Función de refinamiento por piezas
En matemáticas , una función afín por partes es una función definida en una unión de intervalos reales y cuya restricción a cada uno de estos intervalos viene dada por una expresión afín . Su curva representativa se compone entonces de segmentos de línea recta (posiblemente sin sus extremos) y puntos aislados. De hecho, tal función no es necesariamente continua .
Las funciones afines a trozos permiten representar una serie de movimientos a velocidad constante a lo largo de un eje en función del tiempo, pero también determinadas señales eléctricas como la señal cuadrada o en diente de sierra.
De manera más general, estas funciones son de gran interés para prestarse fácilmente a los cálculos al aproximarse a cualquier función continua. Por tanto, son muy útiles en el análisis numérico , por ejemplo en el cálculo numérico de una integral . Pero también se utilizan en la práctica cuando no existe una formulación simple válida para toda la gama de valores considerados, como en el método de cálculo del impuesto sobre la renta en Francia a partir del cociente familiar.
Ejemplos de
La función de valor absoluto es una función afín por partes definida en ℝ por:
- | x | = - x si x <0
- | x | = x si x ≥ 0
Asimismo, la función definida por f ( x ) = | x - 3 | + 2 | x + 5 | es una función afín a trozos, así como la función entera de x , no solo afín a trozos sino constante a trozos.
También se puede mencionar la función de parte fraccionaria y la función Heaviside como ejemplos de funciones afines por partes.
Continuidad
Uno de los problemas que plantea la construcción de una función afín por partes es la presencia o ausencia de un salto. Si los segmentos de línea son contiguos, la representación gráfica forma una línea poligonal. Una pequeña variación en la variable da como resultado una pequeña variación en f ( x ) . Es el enfoque intuitivo de lo que en matemáticas se llama continuidad .
Ejemplo: la primera función dada fue definida por:
![f (x) = \ left \ {\ begin {array} {cl} 2 \ x & \ mathrm {si} \ x \ in [0; 3]; \\ 9-x & \ mathrm {si} \ x \ in [3; 7 [; \\ x-2 & \ mathrm {si} \ x \ in [7; 10] \ end {matriz} \ derecha.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/420b3691e5184d0e586c90ae168f7145f120a0b3)
De hecho, es continuo en 3 porque, si x se acerca a 3 mientras permanece menor que 3, entonces el valor de f ( x ) se acerca a 6 (= 2 × 3) y cuando x se acerca a 3 en un valor más alto, el valor de f ( x ) se acerca 6 (= 9 - 3).
Por otro lado, no es continuo en 7, porque si x se acerca a 7 mientras permanece menor que 7, entonces f ( x ) se acerca a 2, mientras que si x se acerca a 7 mientras permanece mayor que 7, entonces f ( x ) se acerca a 5.
Un ejemplo: la curva de impuestos
Este ejemplo está tomado del impuesto sobre la renta de las personas físicas en Francia en 2006, que da el monto del impuesto según el cociente familiar (ingreso anual después de la deducción dividido por el número de acciones). Para simplificar, tomaremos como ejemplo a una sola persona (número de acciones = 1). Si el ingreso es R, entonces el impuesto I se calcula mediante:
- si R <4412 entonces I = 0
- si R [4412; 8677] entonces I = R × 0.0683 - 301.84
- si R ] 8677; 15274] entonces I = R × 0.1914 - 1369.48
- si R ] 15274; 24731] entonces I = R × 0.2826 - 2762.47
- si R ] 24731; 40241] entonces I = R × 0.3738 - 5017.93
- si R ] 40241; 49624] entonces I = R × 0.4262 - 7126.56
- si R> 49624 entonces I = R × 0.4809 - 9841
Esto representa una función afín por partes. Cambiar el segmento es cambiar la función afín. La tasa de impuestos es más alta allí. ¿Significa esto que el cambio conlleva un aumento significativo de los impuestos?
Un cálculo rápido para una renta de 15.273 y una renta de 15.275 euros (cambio de categoría) da, para el primer caso, un impuesto de 1.553,77 euros y, en el segundo caso, un impuesto de 1.554,25 euros, es decir, menos de 48 céntimos de euro. por un aumento de ingresos de 2 euros. Por tanto, no hay salto, la función I es continua. Esta propiedad se puede verificar para el paso de cada corte. Este es el objetivo de la constante sustractiva agregada en cada función afín. La impresión subjetiva de discontinuidad proviene del hecho de que la tasa cambia repentinamente: la pendiente de la línea cambia repentinamente creando un punto angular. Decimos que la función no es diferenciable .
Una segunda idea común es que saltar de grupo puede resultar en una pérdida de ingresos reales. Si la renta real corresponde a la renta después de la deducción de la que eliminamos los impuestos, tenemos R '= R - I y R' de hecho sigue siendo una función continua de R. Es nuevamente una función afín por partes cuya expresión es:
- Si R <4412 entonces R '= R
- Si R [4412; 8677] entonces R '= R × 0.9317 + 301.84
- Si R ] 8677; 15274] entonces R '= R × 0.8086 + 1369.48
- Si R ] 15274; 24731] entonces R '= R × 0,7174 + 2762,47
- Si R ] 24731; 40241] entonces R '= R × 0,6262 + 5017,93
- Si R ] 40241; 49624] entonces R '= R × 0.5738 + 7126.56
- Si R> 49624 entonces R '= R × 0.5191 + 9841
Las pendientes de todos los segmentos de líneas o medias líneas son positivas y la función R 'es continua, por lo que también es una función creciente: cuanto más dinero se gana, más queda después de impuestos.
Aproximación de funciones
Un método común utilizado para los cálculos numéricos de funciones (continuas o no) es dar una aproximación afín por partes. Esto es lo que está en la base de los cálculos por el método de elementos finitos de orden 1, y del método de cálculo integral por el método trapezoidal .