Componentes de un vector
En álgebra lineal , los componentes de un vector de un K - espacio vectorial , en un dado de base , son una representación explícita de este vector por una familia de escalares . Cuando el espacio es de dimensión n en el cuerpo K , las componentes forman un elemento del espacio vectorial K n .
Las componentes de los vectores (de un espacio vectorial de dimensión finita ) permiten reducir los cálculos vectoriales a cálculos sobre matrices de números ( n -uplas , matrices , vectores columna ) que se pueden realizar explícitamente.
Definición
Sea E un espacio de K -vector de dimensión ny sea E
una base .
B=(B1,B2,...,Bno){\ Displaystyle {\ mathcal {B}} = \ left (b_ {1}, b_ {2}, \ ldots, b_ {n} \ right)}
Entonces, para cualquier vector de E , existe una combinación lineal única de los vectores de la base, igual a :
v{\ Displaystyle v}v{\ Displaystyle v}
v=α1B1+α2B2+⋯+αnoBno,{\ Displaystyle v = \ alpha _ {1} b_ {1} + \ alpha _ {2} b_ {2} + \ cdots + \ alpha _ {n} b_ {n},}es decir, los escalares donde están determinados únicamente por y .
αI{\ Displaystyle \ alpha _ {i}}I∈{1,...,no}{\ Displaystyle i \ in \ {1, \ ldots, n \}}v{\ Displaystyle v}B{\ Displaystyle {\ mathcal {B}}}
Ahora, los componentes (o coordenadas) de en la base o relativamente a la base , son por definición la familia . Los componentes también se pueden representar en columna en forma de matriz:
v{\ Displaystyle v}B{\ Displaystyle {\ mathcal {B}}}B{\ Displaystyle {\ mathcal {B}}}(α1,...,αno){\ Displaystyle \ left (\ alpha _ {1}, \ ldots, \ alpha _ {n} \ right)}
(α1⋮αno).{\ displaystyle {\ begin {pmatrix} \ alpha _ {1} \\\ vdots \\\ alpha _ {n} \ end {pmatrix}}.}.
La matriz se llama matriz de columna, o vector de columna, de los componentes o coordenadas de la base .
v{\ Displaystyle v}B{\ Displaystyle {\ mathcal {B}}}
Esta matriz a veces se anota , o bien .
METROB(v){\ Displaystyle M _ {\ mathcal {B}} (v)}METROatB(v){\ Displaystyle Mat _ {\ mathcal {B}} (v)}[v]B{\ Displaystyle [v] _ {\ mathcal {B}}}
Porque , el escalar se llama -ésima componente - o -ésima coordenada - del vector en la base .
I∈{1,...,no}{\ Displaystyle i \ in \ {1, \ ldots, n \}}αI{\ Displaystyle \ alpha _ {i}}I{\ Displaystyle i}I{\ Displaystyle i}v{\ Displaystyle v}B{\ Displaystyle {\ mathcal {B}}}
Aplicación de componentes
El mecanismo anterior, que a un vector de E que coincide con sus componentes en la base , puede ser descrito por la aplicación , definido por
v{\ Displaystyle v}B{\ Displaystyle {\ mathcal {B}}}φB{\ Displaystyle \ varphi _ {\ mathcal {B}}}
∀v∈mi,φB(v)=(α1,...,αno),{\ Displaystyle \ forall v \ in E, \ varphi _ {\ mathcal {B}} (v) = \ left (\ alpha _ {1}, \ ldots, \ alpha _ {n} \ right),}donde pertenecer y verificarα1,...,αno{\ Displaystyle \ alpha _ {1}, \ ldots, \ alpha _ {n}}K{\ Displaystyle K}v=α1B1+⋯+αnoBno.{\ Displaystyle v = \ alpha _ {1} b_ {1} + \ cdots + \ alpha _ {n} b_ {n}.}
Entonces es un mapa lineal de E a K n .
φB{\ Displaystyle \ varphi _ {\ mathcal {B}}}
Es incluso un isomorfismo : su recíproco se define por
φB-1:Kno→mi{\ Displaystyle \ varphi _ {\ mathcal {B}} ^ {- 1}: K ^ {n} \ to E}
∀(α1,...,αno)∈Kno,φB-1(α1,...,αno)=α1B1+⋯+αnoBno.{\ Displaystyle \ forall (\ alpha _ {1}, \ ldots, \ alpha _ {n}) \ in K ^ {n}, \ varphi _ {\ mathcal {B}} ^ {- 1} (\ alpha _ {1}, \ ldots, \ alpha _ {n}) = \ alpha _ {1} b_ {1} + \ cdots + \ alpha _ {n} b_ {n}.}También es posible comenzar por definir este mapa , notar que es un isomorfismo, luego definirlo como el isomorfismo recíproco.
φB-1{\ Displaystyle \ varphi _ {\ mathcal {B}} ^ {- 1}}φB{\ Displaystyle \ varphi _ {\ mathcal {B}}}
Ejemplos de
Ejemplo 1
Sea el espacio vectorial de polinomios de grado menor o igual a 3. Este espacio es generado por
R3[X]{\ Displaystyle \ mathbb {R} _ {3} [x]}
{1,X,X2,X3}{\ Displaystyle \ {1, x, x ^ {2}, x ^ {3} \}}y la familia es la base de este espacio.
B=(1,X,X2,X3){\ Displaystyle {\ mathcal {B}} = (1, x, x ^ {2}, x ^ {3})}
La matriz de columna de los componentes, en esta base, del polinomio
pag(X)=a0+a1X+a2X2+a3X3,{\ Displaystyle p \ left (x \ right) = a_ {0} + a_ {1} x + a_ {2} x ^ {2} + a_ {3} x ^ {3},}está escrito (a0a1a2a3).{\ displaystyle {\ begin {pmatrix} a_ {0} \\ a_ {1} \\ a_ {2} \\ a_ {3} \ end {pmatrix}}.}
Relativamente a esta base, el operador de derivación , que con asociados , está representado por la matriz
D{\ Displaystyle D}pag{\ Displaystyle p}Dpag=pag′{\ Displaystyle Dp = p '}
METROatB(D)=(0100002000030000).{\ displaystyle Mat _ {\ mathcal {B}} (D) = {\ begin {pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\\ end {pmatrix}}.}Usando esta representación, es fácil determinar las propiedades del operador, como la invertibilidad , si es hermitiano o antihermitiano o nada en absoluto, su espectro / valores propios , etc.
Ejemplo 2
Las matrices de Pauli representan el operador spin cuando los autovectores correspondientes al estado de spin se transforman en coordenadas.
Referencia
(fr) Este artículo está tomado parcial o totalmente del artículo de Wikipedia en
inglés titulado
“ Vector coordinado ” ( ver la lista de autores ) .
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">