Monoide

En matemáticas , un monoide es una de las estructuras algebraicas utilizadas en el álgebra general . Es un conjunto provisto de una ley de composición interna asociativa y un elemento neutro . En otras palabras, es un magma asociativo y unificado, es decir un medio grupo unificado.

Preámbulo

A veces sucede que una estructura compuesta por un conjunto y una sola operación es relativamente pobre en elementos invertibles, por ejemplo un anillo donde solo se considera la multiplicación. Tal estructura se llama monoide . La aparente pobreza de la operación da lugar a una teoría específica, como las relaciones de Green para los monoides o ideales incluso en anillos no conmutativos. Otra técnica, cuando se está en presencia de una operación simplificable, consiste en “enriquecer” el monoide para formar un grupo del mismo .

A veces, por el contrario, la estructura monoide es perfectamente adecuada. Tal es el caso del álgebra de polinomios en varios indeterminados  : lo construimos como el álgebra de un monoide particular, generado por un conjunto de índices.

Definición

Un monoide es un magma unificado asociativo.

Formalmente, ( E , ✻, e ) es un monoide cuando, para todos los elementos x , y y z de E  :

• X∗y∈mi{\ Displaystyle x * y \ en E} (derecho interno);
• X∗(y∗z)=(X∗y)∗z{\ Displaystyle x * (y * z) = (x * y) * z} (asociatividad);
• X∗mi=mi∗X=X{\ Displaystyle x * e = e * x = x}( e es neutral).

Se dice que un monoide E se simplifica a la izquierda , o incluso regular a la izquierda (respectivamente a la derecha ) si

∀(a,B,vs)∈mi3,a∗B=a∗vs{\ Displaystyle \ forall (a, b, c) \ in E ^ {3}, a * b = a * c \,}(respectivamente )B∗a=vs∗a{\ Displaystyle b * a = c * a \,}⇒B=vs.{\ Displaystyle \ Rightarrow b = c.}

Se dice que un monoide es conmutativo si sus elementos son permutables , es decir, si:

∀(X,y)∈mi2X∗y=y∗X.{\ Displaystyle \ forall (x, y) \ in E ^ {2} \ quad x * y = y * x.}

Compuesto por una secuencia (finita) de elementos

Sea E un monoide. Notemos su ley de composición en forma multiplicativa, es decir que escribiremos para designar el compuesto señalado anteriormente. Entonces, el elemento neutro se designa con 1. Xy{\ Displaystyle xy}X∗y{\ Displaystyle x * y}

Podemos definir por inducción sobre n el producto de una n -tupla de elementos de E por: X1⋯Xno{\ Displaystyle x_ {1} \ cdots x_ {n}}

• el producto de la tupla 0 es igual a  ;1(0){\ Displaystyle 1 \ quad (0)}
• X1⋯Xno+1=(X1⋯Xno)Xno+1(1){\ Displaystyle x_ {1} \ cdots x_ {n + 1} = (x_ {1} \ cdots x_ {n}) x_ {n + 1} \ quad (1)}.

Al extender esta definición al compuesto ("producto" en nuestra notación) de una secuencia de elementos de E - es decir, de una familia indexada por un conjunto finito totalmente ordenado -, probamos: ∏I∈IXI{\ Displaystyle \ prod _ {i \ in I} x_ {i}} (XI)I∈I{\ Displaystyle (x_ {i}) _ {i \ in I}}

• un teorema de asociatividad según el cual, en un monoide, un producto , evaluado por esta definición o colocando los paréntesis de cualquier otra forma , dará el mismo resultado (por ejemplo :) .X1⋯Xno{\ Displaystyle x_ {1} \ cdots x_ {n}}((aB)vs)D=(a(Bvs))D=(aB)(vsD)=a((Bvs)D)=a(B(vsD)){\ Displaystyle ((ab) c) re = (a (bc)) re = (ab) (cd) = a ((bc) re) = a (b (cd))}
• un teorema de conmutatividad según el cual, en un monoide conmutativo (o más generalmente, para una familia cuyos elementos conmutan de dos en dos) el compuesto de una familia finita no depende del orden elegido en el índice de esta familia.

Un corolario es que para cualquier ( n + 1) -tupla de elementos de E , (X1,...,Xno+1){\ Displaystyle (x_ {1}, \ ldots, x_ {n + 1})}

X1⋯Xno+1=X1(X2⋯Xno+1)(2){\ Displaystyle x_ {1} \ cdots x_ {n + 1} = x_ {1} (x_ {2} \ cdots x_ {n + 1}) \ quad (2)}.

Esta fórmula (2), unida a la condición (0) anterior, es la otra definición común de por inducción en n . El corolario permite probar la equivalencia de estas dos definiciones, por inducción sobre el número de factores. X1⋯Xno{\ Displaystyle x_ {1} \ cdots x_ {n}}

Sub-monoide

Un sub-monoide de un monoide ( E , ✻, e ) es un subconjunto F de E que satisface:

• ∀X,y∈FX∗y∈F{\ Displaystyle \ forall x, y \ in F \ quad x * y \ in F} (estable);
• mi∈F.{\ Displaystyle e \ in F.}

Cualquier intersección de sub-monoides es un sub-monoide.

Un sub-medio grupo de un monoide M puede ser un monoide sin ser un sub-monoide de M. Por ejemplo, si M es el monoide formado por el conjunto ℤ / 6ℤ con su multiplicación, las clases residuales de pares de números forman un sub-medio grupo D de M y es fácil verificar que la clase residual de 4 es un elemento neutral de este sub-medio grupo. Sin embargo, D no es un submonoide de M, porque el elemento neutro de M (la clase residual de 1) no pertenece a D.

Generando familia de un submonoide

Sea P parte de un monoide ( E , ✻, e ). Llamado submonoide generada por P (señalado P *) de la intersección de la sub-monoides E que contiene P . Esta es la más pequeña de submonoide E que contiene P . Puede ser descrito por:

PAG∗={X∈mi∣∃no∈NO,∃(a1,⋯,ano)∈PAGno,X=a1∗⋯∗ano}{\ Displaystyle P ^ {*} = \ {x \ en E \ mid \ existe n \ en \ mathbb {N}, \ existe (a_ {1}, \ cdots, a_ {n}) \ en P ^ {n }, x = a_ {1} * \ cdots * a_ {n} \}}

(el elemento e es de hecho parte de este conjunto: es el producto vacío , correspondiente an = 0).

P se denomina familia generadora de P *.

Siempre podemos encontrar una familia de generadores para cualquier monoide, siendo el más trivial el propio.

Bases libres y monoides

Una parte P de un monoide ( E , ✻, e ) se llama la base de E si es una familia generadora de E en la que cada elemento se descompone de una manera única, es decir, si

∀X∈mi∃!no∈NO∃!(a1,...,ano)∈PAGno,X=a1∗⋯∗ano.{\ Displaystyle \ forall x \ in E \ quad \ existe! n \ in \ mathbb {N} \ quad \ existe! (a_ {1}, \ ldots, a_ {n}) \ in P ^ {n}, x = a_ {1} * \ cdots * a_ {n}.}

Se dice que un monoide es libre si admite una base. En este caso, la base es única.

• e nunca pertenece a la base, de lo contrario los elementos tendrían infinidad de descomposiciones posibles.
• Si A es un conjunto (a veces llamado alfabeto ), el conjunto de secuencias finitas de elementos de A (llamados palabras ) con la operación de concatenación es una monoid señalado libre A * y llamado monoid libre  (in) en A . Su base es el conjunto de palabras de longitud uno y, por tanto, asimilables naturalmente al alfabeto.
• Dos monoides libres en alfabetos finitos son isomorfos si y solo si sus bases tienen la misma cardinalidad.
• En un monoide libre, el elemento neutro es el único elemento simétrizable .

Ejemplos de

• El conjunto de números naturales proporcionado con la adición es un monoide libre, de los cuales 0 es el elemento neutro y 1 el único elemento de la base.NO{\ Displaystyle \ mathbb {N}}
• NO{\ Displaystyle \ mathbb {N}}provisto de la multiplicación es un monoide del elemento neutro 1. El elemento 0 no es simplificable .(∀(no,metro)0.no=0.metro){\ Displaystyle (\ forall (n, m) \, 0.n = 0.m \,)}
• NO{\ Displaystyle \ mathbb {N}}provisto de la ley máxima que a dos números enteros asocia el mayor de los dos es un monoide con neutro 0.
• El conjunto de partes de un conjunto E , dotado de la unión del conjunto, es un monoide, del cual el conjunto vacío es el elemento neutro. El mismo conjunto dotado de la intersección del conjunto es también un monoide del que E es el elemento neutro.
• El conjunto de aplicaciones de un conjunto en sí mismo, provisto de la composición , es un monoide cuyo neutro es la aplicación de identidad , los elementos que se pueden simplificar a la izquierda son las inyecciones y los que se pueden simplificar a la derecha son las sobreyecciones .
• La segunda ley de un anillo unitario tiene una estructura monoide (no conmutativa si el anillo es no conmutativo ).

Morfismo monoide

Sean ( E , ✻, e ) y ( F , ✮, f ) dos monoides. Llamamos morfismo de ( E , ✻, e ) a ( F , ✮, f ) cualquier mapa φ de E a F tal que

• ∀X,y∈miφ(X∗y)=φ(X)⋆φ(y){\ Displaystyle \ forall x, y \ in E \ quad \ varphi (x * y) = \ varphi (x) \ star \ varphi (y)}
• φ(mi)=F.{\ Displaystyle \ varphi (e) = f.}

La primera propiedad es la del morfismo de los magmas .

• El compuesto de dos morfismos de monoides es un morfismo de monoides.
• El recíproco de un morfismo biyectivo de monoides es un morfismo de monoides. En consecuencia, un morfismo biyectivo se denomina isomorfismo.
• Cualquier morfismo de magmas desde un monoide a un monoide simplificable es un morfismo de monoides.
• Si dotamos al conjunto de enteros naturales con la ley máxima , el mapa n ↦ n + 1 es un morfismo de magmas pero no es un morfismo de monoides.
• Cualquier morfismo de magma sobreyectivo entre dos monoides es un morfismo de monoide.
• Llamamos núcleo de un morfismo de monoides al conjunto de antecedentes del elemento neutro. Si el morfismo es inyectivo, entonces su núcleo se reduce al elemento neutro, pero lo contrario es generalmente falso (a diferencia del caso de un morfismo de grupo ): por ejemplo, el morfismo que asocia su longitud con cualquier palabra, por un monoide libre en (en al menos) dos elementos hacia (ℕ, +) , no es inyectivo.

• La imagen recíproca de un submonoide por un morfismo de monoides es un submonoide . En particular, el núcleo de un morfismo monoide es un submonoide.
• La imagen de un submonoide por un morfismo de monoides es un submonoide. En particular, la imagen de un morfismo de monoides es un submonoide.

Producto directo de monoides

• Sean ( E , ✻, e ) y ( F , ✮, f ) dos monoides. Podemos proporcionar al producto cartesiano una estructura monoide introduciendo una nueva ley de la siguiente manera:mi×F{\ Displaystyle E \ times F \,}∧{\ Displaystyle \ wedge}

∀(X,y),(X′,y′)∈(mi×F)2, (X,y)∧(X′,y′)=(X∗X′,y⋆y′){\ Displaystyle \ forall (x, y), (x ', y') \ in (E \ times F) ^ {2}, \ (x, y) \ wedge (x ', y') = (x * x ', y \ star y')}.
Es un monoide neutro .(mi,F){\ Displaystyle \ Displaystyle (e, f)}

• Las dos proyecciones de in y of in son morfismos monoides. Y el triplete comprueba la propiedad universal del producto directo .pag:(X,y)↦X{\ Displaystyle p: (x, y) \ mapsto x}mi×F{\ Displaystyle E \ times F}mi{\ Displaystyle \ Displaystyle E}q:(X,y)↦y{\ Displaystyle q: (x, y) \ mapsto y}mi×F{\ Displaystyle E \ times F}F{\ Displaystyle \ Displaystyle F}((mi×F,∧,(mi,F)),pag,q){\ Displaystyle ((E \ times F, \ wedge, (e, f)), p, q)}
• De manera más general, es decir un conjunto y una familia de monoides. Construimos la estructura del producto directo sobre el producto cartesiano mediante la fórmulaI{\ Displaystyle I}((miI,∗I,miI))I∈I{\ Displaystyle ((E_ {i}, * _ {i}, e_ {i})) _ {i \ in I}}∏I∈I(miI){\ Displaystyle \ prod _ {i \ in I} (E_ {i})}

(XI)I∈I∗(yI)I∈I=(XI∗IyI)I∈I.{\ Displaystyle (x_ {i}) _ {i \ in I} * (y_ {i}) _ {i \ in I} = (x_ {i} * _ {i} y_ {i}) _ {i \ en I}.}.

Simétrico de un elemento

• Sea ( E , ✻, e ) un monoide y x un elemento E . Dicen que :
  • x es simetrizable a la derecha si existe un elemento y en E tal que x ✻ y = e . Entonces decimos que y es simétrica a la derecha de x  ;
  • x es simétrizable a la izquierda si existe un elemento z en E tal que z ✻ x = e . Entonces decimos que z es simétrica a la izquierda de x  ;
  • x es simétrizable si es simétrizable a la derecha y a la izquierda.
• Cuando x es simétrico, admite una simétrica derecha única y una simétrica izquierda única y son iguales.De hecho, con las notaciones anteriores, y = e ✻ y = ( z ✻ x ) ✻ y = z ✻ ( x ✻ y ) = z ✻ e = z .Este único elemento se llama simétrico de x y generalmente se indica como x −1 .
• El conjunto I ( E ) de los elementos simetrizables del monoide forma un grupo, porque es estable:
  • yendo simétrico: para todo x ∈ I ( E ), x −1 ∈ I ( E ) y ( x −1 ) −1 = x  ;
  • por producto: para todo x , y ∈ I ( E ), x ✻ y ∈ I ( E ) y ( x ✻ y ) −1 = y −1 ✻ x −1 .De hecho, ( y −1 ✻ x −1 ) ✻ ( x ✻ y ) = y −1 ✻ ( x −1 ✻ x ) ✻ y = y −1 ✻ e ✻ y = y −1 ✻ y = e por lo tanto también ( estableciendo a = y −1 y b = x −1 ) ( x ✻ y ) ✻ ( y −1 ✻ x −1 ) = ( b −1 ✻ a −1 ) ✻ ( a ✻ b ) = e .
• Por restricción, cualquier morfismo φ: ( E , ✻, e ) → ( F , ✮, f ) entre dos monoides induce un morfismo de grupo de I ( E ) a I ( F ).
  En teoría de categorías , decir que al interpretar el hecho de que I es un funtor de la categoría de monoides en el grupo (que es el adjunto derecho del functor olvidando M  : Grp → My ).

Simetrización

Generalizamos la construcción de enteros relativos a partir de enteros naturales , asociando canónicamente a cualquier monoide conmutativo M = ( S , +, 0) un grupo abeliano G ( M ), llamado su grupo de Grothendieck , dotado de un morfismo de monoides de M a G ( M ).

El proceso de construcción se llama simetrización monoide. Para ello, consideramos la relación de equivalencia ∼ sobre S × S definida por:

(metro,no)∼(pag,q)⇔∃k∈Smetro+q+k=pag+no+k.{\ Displaystyle (m, n) \ sim (p, q) \ Leftrightarrow \ existe k \ en S \ quad m + q + k = p + n + k.}

El grupo G ( M ) tiene como elementos las clases de equivalencia de ∼ y el morfismo natural de M en G ( M ) asocia con cualquier elemento x de S la clase de ( x , 0). Este morfismo es inyectivo si y sólo si M es simplificable; en este caso, la relación ∼ se puede describir de manera más simple:

(metro,no)∼(pag,q)⇔metro+q=pag+no.{\ Displaystyle (m, n) \ sim (p, q) \ Leftrightarrow m + q = p + n.}

Aplicaciones

El monoide es un buen marco para definir las iteraciones de un elemento.

En informática teórica , los monoides y más particularmente el monoide libre se encuentran entre las estructuras más utilizadas, en particular en la teoría de códigos y en la teoría de lenguajes .

El término "monoide" entró en el arte contemporáneo en la década de 1970 con el pintor Jean-Claude Bédard, quien lo justifica en su libro Pour un art schématique: study d'un monoïdeographique , Éditions de Beaune et Goutal-Darley, 1978.

Notas y referencias

1. Esta sección es mucho más detallada en el capítulo "Compuesto de una secuencia" de la lección de monoides sobre Wikiversidad .
2. N. Bourbaki , Álgebra, capítulos 1 a 3 , Springer ,2007, cap. I, § 1, n o  3, p.  4 y § 2, n o  1, p.  13 .
3. Bourbaki 2007 , cap. Yo, § 1, teor. 2, pág. 8.
4. Bourbaki 2007 , cap. I, § 2, n o  1, pág. 13.
5. (en) Arjeh Cohen, Hans Cuypers y Hans Sterk, Algebra Interactive!: Aprendiendo álgebra de una manera emocionante Springer1999( leer en línea ) , pág.  71.
6. (in) Henri Bourlès y Bogdan Marinescu Linear Time-Varying Systems: Enfoque algebraico-analítico , Springer,2011( leer en línea ) , pág.  30.
7. Para una demostración, véase por ejemplo la clave de respuestas a los ejercicios correspondientes en Wikiversidad .

Artículos relacionados

• Medio grupo
• Monoide digital

Bibliografía

(en) Alfred H. Clifford y Gordon B. Preston , The Algebraic Theory of Semigroups , vol.  1 ( 2 ª ed. 1964) y vol. 2 (reimpresión 1988), AMS

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