En matemáticas , y más precisamente en topología , la suma conectada es una operación que se lleva a cabo en variedades conectadas de la misma dimensión .
La suma conectada de dos variedades conectadas de la misma dimensión n se obtiene quitando de cada una una pequeña vecindad de un punto formado por una bola abierta y pegando las dos variedades así obtenidas (técnicamente: tomando el espacio del cociente de su unión disjunta ) a lo largo de las dos esferas S n –1 que han aparecido. El resultado es una variedad de dimensión n , bien definida hasta el homeomorfismo y conectada (excepto en el caso en que las dos variedades iniciales son homeomorfas a las líneas reales).
En la dimensión 2, por ejemplo, la suma conectada de dos superficies abstractas se obtiene cortando un disco en cada una y pegando a lo largo de los dos bordes circulares obtenidos.
La operación suma conexa es denotado #: A # B denota la suma conexa de A y B .
La clasificación de superficies "cerradas" (es decir, compactas y sin bordes ) (de) , un resultado fundamental e históricamente significativo en topología, indica que cualquier superficie conectada cerrada es la esfera o una suma conectada de g tori T (si es orientable y de género g > 0), es decir una suma conectada de k planos proyectivos reales P , k > 0 (si es no orientable).
Excepto en el caso de que las dos variedades iniciales sean homeomórficas con respecto a las líneas reales, la suma conectada de dos variedades siempre está conectada.
La suma conectada de variedades abstractas de dimensión m es una operación asociativa y conmutativa , dando al conjunto de estas variedades una estructura de un monoide conmutativo, con un elemento neutro la esfera S m .
La suma conectada de dos variedades es orientable si y solo si las dos variedades iniciales son orientables.