Fórmula de Leibniz

En matemáticas , varias identidades llevan el nombre de la fórmula de Leibniz , que lleva el nombre del matemático Gottfried Wilhelm Leibniz :

en análisis real :
- La fórmula de Leibniz es la fórmula que da las derivadas sucesivas de un producto de funciones reales de una variable real o, en un marco más general, el diferencial del producto de dos funciones diferenciables con valores en un álgebra de normas ,
- también puede denotar la fórmula para derivar integrales con parámetros (o integrales paramétricas );
por extensión, la fórmula de Leibniz, también llamada identidad de Leibniz , designa una identidad que define la noción de derivación , a saber: $d ( ab ) = (d a ) b + a (d b )$ ;
en álgebra lineal , la fórmula de Leibniz proporciona una definición del determinante de una matriz como una suma alterna sobre sus "serpientes";
finalmente, la fórmula de Leibniz también designa la suma de la serie alterna de inversos de enteros impares.

Derivado de un producto

Sea $n$ un número entero positivo . El producto de dos funciones de una variable real $f$ y $g$ definida y diferenciable hasta orden $n$ sobre un intervalo es de hasta diferenciable al orden $n$ . La fórmula de Leibniz proporciona su derivada de orden $n$ dada por:

(fg) ^ {{(n)}} = \ sum _ {{k = 0}} ^ {n} {\ binom nk} \ f ^ {{{(k)}} \ g ^ {{(nk) }}

donde los enteros son los coeficientes binomiales , y donde estamos de acuerdo en que la "derivada cero-ésima" de $f$ , denotada por $f$ $(0)$ , es la función $f$ misma. ${\ tbinom nk}$

Esta fórmula se prueba por inducción sobre el número entero $n$ . La demostración es comparable a la de la fórmula binomial de Newton . Este último, además, se puede deducir de él.

Se ofrece una demostración en el artículo detallado " Regla de producto ".

Serie alternativa

La "Cuadratura aritmética" para π, encontrada por Leibniz en 1674, es un ejemplo de una serie alterna :

{\ Displaystyle {\ frac {\ pi} {4}} = {\ frac {1} {1}} - {\ frac {1} {3}} + {\ frac {1} {5}} - {\ frac {1} {7}} + {\ frac {1} {9}} - \ cdots = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {n}} { 2n + 1}}.}

Corresponde a la expansión en serie de Taylor de la función arctan , evaluada en el punto 1.

Fue descubierto en Occidente en el siglo XVII , pero ya aparece en Madhava , un matemático indio de la provincia de Kerala , hacia 1400. Lo usa para calcular una aproximación de $π$ . La teoría más común es que los trabajos matemáticos indios de este período serán conocidos en Occidente a finales del XIX ° siglo, durante la colonización de la India por Gran Bretaña .

Determinante de una matriz cuadrada

El determinante de una matriz cuadrada de orden $n$ es el número: $A = (a _ {{ij}})$

{\ Displaystyle \ det (A): = \ sum _ {\ sigma \ in S_ {n}} \ varepsilon (\ sigma) \ prod _ {i = 1} ^ {n} a_ {i, \ sigma (i) }}

donde $S n$ es el grupo de permutaciones de ${1, 2,\dots, n }$ y para una permutación σ de $S n$ , ε (σ) denota su firma , igual a 1 si la permutación es par y –1 en caso contrario.

Notas y referencias

Carta de Christian Huygens a Leibniz del 7 de noviembre de 1674 ( leer en línea ) .
(La) Leibniz, "De vera provide circuli ad quadratum circumscriptum in numeris racionalibus expressa", Acta Eruditorum , febrero de 1682.
Leibniz, “Carta al Sr. de La Roque, director del Journal des sçavans ”, 1678, Leibnizens Mathische Schriften , vol. 5, pág. 88-92 .
Marc Parmentier, El nacimiento del cálculo diferencial , Vrin , 1989, p. 61-81 .
(en) L. Berggren, J. Borwein y P. Borwein , P, A Source Book , Springer , 1997 "Madhava, la serie de potencias para arctan y ft (~ 1400)", p. 45-50 .