Fuerza central

En la mecánica clásica del punto material, un campo de fuerza se denomina campo de fuerza central , de centro O si satisface . El soporte de la fuerza pasa por el centro fijo O. F→(METRO){\ Displaystyle {\ vec {F}} (M) \,}F→=Fmir→{\ Displaystyle {\ vec {F}} = F {\ vec {e_ {r}}}}F→{\ Displaystyle {\ vec {F}} \,}

• Si la fuerza central es conservadora, se deriva de una energía potencial (escalar), señaló . A menudo, la constante se elige de forma convencional, si es posible, de modo que .U(METRO)=U(r)=-∫0rF(r).Dr+vstmi{\ Displaystyle U (M) = U (r) = - \ int _ {0} ^ {r} F (r) .dr + c ^ {te}}U(r=∞)=0{\ Displaystyle U (r = \ infty) = 0}

• El estudio del movimiento de la fuerza central fue uno de los primeros problemas mecánicos resueltos por Newton .

Fuerza lineal de Hooke

Robert Hooke (1635-1703) en su correspondencia de noviembre y diciembre de 1679 con Isaac Newton, estableció la ley de este campo de fuerza centrípeta.

F→(METRO)=-k⋅OMETRO→{\ displaystyle {\ overrightarrow {F}} (M) = - k \ cdot {\ overrightarrow {OM}}}

Se dice que el coeficiente k es la constante de retorno del resorte (o también: rigidez del resorte); k se expresa en N / m.

• La energía potencial asociada se toma convencionalmente igual a .U(METRO)=12⋅k⋅r2{\ Displaystyle U (M) = {\ frac {1} {2}} \ cdot k \ cdot r ^ {2} \,}

• nota: Hooke considera el movimiento del péndulo esférica para muy pequeñas oscilaciones, ya que debido al movimiento de la pequeña masa bajo la acción de un campo central con , l siendo el radio de la esfera.-k⋅OMETRO→{\ Displaystyle -k \ cdot {\ overrightarrow {OM}}}k=metro⋅gramol{\ Displaystyle k = {\ frac {m \ cdot g} {l}} \,}

Así generalizó el trabajo de Galileo sobre el péndulo simple ( 1601 ). La observación es muy fácil porque la trayectoria es una elipse simple que tiene por centro el punto O (en Francia, se habla de elipse de Lissajous, pero es más correctamente elipse de Galileo-Hooke).

Nota: si las oscilaciones no son muy pequeñas, es el péndulo esférico , mucho más difícil de estudiar. Nota: Para que conste, durante el invierno de 1679/1680, Robert Hooke había iniciado una correspondencia con Newton. De esta correspondencia nació en 1684 el manuscrito " de Motu corporum gyrum ", que se puede asimilar al germen de " Principia ". Nótese que Newton no mencionó su "colaboración" con R. Hooke. En un manuscrito de 1685, Robert Hooke propuso un método de cálculo de órbitas que aplicó con éxito al cálculo del movimiento de un péndulo cónico (figura de siete manuscritos de 1685 - Trinity College)

El campo newtoniano

Isaac Newton demostró en 1685 el llamado teorema de Newton-Gauss (ver el teorema de Gauss aplicado a la electrostática ):

la ley universal de atracción gravitacional entre una estrella esférica, de centro O, de masa M y de radio R, sobre un pequeño punto de masa m ubicado en P , fuera de la esfera (por lo tanto r = OP> R) se reduce a la simple central fuerza . -GRAMO⋅METRO⋅metror2⋅tu→r{\ Displaystyle - {\ frac {G \ cdot M \ cdot m} {r ^ {2}}} \ cdot {\ vec {u}} _ {r} \,}

• El campo newtoniano tiene energía potencial (a la que es necesario agregar una constante, a menudo elegida como cero por convención).U(r)=-GRAMO⋅METRO⋅metror{\ Displaystyle U (r) = - {\ frac {G \ cdot M \ cdot m} {r}} \,}

• El movimiento de los planetas, bajo la acción del campo newtoniano del Sol, donde se encuentra la constante de Gauss, conocida con notable precisión (10 dígitos significativos), es el descrito por las leyes de Kepler , demostrado en 1684 por Newton en el “De Motu ”, Que fue reescrito (tan pronto como Newton tuvo una clara conciencia del teorema de Newton-Gauss a través de la ley universal de la gravitación ), en un tratado: los Principia (1687) (ver Demostración de las leyes de Kepler ).-kr2{\ Displaystyle - {\ frac {k} {r ^ {2}}} \,}k=GRAMO⋅METROS{\ Displaystyle k = G \ cdot M_ {S} \,}

• El movimiento de los satélites terrestres (incluida la Luna) se entiende de la misma manera.

Gracias a este teorema, Newton reunió los dos mundos: la mecánica terrestre y la mecánica celeste, como conjeturaba Galileo en sus Diálogos (1632).

• El estudio general del campo newtoniano es el tema, en las ciencias de la Tierra, la gravimetría , en la electrostática del campo de cargas fijas transportadas por los aisladores, en las matemáticas de la teoría del potencial , tema muy desarrollado por Henri Poincaré , Ito y Doob .

• Nota sobre la segunda velocidad cósmica: al nivel de la Tierra . Por lo tanto, un proyectil debe recibir la energía cinética inicial opuesta para que pueda extraerse del campo de gravedad: la velocidad correspondiente, del orden de 11,2 km / s , es la segunda velocidad cósmica (segunda velocidad espacial):, independiente de m (ley de Galileo:. masa inerte y gravitatoria masa-carga son siempre proporcional y por lo tanto, si se eligen las mismas unidades, son idénticos Esta ley, elevado al rango de principio de equivalencia será el punto d de anclaje de teoría de la gravitación de Einstein Este El principio debe ser verificado experimentalmente por el satélite "micron".U(R)=-GRAMO⋅METRO⋅metroR{\ Displaystyle U (R) = - {\ frac {G \ cdot M \ cdot m} {R}} \,} v=2⋅gramo×R{\ Displaystyle v = {\ sqrt {2 \ cdot g \ times R}} \,}

Teorema de Newton-Gauss

El teorema de Newton-Gauss es bastante notable y asombró profundamente a Newton, quien lo consideró uno de sus principales descubrimientos.

En efecto, inmediatamente deducimos que para la Tierra, de masa , considerada esférica, la gravedad terrestre g es y que para la Luna, “considerada como una manzana” distante de sesenta rayos terrestres, la influencia de la Tierra es (60) 2 = 3600 veces más pequeño: este cálculo ha seguido siendo famoso, y con razón, y ha hecho famoso a Newton. METROT{\ Displaystyle M_ {T}}GRAMO⋅METROTR2{\ Displaystyle {\ frac {G \ cdot M_ {T}} {R ^ {2}}} \,}

• La manzana de Newton  : una famosa cita apócrifa de Newton es:

O una manzana, sobre mi cabeza: es atraída hacia la izquierda por el hemisferio terrestre izquierdo, de masa M / 2, por una fuerza difícil de calcular, dirigida hacia un punto C1, que no es el centro de gravedad del hemisferio y simétricamente es atraído hacia la derecha por el otro hemisferio, de masa M / 2, hacia un punto C2. Por simetría, estas dos fuerzas se componen en una fuerza dirigida hacia el centro O de la Tierra (y la manzana cae sobre mi cabeza), pero es sorprendentemente simple que la ley esté en 1 / OM². Esta anécdota, el patrimonio de la física (un poco como Einstein 's E = mc 2 o Arquímedes ' Eureka ) se llama la manzana de Newton en todo el mundo .

• nota sobre la a-gravedad  : en particular, esta consecuencia inmediata resulta, también notable, pero rápidamente entendida por Newton: para una capa de masa esférica de masa M, de radio interno , de radio externo, la gravedad externa es , pero la gravedad interna es absolutamente ¡cero! Cualquier objeto flota allí en ingravidez (de hecho es ingravidez y no ingravidez ). El teorema del marfil generaliza esta extraordinaria capa de ingrávido a elipsoide. Cavendish abordará esto en electrostática, vea el experimento de los hemisferios de Cavendish . A Jules Verne le divirtió este curioso fenómeno en una de sus 80 novelas.R1{\ Displaystyle R_ {1}}R2{\ Displaystyle R_ {2}}-GRAMO⋅METROr2{\ Displaystyle - {\ frac {G \ cdot M} {r ^ {2}}} \,}

Por muy cerca que esté uno de la pared interna del casco, la pared muy cercana atrae tanto como todo el resto del casco en la otra dirección, y provoca una fuerza rigurosamente nula, esto de cualquier manera que se defina el "cierre". A decir verdad, este es el teorema "real" de Newton-Gauss, el teorema notable . Porque para el exterior, que el campo está en 1 / r² fue una clara intuición para Newton desde su razonamiento por semejanza de 1671, sobre las elipses homotéticas de Kepler. Además, Newton, profundamente piadoso, también estaba muy satisfecho con este teorema: si el sistema solar estaba en la capa interna de un universo esférico, entonces la parte derecha del universo equilibraba la fuerza ejercida por la parte izquierda. Un solo Dios podría gobernar este universo: para Newton, el espacio y el tiempo podrían ser absolutos desde el principio.

Sin embargo, Galileo, Huygens y muchos otros se habían propuesto demostrar el principio de la relatividad galileana . El magistral trabajo de Newton sofocará la equivalencia de hipótesis . Ni siquiera McLaurin, que intentará defender el "principio del barco" de Huygens (1742). Será necesario esperar a Fresnel , Michelson , luego Ernst Mach para que este principio de relatividad encuentre un segundo aire.

Campo de la ley de potencia

El campo es esta vez , por lo tanto la energía potencial (excepto n = 1). F(r)=-krno{\ Displaystyle F (r) = - {\ frac {k} {r ^ {n}}} \,}U(r)=-k(no-1)⋅rno-1{\ Displaystyle U (r) = - {\ frac {k} {(n-1) \ cdot r ^ {n-1}}} \,}

Si n es negativo, generalmente lo denotamos por energía potencial . F(r)=-k⋅rpag{\ Displaystyle F (r) = - k \ cdot r ^ {p} \,}U(r)=+k⋅rpag+1pag+1+vstmi{\ Displaystyle U (r) = + {\ frac {k \ cdot r ^ {p + 1}} {p + 1}} + c ^ {te} \,}

Para una fuerza centrípeta, la energía potencial aumenta: decimos que la partícula se mueve en un pozo potencial .

Mostramos que, para n <3,

si el momento angular (constante) no es cero, L→=metro⋅OMETRO→∧V→{\ Displaystyle {\ vec {L}} = m \ cdot {\ overrightarrow {OM}} \ wedge {\ vec {V}} \,}

la trayectoria permanece bloqueada entre un círculo pericéntrico y un círculo apocéntrico, denso en la corona salvo condiciones iniciales inverosímiles desde el punto de vista físico.

Los dos casos excepcionales son los mencionados anteriormente: n = 2 (Newton) yp = 1 (Hooke): este es el teorema de Bertrand , porque hay degeneración: el período radial es múltiplo del período angular. (ver Movimiento con fuerza central ).

Ver también

• Movimiento de fuerza central