 . Para números agradables de Friedman menores de 10,000, todas las expresiones incluyen suma y resta.
En base 10, los primeros 45 números de Friedman son:
25 , 121 , 125 , 126 , 127 , 128 , 153 , 216, 289, 343, 347, 625, 688, 736, 1022, 1024, 1206, 1255, 1260, 1285, 1296, 1395, 1435, 1503, 1530, 1792, 1827, 2048, 2187, 2349, 2500, 2501, 2502, 2503, 2504, 2505, 2506, 2507, 2508, 2509, 2592, 2737, 2916, 3125, 3159.Aún en base 10, los primeros números agradables de Friedman son:
127, 343, 736, 1285, 2187, 2502, 2592, 2737, 3125, 3685, 3864, 3972, 4096, 6455, 11264, 11664, 12850, 13825, 14641, 15552, 15585, 15612, 15613, 15617, 15618, 15621, 15622, 15623, 15624, 15626, 15632, 15633, 15642, 15645, 15655, 15656, 15662, 15667, 15688, 16377, 16384, 16447, 16875, 17536, 18432, 19453, 19683, 19739.En 2013, conocemos alrededor de un centenar de números Friedman digitales (sin cero, pero que contienen todos los dígitos del 1 al 9). Entre ellos, descubierto por Mike Reid y Philippe Fondanaiche:
De estos números digitales, solo uno es agradable: 268435179 = −268 + 4 (3 × 5 - 1 7 ) - 9.
Parecería que todas las potencias de 5 son números de Friedman. Al observar que todos los números de la forma 25 × 10 2 n se pueden escribir como 500 ... 0 2 con n ceros, es posible encontrar números de Friedman consecutivos. Friedman da el ejemplo de 250068 = 500² + 68, del cual se puede deducir fácilmente el intervalo de números de Friedman consecutivos de 250010 a 250099.
Según Fondanaiche, el número de Friedman más pequeño, agradable y uniforme es 99999999 = (9 + 9/9) 9−9 / 9 - 9/9. Brandon Owens ha demostrado que los números uniformes de más de 24 dígitos son buenos números de Friedman en cualquier base.
Un número de vampiro es una variedad del número de Friedman donde la única operación es una multiplicación de dos números que tienen el mismo número de dígitos; por ejemplo, 1260 = 21 × 60.
Según Michael Brand, la densidad del conjunto de números de Friedman es igual a 1 en cualquier base.
En cualquier base b , los números de Friedman con solo dos dígitos suelen ser menos numerosos que los de tres o más dígitos, pero son más fáciles de encontrar. Si representamos un número de dos dígitos en la forma mb + n , donde m , n son números enteros entre 0 y b -1 (donde m no es cero), solo necesitamos resolver cada una de las dos ecuaciones:
mb + n = m n y mb + n = n mNo hay necesidad de preocuparse por m + n , ya que siempre es estrictamente menor que mb + n . Lo mismo ocurre con mn , m - n y m / n .
Para tratar con números de tres dígitos, el método sigue siendo el mismo, pero hay más ecuaciones por resolver. Al representar un número de tres dígitos en la forma kb ^ 2 + mb + n \ ,, debemos considerar las expresiones
k m + n, k n + m, k m + n , n × (kb + m), etc.En un sentido trivial, todos los números expresados como números romanos con más de un símbolo son números de Friedman. La expresión se crea simplemente insertando los signos + en la expresión y, ocasionalmente, el signo - con una ligera reordenación en el orden de los símbolos.
Pero Erich Friedman y Robert Happleberg han realizado algunas investigaciones sobre números expresados en números romanos para los que la expresión usa operadores distintos de + y -. Su primer descubrimiento fue el simpático Friedman número 8, ya que VIII = (V - I) * II. También encontraron muchos números Friedman expresadas en números romanos para los que la expresión utiliza exponenciación, tales como 256 CCLVI = IV CC / L .
La dificultad de encontrar números de Friedman expresados en números romanos no triviales no aumenta con el tamaño del número (como es el caso de los sistemas de notación posicional ) sino con el número de símbolos que tiene. Entonces, por ejemplo, es más doloroso saber si 137 (CXLVII) es un número de Friedman expresado como un número romano que hacer la misma determinación para 1001 (MI). Con los números expresados en números romanos, podemos al menos derivar algunas expresiones de Friedman a partir de las cuales podemos descubrir otras. Friedman y Happleberg han demostrado que cualquier número que termine en VIII es un número de Friedman basado en la expresión dada anteriormente, por ejemplo.
Un número de Friedman perfecto (o número de Chauvin-Le Lamer) es un número de Friedman que es el resultado de una combinación de números de Friedman en una base dada, utilizando las cuatro operaciones aritméticas elementales. El primer número de Chauvin-Le Lamer en base 10 sería 25 = 153-128.