Función beta

En matemáticas, la función beta es una de las dos integrales de Euler , definidos para todos los números complejos $x$ y $y$ de estrictamente positivos partes reales por:

{\ Displaystyle \ mathrm {B} (x, y) = \ int _ {0} ^ {1} t ^ {x-1} (1-t) ^ {y-1} \ mathrm {d} t,}

y posiblemente extendido analíticamente a todo el plano complejo con la excepción de los enteros negativos.

La función beta fue estudiada por Euler y Legendre y debe su nombre a Jacques Binet . Está relacionado con la función gamma .

También hay una versión incompleta de la función beta, la función beta incompleta , así como una versión regularizada de la misma, la función beta regularizada incompleta .

Propiedades

En su definición en forma integral, el cambio de variable $u = 1 - t$ prueba que esta función es simétrica, es decir que:

{\ Displaystyle \ mathrm {B} (x, y) = \ mathrm {B} (y, x)}

También puede tomar las formas integrales

{\ Displaystyle \ mathrm {B} (x, y) = 2 \ int _ {0} ^ {\ pi / 2} \ sin ^ {2x-1} \ theta ~ \ cos ^ {2y-1} \ theta ~ \ mathrm {d} \ theta}

(cambiando la variable ),

{\ Displaystyle t = \ sin ^ {2} \ theta}

{\ Displaystyle \ mathrm {B} (x, y) = \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ frac {s ^ {y-1}} {(1 + s) ^ {x + y}} } ~ \ mathrm {d} s}

(cambiando la variable ).

{\ Displaystyle t = {\ dfrac {1} {1 + s}}}

Satisface ecuaciones funcionales como:

{\ Displaystyle \ mathrm {B} (x, y + 1) = {y \ over x + y} \ mathrm {B} (x, y)}

{\ Displaystyle \ mathrm {B} (x, y) ~ \ mathrm {B} (x + y, 1-y) = {\ dfrac {\ pi} {x \ sin (\ pi y)}}}

{\ Displaystyle \ mathrm {B} (x, x) = 2 ^ {1-2x} \ mathrm {B} \ left ({\ tfrac {1} {2}}, x \ right)}

Está relacionado con la función gamma por la siguiente ecuación:

{\ Displaystyle \ mathrm {B} (x, y) = {\ frac {\ Gamma (x) \, \ Gamma (y)} {\ Gamma (x + y)}}}

Si $X$ y $Y$ son estrictamente positivos enteros , esta ecuación puede reescribirse en términos de factoriales o coeficiente binomial : ${\ displaystyle {\ frac {x + y} {xy \ mathrm {B} (x, y)}} = {\ frac {(x + y)!} {x! ~ y!}} = {x + y \ elija x}}$ .

Si $x$ y $y$ son dos números racionales y si ni $x$ ni $y$ , ni $x + y$ son números enteros, a continuación, $Β ( x , y )$ es un número trascendente .

Derivación

Las derivadas parciales de la función beta utilizan las ecuaciones funcionales vistas anteriormente:

{\ parcial \ sobre \ parcial x} \ mathrm {B} (x, y) = \ mathrm {B} (x, y) \ left ({\ Gamma '(x) \ sobre \ Gamma (x)} - { \ Gamma '(x + y) \ over \ Gamma (x + y)} \ right) = \ mathrm {B} (x, y) (\ psi (x) - \ psi (x + y)),

donde $ψ ( x )$ es la función digamma .

{\ Displaystyle {\ partial ^ {2} \ over \ partial x ^ {2}} \ mathrm {B} (x, y) = \ mathrm {B} (x, y) \ left [(\ psi (x) - \ psi (x + y)) ^ {2} + (\ psi _ {1} (x) - \ psi _ {1} (x + y)) \ right],}

{\ Displaystyle {\ Particular ^ {2} \ over {\ Partical x \ Partical y}} \ mathrm {B} (x, y) = \ mathrm {B} (x, y) \ left [(\ psi (x ) - \ psi (x + y)) (\ psi (y) - \ psi (x + y)) - \ psi _ {1} (x + y) \ right],}

donde $ψ n ( x )$ es la función poligamma .

Función beta incompleta

La función beta incompleta está definida por:

\ mathrm {B} (x; \, a, b) = \ int _ {0} ^ {x} t ^ {{a-1}} \, (1-t) ^ {{b-1}} { \ mathrm d} t

y verifica trivialmente :

$\ mathrm {B} (x; \, a + 1, b) + \ mathrm {B} (x; \, a, b + 1) = \ mathrm {B} (x; \, a, b) \ quad {{\ rm {y}}} \ quad x ^ {a} (1-x) ^ {b} = a \ mathrm {B} (x; \, a, b + 1) -b \ mathrm {B} (x; \, a + 1, b).$

Para $x = 1$ , que corresponde a la función beta de los parámetros de $una$ y $b$ .

La función beta incompleta regularizada es dividir la función beta incompleta por la función beta completa

I_ {x} (a, b) = {\ dfrac {\ mathrm {B} (x; \, a, b)} {\ mathrm {B} (a, b)}}.

Las relaciones anteriores se convierten así

$aI_ {x} (a + 1, b) + bI_ {x} (a, b + 1) = (a + b) I_ {x} (a, b)$ $, \ quad I_ {x} (a, b + 1) -I_ {x} (a + 1, b) = x ^ {a} (1-x) ^ {b} {\ frac {a + b} { ab \ mathrm {B} (a, b)}}.$

Deducimos del segundo (por una recurrencia inmediata) el siguiente vínculo con el desarrollo binomial y la ley binomial : $I_ {p} (a, n-a + 1) = \ sum _ {{j = a}} ^ {n} {n \ elija j} p ^ {j} (1-p) ^ {{nj}}.$

Notas y referencias

Para una demostración, vea, por ejemplo, este ejercicio corregido sobre Wikiversity .
(de) Theodor Schneider , " Zur Theorie der Abelschen Funktionen und Integrale " , J. queen angew. Matemáticas. , vol. 183,1941, p. 110-128 ( leer en línea ).
(en) Aslam Chaudhry y Syed M. Zubair , fue una clase de funciones gamma incompletas con aplicaciones , CRC Press ,2001( ISBN 978-1-58488-143-8 , leer en línea ) , pág. 218.
(en) Milton Abramowitz y Irene Stegun , Handbook of Mathematical Functions con fórmulas, gráficos y Mathematical Tables [ edición detalle ] ( leer en línea ), § 6.6.

Enlace externo

(en) Eric W. Weisstein , " Función Beta " , en MathWorld