Radio de convergencia

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El radio de convergencia de una serie entera es el número real positivo o $+ \infty$ igual al límite superior del conjunto de módulos de números complejos donde la serie converge (en el sentido clásico de convergencia simple ):

{\ Displaystyle R = \ sup \ left \ {| z |: z \ in \ mathbb {C}, \ sum a_ {n} z ^ {n} {\ text {simplemente converge}} \ right \} \ in \ , [0, + \ infty] = {\ overline {\ mathbb {R} ^ {+}}}.}

Propiedades

Si $R$ es el radio de convergencia de una serie de potencias, a continuación, la serie es convergente absolutamente en el disco abierto $D (0, R )$ del centro $0$ y el radio $R$ . Este disco se llama disco de convergencia . Esta convergencia absoluta produce lo que a veces se llama convergencia incondicional : el valor de la suma en cualquier punto de este disco no depende del orden de los términos. Por ejemplo, tenemos:

$\ sum _ {{n = 0}} ^ {\ infty} {a_ {n} z ^ {n}} = \ sum _ {{n = 0}} ^ {\ infty} a _ {{2n}} z ^ {{2n}} + \ sum _ {{n = 0}} ^ {\ infty} a _ {{2n + 1}} z ^ {{2n + 1}}$ ;
${\ Displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {a_ {n} b_ {k} z ^ {n + k}} = \ left ( \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} a_ {n} z ^ {n} \ right) \ left (\ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} b_ {k} z ^ {k} \ derecha) \ \ \ forall | z | <\ min (R_ {1}, R_ {2})}$ , donde y son los radios de convergencia de las dos series completas (ver producto de Cauchy ). $R_1$ $R_2$

Si toda la serie tiene un radio de convergencia $R$ , entonces: $\ sum _ {{n = 0}} ^ {\ infty} {a_ {n} z ^ {n}}$

la convergencia es incluso normal (por lo tanto uniforme ) en cualquier compacto incluido en $D (0, R )$ ;
para cualquier complejo $z$ tal que $| z | > R$ , la serie diverge aproximadamente ;
para cualquier complejo $z$ tal que $| z | = R$ , la serie puede divergir o converger;
la inversa del radio $R$ viene dada por el teorema de Cauchy-Hadamard : donde $lim sup$ denota el límite superior ; ${\ frac 1R} = \ limsup _ {{n \ to \ infty}} {\ sqrt [{n}] {| a_ {n} |}} \ leq \ limsup _ {{n \ to \ infty}} \ izquierda | {\ frac {a _ {{n + 1}}} {a_ {n}}} \ derecha |$
si $R$ no es cero, entonces la suma $f$ de toda la serie es una función holomórfica en $D (0, R )$ , donde tenemos ${\ Displaystyle f ^ {(k)} (z) = \ sum _ {n = k} ^ {\ infty} {\ frac {n!} {(nk)!}} a_ {n} z ^ {nk} }$ ;
si el radio $R$ es infinito, entonces toda la serie se llama función completa .