Teorema de la biyección

En el análisis real , el teorema de la biyección es un corolario del teorema del valor intermedio , afirmando que una función continua y estrictamente monótona sobre un intervalo constituye una biyección entre este intervalo y su imagen . Esta biyección es incluso un homeomorfismo , es decir que la función recíproca también es continua.

Este teorema no es cierto en los números racionales , lo que impidió una construcción rigurosa del análisis al XIX ° siglo . Para un enfoque riguroso, tuvimos que esperar el trabajo de Méray , Dedekind y Cauchy, quienes proporcionaron una construcción de números reales .

Estados

En un segmento

Teorema de la biyección entre segmentos - Si f es una función continua y estrictamente monótona en un intervalo [ a , b ] y con valores reales, entonces constituye una biyección entre [ a , b ] y el intervalo cerrado cuyos límites son f ( a ) yf ( b ).

Demostración

Denotemos por J este intervalo cerrado, es decir el conjunto de números reales entre f ( a ) yf ( b ).

La monotonía de la función implica que la imagen del intervalo [ a , b ] está contenida en J :
- si f es creciente, para todo x de [ a , b ] tenemos f ( a ) ≤ f ( x ) ≤ f ( b ) ;
- si f es decreciente, para todo x de [ a , b ] tenemos f ( b ) ≤ f ( x ) ≤ f ( a ) .
El hecho de que esta monotonía sea estricta asegura que dos reales distintos no puedan tener la misma imagen, es decir, la función es inyectiva en [ a , b ].
Por último, el teorema del valor intermedio (que se basa en la suposición de continuidad) asegura que cualquier elemento J tiene al menos un antecedente por f , es decir que la función es sobreyectiva en J .

Formulación equivalenteSi f es continua y estrictamente monótona en un intervalo [ a , b ], entonces, para cualquier k real en J , existe una solución única para la ecuación f ( x ) = k de la incógnita x en [ a , b ]. Además, esta ecuación no tiene solución en [ a , b ] para los otros valores de k .

En cualquier intervalo

Forma del intervalo de la imagen según la dirección de la monotonía y la forma del intervalo de inicio.

J

F

I

$I$	$F$ creciente	$F$ decreciente
$[a; b]$	$[f (a); f (b)] \,$	$[f (b); f (a)] \,$
$[a; b [$	$\ left [f (a); \ lim _ {b} f \ right [$	$\ izquierda] \ lim _ {b} f; f (a) \ derecha]$
$] a; b]$	$\ izquierda] \ lim _ {a} f; f (b) \ derecha]$	$\ left [f (b); \ lim _ {a} f \ right [$
$] a; b [$	$\ izquierda] \ lim _ {a} f; \ lim _ {b} f \ derecha [$	$\ izquierda] \ lim _ {b} f; \ lim _ {a} f \ derecha [$

El teorema se generaliza a intervalos abiertos o semiabiertos, siendo el intervalo un intervalo de la misma naturaleza, con límites que pueden ser finitos o infinitos. La existencia de los límites de la función en los límites del intervalo está asegurada por la monotonía : se trata entonces de los límites superior e inferior de los valores de la función en este intervalo. $J$

Esta generalización se puede reducir a la siguiente formulación:

Teorema - Si es continuo y estrictamente monótono sobre un intervalo de límites y (finito o infinito), para cualquier real estrictamente entre los límites de en y en , existe un único de tal que , en otras palabras, la ecuación admite una solución única. en . $F$ $I$ $a$ $B$ $k$ $F$ $a$ $B$ $vs$ $I$ $f (c) = k$ $f (x) = k$ $I$

Aplicaciones

Este teorema permite definir ciertas funciones recíprocas como la función raíz cuadrada , las funciones trigonométricas recíprocas arco seno , arco coseno y arco tangente , pero también la exponencial del logaritmo natural .

Recíprocos del teorema

Es posible construir biyecciones entre intervalos reales que no son monótonos ni continuos.

Demostración

La función se define en por si pertenece a y si pertenece a define una biyección de en sí mismo, mientras que no es ni monótona ni continuo. $F$ ${\ Displaystyle [0,2]}$ $f (x) = x$ $X$ $[0.1 [$ $f (x) = 3-x$ $X$ $[1,2]$ ${\ Displaystyle [0,2]}$

Por otro lado, algunos resultados pueden considerarse recíprocos del teorema de la biyección.

Una inyección de un intervalo en ℝ que es continuo - o más generalmente de Darboux , es decir comprobar la propiedad de los valores intermedios es necesariamente monótono. En particular, cualquier biyección continua entre intervalos reales es monótona.
Una sobreyección monótona de cualquier parte de ℝ durante un intervalo es necesariamente continua. En particular, cualquier biyección monótona entre intervalos reales es continua.

Homeomorfismo

Una función continua de A a B que admite un recíproco continuo de B a A se llama homeomorfismo . Las hipótesis de los enunciados precedentes permiten en realidad demostrar no solo la existencia de una biyección sino también el carácter continuo de su recíproco. El teorema de la biyección se puede establecer de la siguiente manera:

Teorema - Sea una función continua y estrictamente monótona, con un intervalo $I$ en ℝ, induciendo así una biyección $f$ de $I$ en una parte $J$ de ℝ, con biyección recíproca $f -1 : J \to I$ (estrictamente monótona con el mismo significado que $f$ ). Entonces :

$J$ es un intervalo;
$f$ es un homeomorfismo, es decir, $f -1 : J \to I$ es continuo.

Demostración

$J$ es un intervalo. Esta es una consecuencia directa del teorema de los valores intermedios desde $I$ es un intervalo, y $f$ es continua en $I$ .
$f ^ {- 1}$ es continuo . Es una aplicación del último enunciado de la sección Recíproca del teorema : es una función sobreyectiva monótona de un intervalo, $J$ , en un intervalo, $I$ , por lo tanto es continua. $f ^ {- 1}$ $f ^ {- 1}$

El hecho de que una biyección continua tenga un recíproco continuo no siempre es cierto.

Esta propiedad puede ser falsa si el conjunto de salida o llegada no es ℝ.
Esta propiedad puede ser falsa si el conjunto inicial no es un intervalo de ℝ.
Esta propiedad es una propiedad global: una biyección f de ℝ a ℝ, continua en a , puede tener un recíproco no continuo en f ( a ).

Contraejemplos

La función de $[0, 2π [$ en el círculo unitario del plano ℝ × ℝ que se asocia con θ (cosθ, sinθ) es una biyección continua cuyo recíproco no es continuo en (1.0).
La función de [0, 1 [∪ [2, 3 [en [0, 2 [que, con x , asocia x si x <1 y x - 1 si x ≥ 2, es una biyección continua estrictamente monótona cuyo recíproco n es no continuo en 1.
La función de ℝ en ℝ definida por:
- $f$ es impar;
- $f$ (2 k ) = k para todos los números naturales k ;
- ${\ Displaystyle f (2k + 1) = {\ frac {1} {2k + 3}}}$ para todo el número natural k ;
- ${\ Displaystyle f \ left ({\ frac {1} {k}} \ right) = {\ frac {1} {2k-2}}}$ para cualquier entero k estrictamente mayor que 1;
- $f$ ( x ) = x para cualquier x real positivoque no sea un número entero o el inverso de un número entero;
es una biyección continua en 0 cuyo recíproco no es continuo en 0.

Notas y referencias

(in) Marian Mureşan, A Concrete Approach to Classical Analysis , Nueva York, Springer ,2009( ISBN 978-0-387-78933-0 , leer en línea ) , pág. 165-166. También demostrado en "Teorema de la biyección" en Wikiversity .
Declaración de Alain Mézard y Charles Delorme, Curso Superior de Matemáticas , vol. 2, PUF ,1994( leer en línea ) , pág. 101 y 255y demostrado en "Teorema de la biyección" en Wikiversity . Daniel Guinin y Bernard Joppin, MPSI Analysis , Bréal ,2003( leer en línea ) , pág. 163, th. 10 (b), indíquelo sólo cuando el conjunto inicial sea también un intervalo y demuéstrelo de forma menos directa (utilizando el teorema del límite monótono ).
Esta monotonía de $f -1$ no requiere que $f$ sea continuo o que $yo$ sea un intervalo. Simplemente se debe al hecho de que el orden en $I$ es total : cf. Relación de pedidos # Aplicaciones crecientes .
Bertrand Hauchecorne, Los contraejemplos en matemáticas , elipses ( ISBN 978-2-7298-8806-0 ) , p. 61 .

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