Álgebra de períodos

En matemáticas , y más precisamente en teoría de números , un período es un número complejo que puede expresarse como la integral de una función algebraica sobre un dominio algebraico. La suma y el producto de dos períodos siguen siendo períodos, por lo que los períodos forman un anillo conmutativo unitario . Incluso forman un álgebra sobre el campo ℚ de números algebraicos . Esta noción fue introducida por Maxim Kontsevich y Don Zagier .

Motivaciones

El álgebra de períodos es bastante fácil de comprender debido a su pequeño tamaño ( contable y contiene solo números calculables ) y lo suficientemente grande como para contener no solo todos los números algebraicos, sino todas las constantes matemáticas "habituales", incluso aquellas que son trascendentes . El primero de los dos "principios" establecidos por Kontsevich y Zagier lo resume así:

“ Principio 1. Siempre que te encuentres con un número nuevo y hayas decidido (o te hayas convencido) de que es trascendente, trata de ver si puede que no sea un punto. "

Aparte del final de su artículo, donde Kontsevich expone especulaciones motivacionales muy agudas, los dos autores "sólo" ofrecieron un bautismo a una noción que ha estado "en sintonía con los tiempos" durante varios siglos. Michel Waldschmidt , especialista en aritmética diofántica , por ejemplo menciona entre sus propias motivaciones para este concepto, un teorema sorprendente de van der Poorten (en) (se aproxima al de Gelfond-Schneider ): "Sean P y Q de polinomios con coeficientes algebraicos que verifiquen que Q tiene raíces simples y grados P <grados Q y $γ es$ un camino cerrado, o bien cuyos extremos son algebraicos o infinitos. Si la integral existe, entonces es cero o trascendente ” ${\ Displaystyle \ int _ {\ gamma} {\ frac {P (z)} {Q (z)}} \ mathrm {d} z}$ , un teorema de Schneider análogo sobre integrales elípticas de primer y segundo tipo, así como una conjetura sobre los valores enteros impares de la función zeta de Riemann , según el cual los períodos $π , ζ (3), ζ (5), ζ (7),\dots$ serían algebraicamente independientes de ℚ.

Definición

Un período es un número complejo cuya parte real e imaginaria son los valores de integrales absolutamente convergentes de funciones racionales con coeficientes racionales , en áreas de ℝ n definidas por desigualdades polinomiales con coeficientes racionales (se puede reemplazar "Desigualdades" por: “ Ecuaciones o desigualdades ”).

Obtenemos una definición equivalente si la restringimos permitiendo como integrando solo la función constante 1, o si, por el contrario, la ampliamos permitiendo funciones algebraicas , tanto en el integrando como en las desigualdades.

Ejemplos de

Todos los números algebraicos , como ${\ sqrt 2} = \ int _ {{2x ^ {2} \ leq 1}} {\ mathrm d} x$ .
Todos sus logaritmos , como $\ ln 2 = \ int _ {{1 <x <2}} {\ frac {{\ mathrm d} x} x}$ .
El número $π$ : $\ pi = \ int _ {{x ^ {2} + y ^ {2} \ leq 1}} {\ mathrm d} x {\ mathrm d} y$ por lo tanto también los períodos de las funciones trigonométricas y del exponencial complejo .
Integrales elípticas de parámetros y límites algebraicos, por ejemplo los períodos fundamentales de una función elíptica de Weierstrass de parámetros algebraicos g 2 , g 3 : $\ omega _ {i} = \ int _ {{e_ {i}}} ^ {\ infty} {\ frac {{\ mathrm d} t} {{\ sqrt {4t ^ {3} -g_ {2} t -g_ {3}}}}} \ quad (i = 1,2)$ donde 4 t 3 - g 2 t - g 3 = 4 ( t - mi 1 ) ( t - mi 2 ) ( t - mi 3 ).
Los valores enteros de la función zeta de Riemann y de las funciones zeta múltiples (in) .
El producto por una potencia adecuada de $π$ de ciertos valores de funciones hipergeométricas : $\ pi ^ {{p-1}} \ times \, _ {p} F _ {{p-1}} (a_ {1}, \ ldots, a_ {p}; b_ {1}, \ ldots, b_ {{p-1}}; z) \ quad {\ text {si}} a_ {i}, b_ {j} \ in \ mathbb {Q} {\ text {y}} z \ in \ overline {\ mathbb {Q}}$ (para el número entero p ≥ 2, b j ∉ –ℕ y | z | <1).
Ciertas constantes dadas por series o integrales de funciones trascendentes también se encuentran para ser períodos (este es el caso por ejemplo para $Γ$ ( p / q ) q para p y q números enteros> 0, utilizando la función beta ), sin ninguna regla general que aparece para emerger.

Contraejemplos

Kontsevich y Zagier plantearon tres problemas. El tercero es exhibir al menos un número que no sea un punto.

Como ellos mismos señalan, siendo contables todos los períodos, hay a priori “ muchas ” soluciones. Pero el problema implícito es definir incluso uno, menos artificialmente que mediante el proceso diagonal de Cantor , o mostrar que una constante como $e$ o 1 / $π$ , que uno conjetura que no es un período, en realidad no es uno.
Dado que el anillo de períodos está incluido en el cuerpo de los números calculables , una respuesta "ingenua" es ofrecer uno de los ejemplos ya conocidos de números no calculables, como la constante Omega de Chaitin .
En una prepublicación reciente citada por Waldschmidt como un "análogo de Liouville " , que es más precisamente lo que esperaban Kontsevich y Zagier, M. Yoshinaga demuestra que todos los períodos son números reales elementales (una noción de aproximación por números racionales más restrictiva que la de números racionales calculables). Número Real). El proceso diagonal, aplicado a los reales elementales, también le permite construir un número calculable no elemental, por lo tanto, que no es un período.
Un "análogo de Hermite y Lindemann " "más deseable" sería mostrar que un número particular no construido específicamente para este propósito, como $e$ , 1 / $π$ o constante Euler-Mascheroni , no es un período.
Waldschmidt ha conjeturado desde entonces que ningún número de Liouville es un período, inspirado por resultados recientes sobre las propiedades del "grado de un período", es decir , la dimensión mínima de un dominio algebraico del cual este período es el volumen.

Los dos autores creen que sus tres problemas "son muy difíciles y probablemente permanecerán abiertos durante mucho tiempo" .

Conjetura y problemas

Una representación de un período (como una integral de una función algebraica sobre un dominio algebraico) se puede transformar en muchas otras usando tres reglas:

1) aditividad de la integral ( comparado con el campo de integración y comparado con el integrando )

2) cambio de variable

3) teorema fundamental de integración (con una o más variables)

La igualdad entre números algebraicos es decidible , que entre números computables no lo es. Los dos autores predicen que el período entre períodos es recursivamente enumerable , y más precisamente:

“ Conjetura 1. Si un período tiene dos representaciones, entonces podemos pasar de una a la otra usando solo las reglas 1), 2), 3) donde todas las funciones y todos los dominios de integración son algebraicos a los coeficientes en ℚ . "

Incluso plantean un problema aún más difícil (y uno que también es difícil de probar no tiene solución, si la tiene):

“ Problema 1. Encuentre un algoritmo para determinar si dos períodos dados son iguales. "

así como su problema n ° 2, poco formalizado pero inspirado en algoritmos conocidos por números racionales y algebraicos, para reconocer si un número es un período "simple" o no, estando disponible la precisión numérica de este número a voluntad según el prescrito sencillez.

Generalizaciones

Don Zagier y Kontsevich también definen la noción de período exponencial , obtenida al autorizar en la definición anterior funciones y límites de la “forma exponencial de una función algebraica”; añadiéndole la constante de Euler, conjeturan que así obtenemos "todas las constantes matemáticas habituales".

Notas y referencias

(fr) Este artículo está tomado parcial o totalmente del artículo de Wikipedia en inglés titulado " Ring of Period " ( ver la lista de autores ) .

Notas

M. Waldschmidt, " Períodos, de acuerdo con M. Kontsevich y D. Zagier " , proyección de diapositivas presentados en el coloquio de la Sociedad Matemática de Túnez en Mahdia en marzo de 2004
(en) M. Kontsevich y D. Zagier , "Periods" en Björn Engquist y Wilfried Schmid , Mathematics Unlimited: 2001 y más allá , Springer ,2001( ISBN 978-3-540-66913-5 , leer en línea ) , pág. 771–808
Otro enfoque se puede encontrar en el artículo de Yves André, Idées galoisiennes ( leer en línea )
(en) el Sr. Waldschmidt , " La trascendencia de Períodos: El Estado del Arte " , Matemática Pura y Aplicada trimestral , vol. 2 n o 22006, p. 435-463 ( leer en línea )y " Trascendencia de períodos: estado del conocimiento ", African Diaspora Journal of Mathematics , vol. Proc. 12th Symp. Matemáticas tunecinas. Soc. Mahdia,2004, p. 176-212, arXiv : matemáticas.NT / 0502582
(in) AJ Van der Poorten , " Sobre el tipo aritmético de integrales definidas de funciones racionales " , Proc. Amargo. Matemáticas. Soc. , vol. 29,1971, p. 451-456 ( leer en línea )
Kontsevich y Zagier 2001 , p. 773
(en) Masahiko Yoshinaga Periods números elementales y reales , arXiv : 0805.0349
(en) M. Waldschmidt, " La trascendencia de periodos " ,2011, Presentación de diapositivas presentado a la 77 ª Conferencia de departamento de matemáticas aplicadas de la Universidad Carolina de Praga
Kontsevich y Zagier 2001 , p. 778
(en) Katrin Carpa y Martin Ziegler, funciones bajas de reales , arXiv : 0903,1384 , una mejor documentación y han demostrado que son aún más real "sub-elemento".
(in) Jianming Wan Grados de períodos , arXiv : 1102.2273

Referencias

(en) Prakash Belkale y Patrick Brosnan (en) , “ Periods and Igusa local zeta functions ” , Int. Matemáticas. Res. No. , n o 49,2003, p. 2655-2670 ( DOI 10.1155 / S107379280313142X ), preimpresión en arXiv : math / 0302090