Curva sinusoidal del topólogo
En matemáticas , la curva sinusoidal topológica es un ejemplo de un espacio topológico conectado pero ni conectado localmente ni conectado por arcos . Se obtiene como una curva representativa de una función cuya expresión involucra la función seno .
La curva sinusoidal cerrada del topólogo es la adhesión de esta curva en el plano euclidiano y constituye un espacio compacto que satisface propiedades análogas.
La curva sinusoidal extendida del topólogo es la unión del conjunto anterior con un segmento; está conectado por arcos pero no conectado localmente.
Definición
La curva seno del topólogo T se define como la curva representativa de la función f que con cualquier x estrictamente positivo asocia sen ( 1 ⁄ x ) y que es igual a 0 en 0:
![T = \ left \ {\ left. \ Left (x, \ sin {\ frac 1x} \ right) \ right | x \ in] 0,1] \ right \} \ cup \ {(0,0) \} .](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3185dc27d68d0cde965fbc048f3de24f8ebe343f)
Esta curva está provista de la topología inducida por la del plano euclidiano .
El conjunto de valores de adhesión de la función f en 0 es igual al de la función sin en + ∞ , es decir al segmento [-1, 1] (en particular, f no tiene límite en 0 ). Este fenómeno se ilustra por la acumulación de oscilaciones de la curva en las proximidades del origen.
Propiedades
La curva sinusoidal del topólogo T está conectada pero ni localmente conectada ni conectada por arcos . Esto se debe a que el conjunto contiene el punto (0,0) pero no es posible conectar la función al origen ni trazar una ruta .
El espacio T es la imagen continua de un espacio localmente compacto ( T es la imagen de {−1} ∪] 0, 1] por el mapa g definido por g (−1) = (0,0) y g ( x ) = ( x , sin (1 / x )) para x > 0), pero no es localmente compacto en sí mismo.
La dimensión topológica de T es 1.
Variantes
Dos variaciones de la curva sinusoidal topológica tienen otras propiedades interesantes.
El seno topólogo curva cerrada se puede definir mediante la adopción de la curva sinusoidal de topólogo y la adición de todos los miembros de puntos , . Este espacio está cerrado y delimitado y, por lo tanto, compacto por el teorema de Borel-Lebesgue , pero tiene propiedades similares a la curva sinusoidal topológica: está conectado pero no está conectado localmente ni conectado por arcos.
![\ {(0, y) \ mid y \ in [-1,1] \}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3dff9ac5c2a53868d76f8bf3f7a7a841876b3ca0)
La curva sinusoidal extendida del topólogo se puede definir tomando la valla topológica de T y agregando el conjunto . Este espacio está conectado por arcos pero no está conectado localmente.
![\ {(x, 1) \ mid x \ en [0,1] \}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5327e8b84efd6909fc334b522974b34963cd7e8f)
El círculo polaco (de) , obtenido sumando a la curva sinusoidal cerrada del topólogo un arco que une (0, –1) a (1, sin 1), no es contráctil , aunque todos sus grupos homotópicos son triviales .
Notas y referencias
(fr) Este artículo está tomado parcial o totalmente del artículo de Wikipedia en inglés titulado " Curva sinusoidal del topólogo " ( consulte la lista de autores ) .- Estos dos últimos conjuntos no son curvas a pesar de su nombre.
Bibliografía
(en) Lynn Arthur Steen y J. Arthur Seebach, Jr. , contraejemplos en topología , Mineola, NY, Dover ,1995, 244 p. ( ISBN 978-0-486-68735-3 , leer en línea ) , pág. 137-138, Enlace de revisiones de matemáticas
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