Vector de Runge-Lenz

En este artículo los vectores y sus normas se indican respectivamente en negrita y cursiva . Por ejemplo: .||A||=A{\ Displaystyle \ left | \ left | \ mathbf {A} \ right | \ right | = A}

En la mecánica clásica , el vector de Runge-Lenz o Runge-Lenz invariante es un vector utilizado principalmente para describir la forma y orientación de la órbita de un cuerpo astronómico alrededor de otro, como en el caso de un planeta alrededor de una estrella.

Para dos cuerpos en interacción gravitacional , el vector de Runge-Lenz es una constante de movimiento , lo que significa que toma el mismo valor en cualquier punto de la órbita; de manera equivalente decimos que se conserva el vector de Runge-Lenz. De manera más general, el vector de Runge-Lenz se conserva para cualquier problema con dos cuerpos que interactúan mediante una fuerza central que varía como la inversa del cuadrado de la distancia entre ellos. Estos problemas se denominan "problemas de Kepler".

El átomo de hidrógeno es un problema de Kepler ya que incluye dos cargas en interacción electrostática, otra fuerza central en el cuadrado inverso de la distancia. El vector de Runge-Lenz fue esencial en las primeras descripciones cuánticas del espectro de emisión del átomo de hidrógeno después del desarrollo de la ecuación de Schrödinger . Sin embargo, este enfoque se utiliza muy poco en la actualidad. En mecánica clásica y cuántica , las cantidades conservadas generalmente corresponden a una simetría del problema. La conservación del vector de Runge-Lenz está asociada con una simetría inusual: el problema de Kepler es matemáticamente equivalente a una partícula que se mueve libremente en una esfera de 3, lo que implica que el problema es simétrico para algunas rotaciones en un espacio de cuatro dimensiones. Esta simetría superior resulta de dos propiedades del problema de Kepler: el vector de velocidad siempre se mueve en un círculo perfecto y, para una energía total dada, todos los círculos de velocidad se cruzan en dos puntos iguales.

El vector Runge-Lenz lleva el nombre de Carl Runge y Wilhelm Lenz . También se conoce como vector de Laplace (en honor a Pierre-Simon de Laplace ), aunque ninguno de estos científicos lo ha descubierto. El vector de Runge-Lenz ha sido redescubierto varias veces y es equivalente al vector de excentricidad de la mecánica celeste . Se han definido varias generalizaciones del vector de Runge-Lenz para tener en cuenta la relatividad general , el campo electromagnético y diferentes tipos de fuerzas centrales.

Contexto

Una partícula que se mueve bajo el efecto de una fuerza central conservador tiene al menos cuatro constantes de movimiento: la energía total de, y los tres componentes del vector de momento angular L . La trayectoria de la partícula está contenida en un plano definido por su momento inicial p (o equivalentemente por su velocidad v ) y por el radio-vector r entre la partícula y el centro de fuerza (ver la Figura 1 a continuación).

Como se define a continuación (ver Definiciones matemáticas ), el vector A de Runge-Lenz siempre está contenido en el plano de la trayectoria de una fuerza central. Sin embargo, A es constante solo para una fuerza central en el cuadrado inverso. Para muchas fuerzas, este vector A no es constante sino que cambia de norma y dirección; si el campo de fuerza central sigue aproximadamente una ley del cuadrado inverso, el vector A es aproximadamente constante en la norma pero gira lentamente en la dirección. Se puede definir un vector de Runge-Lenz generalizado conservador para todas las fuerzas centrales, pero el vector es entonces una función complicada de la posición y generalmente no es expresable analíticamente. A{\ Displaystyle {\ mathcal {A}}}

El plano de la trayectoria es perpendicular al vector de momento angular L que es constante; esto puede expresarse mediante el producto escalar r · L = 0; de la misma forma, estando A contenido en este plano: A · L = 0.

Historia de redescubrimientos

El vector de Runge-Lenz A es una constante movimiento del problema de Kepler, útil para describir astronómicos órbitas , tales como el movimiento de los planetas . Sin embargo, su uso nunca ha estado muy extendido entre los físicos, quizás porque es menos intuitivo que el momento o el momento angular . Esta es la razón por la que ha sido redescubierta varias veces durante los últimos tres siglos. Jakob Hermann fue el primero en demostrar que A se conserva en el caso particular de las fuerzas cuadradas inversas centrales, y trabajó en sus conexiones con la excentricidad orbital en el caso de los orbitales elípticos . La obra de Hermann están muy extendidas en su forma moderna por Johann Bernoulli en 1710. Al final de la XVIII ª  siglo, Pierre-Simon Laplace redescubierto la conservación de la A , conseguir que analíticamente en vez de geométricamente. Hacia la mitad del XIX XX  siglo, William Rowan Hamilton determina el vector de excentricidad, lo que es equivalente, y se utiliza para demostrar que el vector de impulso p describe un círculo para el movimiento llevado a cabo bajo una fuerza central en la inversa del cuadrado (Figura 3). Al comienzo de XX XX  siglo Josiah Willard Gibbs es el mismo vector mediante análisis vectorial . El método de Gibbs es citado como ejemplo por Carl Runge en un libro alemán sobre vectores al que hizo referencia Wilhelm Lenz en su artículo sobre el procesamiento cuántico del átomo de hidrógeno . En 1926, Wolfgang Pauli utilizó el vector para determinar el espectro de hidrógeno utilizando la mecánica de matrices y no la ecuación de Schrödinger  ; después del artículo de Pauli, comienza a conocerse como el vector Runge-Lenz .

Definiciones matemáticas

Para una sola partícula puesta en movimiento por una fuerza central en el cuadrado inverso de la distancia descrita por la ecuación , el vector A de Runge-Lenz se define matemáticamente por la fórmulaF(r)=-kr2r^{\ Displaystyle \ mathbf {F} (r) = {\ frac {-k} {r ^ {2}}} \ mathbf {\ hat {r}}}

A=pag∧L-metrokr^{\ Displaystyle \ mathbf {A} = \ mathbf {p} \ wedge \ mathbf {L} -mk \ mathbf {\ hat {r}}},

o

• metro{\ Displaystyle m \! \,}es la masa de la partícula puntual que se mueve bajo el efecto de la fuerza central ,
• pag{\ Displaystyle \ mathbf {p} \! \,}es el vector de impulso ,
• L=r∧pag{\ Displaystyle \ mathbf {L} = \ mathbf {r} \ wedge \ mathbf {p} \! \,}es su vector de momento angular ,
• k{\ Displaystyle k \! \,} es un parámetro que describe la intensidad de la fuerza,
• r{\ Displaystyle \ mathbf {r} \! \,} es el vector de posición de la partícula (Figura 1), y
• r^{\ Displaystyle \ mathbf {\ hat {r}} \! \,}es el vector unitario correspondiente, es decir, donde r es la norma de r .r^=rr{\ Displaystyle \ mathbf {\ hat {r}} = {\ frac {\ mathbf {r}} {r}}}

Dado que se supone que la fuerza es conservadora , la energía total E es una constante de movimiento :

mi=pag22metro-kr=12metrov2-kr{\ Displaystyle E = {\ frac {p ^ {2}} {2m}} - {\ frac {k} {r}} = {\ frac {1} {2}} mv ^ {2} - {\ frac {k} {r}}}.

Además, al ser la fuerza central, el momento angular L también es constante y define el plano en el que se mueve la partícula. El vector de Runge-Lenz es perpendicular a L como p ∧ L y r son perpendiculares a L . De ello se deduce que A está contenido en el plano de la órbita .

Esta definición de A es aplicable para una partícula de un solo punto de masa m que se mueve bajo el efecto de una fuerza dada. Sin embargo, la misma definición puede extenderse al problema de los dos cuerpos , como el problema de Kepler, tomando por m la masa reducida de los dos cuerpos y por r el vector entre los dos cuerpos.

También es posible una alternativa para la misma constante de movimiento. Lo más común es dividir por para definir el vector de excentricidad.metrok{\ displaystyle mk}

mi=Ametrok=1metrok(pag∧L)-r^{\ Displaystyle \ mathbf {e} = {\ frac {\ mathbf {A}} {mk}} = {\ frac {1} {mk}} (\ mathbf {p} \ wedge \ mathbf {L}) - \ mathbf {\ hat {r}}}.

Obtención de la órbita de Kepler

La forma y orientación de las órbitas en el problema de dos cuerpos de Kepler se pueden determinar a partir del vector de Runge-Lenz de la siguiente manera. El producto escalar de A por el vector de posición r da la ecuación

A⋅r=Arporque⁡θ=r⋅(pag∧L)-metrokr{\ Displaystyle \ mathbf {A} \ cdot \ mathbf {r} = Ar \ cos \ theta = \ mathbf {r} \ cdot \ left (\ mathbf {p} \ wedge \ mathbf {L} \ right) -mkr},

donde θ es el ángulo entre r y A (Figura 2). Cambiando el producto mezclado

r⋅(pag∧L)=(r∧pag)⋅L=L⋅L=L2{\ Displaystyle \ mathbf {r} \ cdot \ left (\ mathbf {p} \ wedge \ mathbf {L} \ right) = \ left (\ mathbf {r} \ wedge \ mathbf {p} \ right) \ cdot \ mathbf {L} = \ mathbf {L} \ cdot \ mathbf {L} = L ^ {2}},

y una reordenación conduce a la fórmula para definir una cónica

1r=metrokL2(1+Ametrokporque⁡θ){\ Displaystyle {\ frac {1} {r}} = {\ frac {mk} {L ^ {2}}} \ left (1 + {\ frac {A} {mk}} \ cos \ theta \ right) }

de excentricidad mi{\ Displaystyle e \! \,}

mi=Ametrok=|A|metrok{\ Displaystyle e = {\ frac {A} {mk}} = {\ frac {\ left | \ mathbf {A} \ right |} {mk}}}

y parámetro p

|pag|=L2metrok{\ Displaystyle \ left | p \ right | = {\ frac {L ^ {2}} {mk}}}.

El semi- eje mayor a de la cónica se puede obtener a partir del parámetro y la excentricidad

a(1±mi2)=pag=L2metrok{\ Displaystyle a \ left (1 \ pm e ^ {2} \ right) = p = {\ frac {L ^ {2}} {mk}}},

donde el signo menos denota una elipse y el signo más una hipérbola .

La norma de A conduce a una ecuación que involucra la energía E

A2=metro2k2+2metromiL2{\ Displaystyle A ^ {2} = m ^ {2} k ^ {2} + 2mEL ^ {2} \,},

lo que se puede reescribir en términos de excentricidad

mi2-1=2L2metrok2mi{\ Displaystyle e ^ {2} -1 = {\ frac {2L ^ {2}} {mk ^ {2}}} E}.

Entonces, si la energía es negativa (estado ligado), la excentricidad es menor que uno y la órbita es una elipse. Si la energía es positiva (estado libre o estado de difusión), la excentricidad es mayor que uno y la órbita es una hipérbola. Finalmente, si la energía es exactamente igual a cero, la órbita es una parábola (excentricidad igual a 1). En todos los casos A es colineal con el eje de simetría de la cónica y se dirige desde el centro de fuerza hacia el periapside , punto de acceso más corto.

Hodógrafos de impulso circular

La conservación del vector A de Runge-Lenz y del vector de momento angular L es útil para mostrar que el vector p se mueve sobre un círculo en un movimiento de fuerza central de acuerdo con una ley del cuadrado inverso . El producto cruzado de A y L conduce a una ecuación para p

L2pag=L∧A-metrokr^∧L{\ Displaystyle L ^ {2} \ mathbf {p} = \ mathbf {L} \ wedge \ mathbf {A} -mk {\ hat {\ mathbf {r}}} \ wedge \ mathbf {L}}.

Tomando L a lo largo del eje zy el eje mayor a lo largo del eje x obtenemos la ecuación:

pagX2+(pagy-A/L)2=(metrok/L)2{\ Displaystyle p_ {x} ^ {2} + \ left (p_ {y} -A / L \ right) ^ {2} = \ left (mk / L \ right) ^ {2}}.

En otras palabras, el vector de momento p describe un círculo de radio mk / L centrado en (0, A / L ). La excentricidad e corresponde al coseno del ángulo η que se ve en la Figura 3. También es interesante introducir la variable . Esta hodógrafa circular ilustra la simetría del problema de Kepler. pag0=2metro|mi|{\ Displaystyle p_ {0} = {\ sqrt {2m \ left | E \ right |}}}

Constantes de movimiento y superintegrabilidad

Las siete cantidades escalares E , A y L (siendo vectores, las dos últimas cuentan como tres cantidades conservadas cada una) están unidas por dos ecuaciones A · L = 0 y A 2 = m 2 k 2 + 2 m EL 2 , lo que deja 5 constantes de movimiento independientes. Esto es consistente con las seis condiciones iniciales del sistema (la posición inicial y el vector de velocidad inicial con tres componentes cada uno) que determina la órbita de la partícula ya que la fecha inicial no puede ser determinada por una constante de movimiento. Dado que la norma de A (y por tanto la excentricidad e de la órbita) puede determinarse mediante el momento angular L y la energía E , solo la dirección de A se conserva de forma independiente; además, dado que A debe ser ortogonal a L , de hecho solo proporciona una única constante de movimiento.

Un sistema mecánico con d grados de libertad puede tener un máximo de 2 d - 1 constantes de movimiento independientes, ya que existen 2 d condiciones iniciales y la fecha inicial no puede ser determinada por una constante de movimiento. Un sistema que tiene más de d constantes de movimiento se llama superintegrable y un sistema con 2 d - 1 constantes se dice que es superintegrable al máximo .

Dado que la ecuación de Hamilton-Jacobi en un sistema de coordenadas solo conduce a d constantes de movimiento, los sistemas integrables son separables en más de un sistema de coordenadas, el problema de Kepler es superintegrable al máximo ya que tiene 3 grados de libertad y 5 constantes de movimiento independientes; su ecuación de Hamilton-Jacobi es separable en coordenadas esféricas y parabólicas . Los sistemas máximamente superintegrables conducen a órbitas unidimensionales cerradas en el espacio de fase, ya que la órbita es la intersección de iso-superficies de sus constantes de movimiento en el espacio de fase. Estos sistemas se pueden cuantificar canónicamente utilizando solo relaciones de conmutación como se explica a continuación .

Evolución de potenciales perturbados

El vector de Runge-Lenz Un sólo se conserva por una fuerza central siguiendo una ley del cuadrado inverso estrictamente. En la mayoría de los problemas prácticos, como los movimientos de los planetas, la energía potencial de interacción entre dos cuerpos no se sigue estrictamente de dicha ley y puede incluir un término aditivo, llamado potencial de perturbación h ( r ). En tales casos, el vector de Runge-Lenz gira lentamente en el plano de la órbita, lo que corresponde a una lenta precesión del periastrón de la órbita. Por hipótesis, el potencial de perturbación h ( r ) es conservador y central, lo que implica que la energía total E y el vector de momento angular L se conservan. En consecuencia, el movimiento permanece contenido en un plano perpendicular a L y la norma de A se conserva de acuerdo con la ecuación A 2  = m 2 k 2 +2 mEL 2 . El potencial de perturbación h ( r ) puede ser cualquier función, pero debe ser significativamente menor que el potencial que surge de la fuerza del cuadrado inverso entre los dos cuerpos.

La velocidad a la que gira el vector de Runge-Lenz proporciona información sobre el potencial de perturbación h (r) . Utilizando la teoría de las perturbaciones canónicas y las coordenadas del ángulo de acción, obtenemos inmediatamente que A gira a la velocidad

∂∂L⟨h(r)⟩=∂∂L{1T∫0Th(r)Dt}=∂∂L{metroL2∫02πr2h(r)Dθ}.{\ Displaystyle {\ begin {array} {rcl} {\ frac {\ parcial} {\ parcial L}} \ langle h (r) \ rangle & = & \ displaystyle {\ frac {\ parcial} {\ parcial L} } \ left \ {{\ frac {1} {T}} \ int _ {0} ^ {T} h (r) \, dt \ right \} \\ [1em] & = & \ displaystyle {\ frac { \ parcial} {\ parcial L}} \ izquierda \ {{\ frac {m} {L ^ {2}}} \ int _ {0} ^ {2 \ pi} r ^ {2} h (r) \, d \ theta \ right \}. \ end {matriz}}},

donde T es el período orbital y en el que se ha utilizado la identidad L  dt  = m  r 2  d used para convertir la integral de tiempo en integral angular (Figura 5). La expresión entre corchetes, 〈h ( r )〉, representa el promedio durante un período del potencial de perturbación, es decir, el promedio de la partícula que describe completamente una vez su órbita. Matemáticamente, el promedio de tiempo, que es la magnitud entre llaves, elimina las fluctuaciones en la tasa de rotación.

Este enfoque se ha utilizado para permitir la verificación de la teoría de Einstein de la relatividad general , que agrega un término de perturbación cúbica en el potencial gravitacional newtoniano.

h(r)=kL2metro2vs2(1r3){\ Displaystyle h (r) = {\ frac {kL ^ {2}} {m ^ {2} c ^ {2}}} \ left ({\ frac {1} {r ^ {3}}} \ right )}.

Al inyectar esta función en la integral y usar la ecuación

1r=metrokL2(1+Ametrokporque⁡θ){\ Displaystyle {\ frac {1} {r}} = {\ frac {mk} {L ^ {2}}} \ left (1 + {\ frac {A} {mk}} \ cos \ theta \ right) }

para expresar r en función de θ, la precesión de la periapsis debida a perturbaciones no newtonianas es

6πk2TL2vs2{\ Displaystyle {\ frac {6 \ pi k ^ {2}} {TL ^ {2} c ^ {2}}}},

que corresponde estrechamente a la anomalía observada de la precesión de Mercurio y púlsares binarios . Este acuerdo con la experiencia se considera una prueba importante de la validez de la relatividad general .

Anzuelos

Las tres componentes L i del vector de momento angular L tienen corchetes de Poisson

{LI,Lj}=∑s=13ϵIjsLs{\ Displaystyle \ left \ {L_ {i}, L_ {j} \ right \} = \ sum _ {s = 1} ^ {3} \ epsilon _ {ijs} L_ {s}},

donde i = 1,2,3 y ε ijs es el símbolo de Levi-Civita  ; el índice de suma s se usa aquí para evitar la ambigüedad con el parámetro k de la fuerza visto arriba.

Como se explica a continuación, otra escala del vector de Runge-Lenz, D , se puede definir en la misma unidad que el momento angular dividiendo A por p 0 . El soporte de Poisson de D con el vector de momento angular L puede tener una forma similar

{DI,Lj}=∑s=13ϵIjsDs{\ Displaystyle \ left \ {D_ {i}, L_ {j} \ right \} = \ sum _ {s = 1} ^ {3} \ epsilon _ {ijs} D_ {s}}.

El gancho de pescados de D con la misma depende de la señal de E . Para energías negativas (sistemas enlazados de trayectoria cerrada, elíptica si la fuerza sigue una ley del cuadrado inverso) el corchete de Poisson es:

{DI,Dj}=∑s=13ϵIjsLs{\ Displaystyle \ left \ {D_ {i}, D_ {j} \ right \} = \ sum _ {s = 1} ^ {3} \ epsilon _ {ijs} L_ {s}}

mientras que para una energía positiva (sistemas libres de trayectoria abierta, hiperbólica si la fuerza está en el cuadrado inverso de la distancia) el gancho tiene el signo opuesto

{DI,Dj}=-∑s=13ϵIjsLs{\ Displaystyle \ left \ {D_ {i}, D_ {j} \ right \} = - \ sum _ {s = 1} ^ {3} \ epsilon _ {ijs} L_ {s}}.

Los operadores de Casimir para energías negativas se definen por

VS1=D⋅D+L⋅L=metrok22|mi|{\ Displaystyle C_ {1} = \ mathbf {D} \ cdot \ mathbf {D} + \ mathbf {L} \ cdot \ mathbf {L} = {\ frac {mk ^ {2}} {2 \ left | E \ right |}}}VS2=D⋅L=0{\ Displaystyle C_ {2} = \ mathbf {D} \ cdot \ mathbf {L} = 0}

y tener corchetes de Poisson cero con todos los componentes de D y L

{VS1,LI}={VS1,DI}={VS2,LI}={VS2,DI}=0{\ Displaystyle \ left \ {C_ {1}, L_ {i} \ right \} = \ left \ {C_ {1}, D_ {i} \ right \} = \ left \ {C_ {2}, L_ { i} \ right \} = \ left \ {C_ {2}, D_ {i} \ right \} = 0}.

C 2 es obviamente cero, ya que los dos vectores son siempre perpendiculares. Sin embargo, el otro invariante C 1 no es trivial y sólo depende de m , k y E . Este invariante proporciona los niveles de energía del hidrógeno utilizando solo las relaciones de conmutación de la mecánica cuántica en lugar del método más común que se basa en la ecuación de Schrödinger .

Mecánica cuántica del átomo de hidrógeno

Los corchetes de Poisson proporcionan un método simple de cuantificación canónica de un sistema mecánico; la relación de conmutación de dos operadores cuánticos es igual al corchete de Poisson de las correspondientes variables clásicas multiplicadas por . Al realizar el cálculo de esta cuantificación y al determinar los autovalores del operador de Casimir del problema de Kepler, Wolfgang Pauli obtuvo el espectro de energía de los átomos hidrogenoides (Figura 6) y por lo tanto su espectro de emisión atómica Este elegante resultado se obtuvo antes del desarrollo de mecánica ondulatoria . Iℏ{\ Displaystyle i \ hbar}VS1{\ Displaystyle C_ {1}}

Una sutileza del operador cuántico asociado con el vector A de Runge-Lenz es que los operadores de momento y momento angular no conmutan; el producto cruzado de p y L debe entonces ser definida con cuidado. Generalmente, los operadores para componentes cartesianos A s se definen usando un producto simétrico:

As=-metrokr^s+12∑I=13∑j=13ϵsIj(pagIlj+ljpagI){\ Displaystyle A_ {s} = - mk {\ hat {r}} _ {s} + {\ frac {1} {2}} \ sum _ {i = 1} ^ {3} \ sum _ {j = 1} ^ {3} \ epsilon _ {sij} \ left (p_ {i} l_ {j} + l_ {j} p_ {i} \ right)}

a partir del cual se pueden definir los operadores de escala correspondientes

J0=A3{\ Displaystyle J_ {0} = A_ {3} \,} J±1=∓12(A1±IA2){\ Displaystyle J _ {\ pm 1} = \ mp {\ frac {1} {\ sqrt {2}}} \ left (A_ {1} \ pm iA_ {2} \ right)}.

Un primer operador de Casimir normalizado se puede definir de la misma manera

VS1=-metrok22ℏ2H-1-I{\ Displaystyle C_ {1} = - {\ frac {mk ^ {2}} {2 \ hbar ^ {2}}} H ^ {- 1} -I},

donde H −1 es el inverso del operador de energía hamiltoniano e I es el operador de identidad . Al aplicar este operador a los estados propios de los operadores momento angular total, momento angular azimutal y energía, los valores propios del primer operador de Casimir C 1 son n 2 - 1; que son independientes de los números cuánticos l y m , haciendo que la energía afirma degenerada . Los estados energéticos están dados por |lmetrono⟩{\ Displaystyle \ left | lmn \ right. \ rangle}

mino=-metrok22ℏ2no2{\ Displaystyle E_ {n} = - {\ frac {mk ^ {2}} {2 \ hbar ^ {2} n ^ {2}}}},

que es equivalente a la fórmula de Rydberg para átomos de hidrógeno (Figura 6).

Conservación y simetría

La conservación del vector Runge-Lenz corresponde a una simetría sutil del sistema. En la mecánica clásica, las simetrías son operaciones continuas que permiten pasar de una órbita a otra sin cambiar la energía del sistema; en mecánica cuántica, las simetrías son operaciones continuas que mezclan orbitales atómicos de la misma energía, es decir, que provocan la degeneración de los niveles de energía. Una cantidad conservadora generalmente se asocia con tales simetrías. Por ejemplo cualquier fuerza central es simétrica con el grupo de rotaciones SO (3) que conduce a la conservación de momento angular L . Convencionalmente, una rotación completa del sistema no modifica la energía de la órbita; cuantitativamente, las rotaciones combinan armónicos esféricos del mismo número cuántico l sin cambiar la energía.

La simetría de una fuerza central que sigue una ley del cuadrado inverso es mayor y más complicada. La simetría particular del problema de Kepler resulta de la conservación simultánea del momento angular L y del vector A de Runge-Lenz (como se definió anteriormente ) y, en mecánica cuántica, asegura que los niveles de energía del átomo d 'hidrógeno no dependan de la cuántica números l y m . Sin embargo, la simetría es más sutil porque tiene lugar en un espacio dimensional superior; estas simetrías a veces se denominan "simetrías ocultas".

Clásicamente, la alta simetría del problema de Kepler permite una perturbación continua de las órbitas conservando la energía pero no el momento angular; en otras palabras, las órbitas de la misma energía pero de diferentes momentos angulares (por lo tanto de diferentes excentricidades) pueden transformarse continuamente entre sí. De una manera cuántica este consiste en hacer una combinación de orbitales diferentes por sus números cuánticos l y m tal como orbitales atómicos s ( l = 0) y P ( l = 1), por ejemplo. Tales combinaciones no pueden realizarse considerando las rotaciones y traslaciones tridimensionales habituales, sino que corresponden a una rotación en un espacio de mayor dimensión.

Para energías negativas, es decir, sistemas enlazados, el grupo de simetría más alto del sistema es SO (4) , que conserva la longitud en el espacio de cuatro dimensiones.

|mi|2=mi12+mi22+mi32+mi42{\ Displaystyle \ left | \ mathbf {e} \ right | ^ {2} = e_ {1} ^ {2} + e_ {2} ^ {2} + e_ {3} ^ {2} + e_ {4} ^ {2}}

En 1935, Vladimir Fock muestra que el problema de Kepler de un sistema cuántico ligado es equivalente al problema de una partícula libre que se mueve en una esfera tridimensional en un espacio tetradimensional. Más precisamente, Fock muestra que la ecuación de Schrödinger de las funciones de onda en el espacio de momentos es la proyección estereográfica de armónicos esféricos en la esfera.

Notas y referencias

Referencias

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28. (en) E. Schrödinger , "  Quantisierung als Eigenwertproblem  " , Annalen der Physik , vol.  384,1926, p.  361–376
29. (en) GE Prince y CJ Eliezer, "  Sobre las simetrías de Lie del problema clásico de Kepler  " , Journal of Physics A: Mathematical and General , vol.  14,1981, p.  587–596.

Notas

• (fr) Este artículo está tomado parcial o totalmente del artículo de Wikipedia en inglés titulado "  Vector de Laplace-Runge-Lenz  " ( ver la lista de autores ) .

Ver también

Artículos relacionados

• Vector de excentricidad
• Teorema de bertrand

Enlace externo

Demostración de las leyes y propiedades de Kepler de una elipse , curso de mecánica de Bernard Gisin (sitio web personal)

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