Cruz-tapa

Una tapa cruzada es el resultado de una suma conectada entre una variedad de dimensión 2 y un plano proyectivo . Intuitivamente, implica perforar un agujero en una variedad y coser el borde, identificando los puntos diametralmente opuestos.

Ejemplos y propiedades

una esfera con un casquete en cruz es el plano proyectivo real en sí mismo, siendo la esfera un elemento neutral para la suma conectada;
una esfera con dos tapones cruzados está inspirada en la botella de Klein ;
una esfera con tres cruces se llama superficie de Dyck , y es homeomorfa a la suma conectada del plano proyectivo y el toro según un teorema de Walther von Dyck .

En una inmersión en R 3 , el casquete cruzado da como resultado una auto-intersección, cerca de la cual el casquete cruzado se asemeja al paraguas de Whitney , por lo tanto tiene puntos caninos (adentro) .

Clasificación de colectores bidimensionales.

Estas superficies aparecen en el teorema de clasificación de variedades 2 (de) significa que cualquier variedad compacta bidimensional y sin bordes es homeomorfa a la esfera (con un número de bucles ) con 0, 1 o 2 cruces. De hecho, denotemos el toro , el toro con n agujeros (suma conectada de n toros ), el plano proyectivo, la suma conectada de n planos proyectivos (o la esfera provista de n casquillos cruzados). es la botella de Klein, y el teorema de Dick establece que , y de manera más general, para todos los enteros n , y . Luego mostramos que cualquier superficie compacta sin borde es homeomorfa a a (0 cross-cap) si es orientable, y a uno si no es orientable (toro con varios agujeros provistos de 1 cross-cap si n es impar, y 2 tapones cruzados si n es par). $T_1$ $T_ {n}$ $T_1$ $U_ {1}$ $A}$ ${\ Displaystyle K = U_ {2}}$ ${\ Displaystyle U_ {3} = T_ {1} \ # U_ {1}}$ ${\ Displaystyle U_ {2n} = T_ {n-1} \ # K}$ ${\ Displaystyle U_ {2n + 1} = T_ {n} \ # U_ {1}}$ $T_ {n}$ $A}$

enlaces externos

Jos Leys, “ The cross-cap ” : animación de una creación de un cross-cap.

Notas y referencias

(en) Eric W. Weisstein , " Cross-Cap " en MathWorld
(en) HSM Coxeter y WOJ Moster, Generadores y relaciones para grupos discretos (tercera edición) , Springer-Verlag Nueva York, Heidelberg, Berlín,1972, p. 25
(en) Eric W. Weisstein , " Teorema de Dyck " en MathWorld , que no debe confundirse con otro matemático del mismo teorema (en) Eric W. Weisstein , " Teorema de vonDyck " en MathWorld .
Marcel Berger y Bernard Gostiaux, Geometría diferencial: variedades, curvas y superficies , PUF,2005( ISBN 2-13-044708-2 ) , pág. 156