Diagrama de Schlegel

En geometría , un diagrama de Schlegel es una proyección de un politopo de d- dimensional espacio en d-1- espacio dimensional por un punto dado a través de una de sus caras. Esto da como resultado una división del politopo original en el que es combinatoriamente equivalente. $R ^ {d}$ ${\ Displaystyle R ^ {d-1}}$ ${\ Displaystyle R ^ {d-1}}$

Al comienzo de XX XX siglo, los diagramas de Schlegel demostraron ser herramientas sorprendentemente útiles para el estudio de las propiedades topológicas y politopos combinatorias. En la dimensión 3, un diagrama de Schlegel consiste en la proyección de un poliedro sobre una figura plana dividida en zonas en su interior (que representan las caras del poliedro original), y en la dimensión 4, consiste en una proyección de un policoro en un poliedro dividido en su interior. en compartimentos (que representan las células del policoro original). Por lo tanto, los diagramas de Schlegel se usan comúnmente con el propósito de visualizar objetos de cuatro dimensiones .

Fue el matemático alemán Victor Schlegel (1843-1905) quien tuvo la idea.

Construcción

Un diagrama de Schlegel no respeta las longitudes del politopo original pero conserva su arquitectura general: número de aristas que se unen en el mismo vértice, número de caras que se unen en el mismo vértice, número de lados de las caras.

Un diagrama de Schlegel se puede construir de dos formas:

Como vista en perspectiva desde un punto externo del politopo, sobre el centro de una de sus caras. Todos los vértices y todos los bordes del politopo se proyectan sobre el hiperplano de esta cara.
Si el politopo es convexo, proyectándolo primero sobre una hiperesfera con el mismo centro, luego proyectándolo estereográficamente sobre un hiperplano (esto equivale a eliminar una cara de la proyección en la hiperesfera y "alejarse" a través del agujero, así se formó el resto de la proyección esférica hasta que se aplana en el hiperplano). Este método siempre da un diagrama de Schlegel perfecto, es decir, no habrá intersecciones "falsas" de bordes en el diagrama (siendo como una sombra, es posible que dos sombras de bordes se crucen mientras que los bordes están uno frente al otro sin realmente cruzarse en el politopo original).

Ejemplos de diagramas de Schlegel

Un diagrama de Schlegel no tiene ningún interés real para politopos de dimensión menor o igual a 2. La proyección de un polígono sobre una línea da un segmento, y la de un segmento sobre un punto da un punto.

Poliedros

El diagrama de Schlegel de un poliedro puede considerarse como la sombra del esqueleto del poliedro en el suelo (pero a menudo distorsionado y apartado para distinguir claramente toda su estructura).

Diagramas de Schlegel de sólidos platónicos

Nombre del poliedro	tetraedro	cubo	Octaedro	Dodecaedro	Icosaedro
Imagen
Diagrama correspondiente

El área exterior amarilla representa el lado eliminado durante la proyección estereográfica, no debe omitirse. Esta área toca el mismo número de vértices y aristas que la cara anterior que representa.

Para los poliedros que se muestran arriba, siendo todas las caras idénticas, el diagrama de cada uno siempre será el mismo. Sin embargo, para un sólido cuyas caras son diferentes, como un sólido de Arquímedes, por ejemplo, el diagrama puede tener varios representantes dependiendo de la cara utilizada durante la proyección estereográfica . Aunque se presentan de manera diferente, estos diagramas son equivalentes. El icosidodecaedro truncado (sólido de Arquímedes) ilustra muy bien este hecho por sus tres tipos de caras:

Diferentes diagramas para el icosidodecaedro truncado

Proyectado estereográficamente por una cara cuadrada	Proyectado estereográficamente por una cara hexagonal	Proyectado estereográficamente por una cara decagonal

Para las pirámides , el diagrama de Schlegel correspondiente es el polígono base, pero con los vértices conectados a su centro por segmentos.

Los policores

El diagrama de Schlegel de un policoro es un poliedro dividido en varios compartimentos.

Diagramas de Schlegel de polícoros regulares

Nombre del policoro	Pentachorus (hipertetraedro)	Tesseract (hipercubo)	Hexadecachore (hiperoctaedro)	Icositetrachore	Hecatonicosachore (hiperdodecaedro)	Hexacosichore (hipericosaedro)
Imagen
Proyectado en un	Tetraedro	Cubo	Tetraedro	Octaedro	Dodecaedro	Icosaedro
Diagrama correspondiente