Número narcisista

Un número narcisista (o número de Armstrong del primer tipo, o - en inglés - PPDI para pluscuamperfecto invariante de dígitos ) es un número natural n no es cero, que es igual a la suma de las potencias p -th sus cifras diez base , donde p denota el número de dígitos de n :

{\ Displaystyle n = \ sum _ {k = 0} ^ {p-1} x_ {k} 10 ^ {k} = \ sum _ {k = 0} ^ {p-1} (x_ {k}) ^ {p} \ quad {\ text {con}} \ quad x_ {k} \ in \ {0, \ ldots, 9 \} \ quad {\ text {y}} \ quad x_ {p-1} \ neq 0 .}

Ejemplos de

Todos los números enteros del 1 al 9 son narcisistas.
Los siguientes diez términos de la secuencia de números 88 narcisista (continuación A005188 de OEIS ) son 153, 370, 371, 407, 1634, 8208, 9474, 54748, 92727 y 93084.
- $153 = 1 ^ {3} + 5 ^ {3} + 3 ^ {3}$ .
- ${\ displaystyle 93084 = 9 ^ {5} + 3 ^ {5} + 0 ^ {5} + 8 ^ {5} + 4 ^ {5}}$ .
El más grande es 115,132,219,018,764,000,000,000,000,000,000,000,000,000.

Variantes de los números de Armstrong

Un número de Armstrong del cuarto tipo, o dígito perfecto invariante (PDI) es un número entero n que es igual a la suma de las potencias q -ésimas de sus dígitos, pero esta vez para cualquier número entero q > 0, no necesariamente igual a número p de dígitos de n (tal n, por lo tanto, generalmente no es un número narcisista): $n = \ sum _ {{k = 0}} ^ {{p-1}} x_ {k} 10 ^ {k} = \ sum _ {{k = 0}} ^ {{p-1}} (x_ {k}) ^ {q} \ quad {\ text {con}} \ quad x_ {k} \ in \ {0, \ ldots, 9 \},$ para un cierto q > 0.Intuitivamente, está claro que si p es el número exacto de dígitos de ny aumenta, q tiende a aumentar.

Demostración

Como , . Por otro lado ,. De donde . $x _ {{p-1}} \ neq 0$ $n \ geq 10 ^ {{p-1}}$ $n = \ sum _ {{k = 0}} ^ {{p-1}} (x_ {k}) ^ {q} \ leq 9 ^ {q} p$ $9 ^ {q} p \ geq 10 ^ {{p-1}}$

Por el teorema del crecimiento comparativo, se deduce que para un p dado, q está necesariamente por encima de un rango dado, que aumenta con p .

Nota: esto no prueba la existencia de q .

Para conocer los números de Armstrong del tercer tipo (PDDI), consulte el artículo Número de Münchhausen .
Un número n de Armstrong del segundo tipo verifica:

{\ Displaystyle n = \ sum _ {k = 0} ^ {p-1} x_ {k} 10 ^ {k} = \ sum _ {k = 0} ^ {p-1} (x_ {k}) ^ {k + 1} \ quad {\ text {con}} \ quad x_ {k} \ in \ {0, \ ldots, 9 \}}

También podemos considerar los números de Armstrong en una base distinta a diez.

Referencias

(en) Eric W. Weisstein , " Número narcisista " en MathWorld
(in) Las cuatro definiciones Armstrong