Tangente (trigonometría)

La tangente es una función trigonométrica fundamental. Se observa bronceado y anteriormente se señaló tg .

Definiciones

En un triángulo rectángulo ABC en C , la tangente del ángulo Â es la razón entre el lado opuesto a A y el lado adyacente a A :

{\ Displaystyle \ tan {\ hat {A}} = {\ frac {BC} {AC}}}

Como recordatorio, a menudo usamos el acrónimo mnemónico "TOA":

{\ Displaystyle \ mathrm {tangente} = {\ frac {\ mathrm {oppos {\ aguda {e}}}} {\ mathrm {adyacente}}}}

Con respecto al círculo trigonométrico :

La tangente de un ángulo θ es la longitud del segmento de la tangente al círculo trigonométrico que intercepta el eje x.

En comparación con otras funciones trigonométricas: la función tangente es la relación entre la función seno y la función coseno :

{\ Displaystyle \ tan \ theta = {\ frac {\ sin \ theta} {\ cos \ theta}}.}

Tenga en cuenta que esta función no está definida para valores en los que el coseno del ángulo desaparece, correspondientes a los casos límite donde la tangente es paralela a la línea de intersección.

Aplicaciones

En un triángulo rectángulo, la función tangente permite determinar la longitud de un lado del ángulo recto conociendo un ángulo y la longitud de uno de los otros lados. Se utiliza para medir la longitud óptica. Por ejemplo, con un telémetro de paralaje, la distancia D de un objeto observado se determina a partir de la distancia L que separa dos lentes de observación y del ángulo de observación θ, que se determina haciendo coincidir las imágenes de los dos vidrios girando un espejo:

{\ Displaystyle D = L \ cdot \ tan \ theta}

La tangente también es una forma de expresar la medida de un ángulo: cuando expresamos una pendiente en porcentaje (%), corresponde a la tangente del ángulo de mayor pendiente respecto a la horizontal, multiplicada por cien.

Función tangente

Propiedades

La función tangente es una función real que es:

periódica , con período π: $tan (θ + k \cdot π) = tan θ$ para cualquier k entero ;
impar : $tan (-θ) = - tan θ$ ;
desaparece en 0 y por lo tanto para todos los múltiplos enteros de π: $tan ( k π) = 0$ para cualquier entero k ;
presenta asíntotas verticales con los valores $θ = k π + π / 2$ para cualquier k entero: ${\ Displaystyle \ lim _ {\ theta \ to (\ pi / 2) ^ {-}} \ tan \ theta = + \ infty}$ ${\ Displaystyle \ lim _ {\ theta \ to (\ pi / 2) ^ {+}} \ tan \ theta = - \ infty}$
su derivada es: ${\ Displaystyle \ tan '\ theta = {\ frac {1} {\ cos ^ {2} \ theta}} = 1+ \ tan ^ {2} \ theta}$
si un ángulo θ se expresa en radianes , entonces para valores bajos de θ, tenemos: tan θ ≃ θ (consulte la sección Expansión limitada a continuación).

Al aplicar la fórmula de Euler , tenemos:

{\ Displaystyle \ tan \ theta = {\ frac {\ mathrm {e} ^ {i \ theta} - \ mathrm {e} ^ {- i \ theta}} {i (\ mathrm {e} ^ {i \ theta } + \ mathrm {e} ^ {- i \ theta})}}}

La función recíproca es la función arco tangente , denominada arctan ; algunas calculadoras lo notan "atan".

La inversa de la función tangente es la función cotangente , denominada cot (a veces cotan o cotg):

{\ Displaystyle \ operatorname {cot} \ theta = {\ frac {1} {\ tan \ theta}} = {\ frac {\ cos \ theta} {\ sin \ theta}}}

Desarrollo limitado

El desarrollo limitado de la función tangente en cero es:

{\ Displaystyle \ tan x = x + {\ frac {x ^ {3}} {3}} + {\ frac {2x ^ {5}} {15}} + {\ frac {17x ^ {7}} { 315}} + \ ldots + {\ frac {(-1) ^ {n} \ cdot 2 ^ {2n} \ cdot (1-2 ^ {2n}) \ cdot B_ {2n}} {(2n)!} } \ cdot x ^ {2n-1} + o (x ^ {2n})}

donde B 2 n son los números de Bernoulli .

Cálculo numérico

El cálculo de la tangente se realiza por series , pero en lugar de utilizar la expansión limitada por la serie de Taylor , que utiliza muchas multiplicaciones, preferimos el algoritmo CORDIC .

Ver también

Cotangente
Identidad trigonométrica pitagórica
Tangente hiperbólica
Sustitución Weierstrass (en) (funciones de seno y coseno como funciones racionales de la tangente de la mitad del ángulo)
La tangente de cualquier racional distinto de cero es irracional.