En matemáticas , más precisamente en topología , un espacio conectado localmente es un espacio topológico que puede describirse utilizando sus aberturas conectadas .
En topología decimos que un espacio está conectado cuando está hecho “en una sola pieza”. La pregunta natural que sigue es si cualquier espacio topológico puede describirse como la unión disjunta (en la categoría de espacios topológicos ) de sus componentes conectados ; es decir, ¿podemos considerar que cuando conocemos todas las “partes” de un espacio topológico, sabemos todo sobre este espacio? Una condición necesaria y suficiente para esto es que todos los componentes conectados estén abiertos.
Por tanto, la respuesta es generalmente no. Por ejemplo, el conjunto ℚ de números racionales provisto con su topología habitual tiene singletons como componentes conectados; entonces decimos que ℚ es totalmente discontinuo . Sin embargo, una unión disjunta (en la categoría de espacios topológicos) de singletons es un espacio discreto, por lo tanto, no es homeomorfo para ℚ.
Luego decimos que un espacio topológico está conectado localmente cuando es homeomorfo a la unión disjunta de sus componentes conectados y que esto también es cierto para cada espacio abierto de este espacio.
Distinguir los espacios a través de sus componentes conectados es la etapa cero en la clasificación de los espacios topológicos. Desde este punto de vista, el uso de espacios relacionados localmente está motivado por la siguiente observación. El funtor π 0 que asocia todos sus componentes conectados con cualquier espacio topológico no tiene las propiedades correctas - no conmuta en todos los límites inductivos . Los adquiere si lo restringimos a la categoría de espacios relacionados localmente.
La categoría Locon de espacios conectados localmente es una subcategoría completa de la categoría Top de espacios topológicos. El functor de inclusión i : Locon → Top es completamente fiel y admite un adjunto derecho L : Top → Locon . Luego decimos que Locon es una subcategoría coreflexiva de Top .
Por lo tanto, y como Top es completo y cocompleto (en) , la categoría Locon también es completa y cocompleta.
El functor L se asocia con cualquier espacio topológico X , el mismo conjunto subyacente con una nueva topología, generado por los componentes relacionados con X abierto .
Por ejemplo, L (ℚ) es el conjunto de racionales dotados de la topología discreta.
Gracias a la categoría Locon , el functor π 0 ahora admite una unión derecha (y por lo tanto conserva todos los límites inductivos). Es el funtor Δ el que a cualquier conjunto X asocia el espacio topológico que tiene como subyacente el conjunto X y está dotado de la topología discreta.