Aplicación transpuesta

En matemáticas y más precisamente en álgebra lineal , el mapa transpuesto de un mapa lineal u : E → F entre dos espacios vectoriales es el mapa t u : F * → E * entre sus duales definidos por:

∀ℓ∈F∗,ttu(ℓ)=ℓ∘tu{\ Displaystyle \ forall \ ell \ in F ^ {*}, \ qquad ^ {\ operatorname {t}} \! u (\ ell) = \ ell \ circ u}

o de nuevo, si es el gancho de la dualidad de E  : ⟨, ⟩{\ Displaystyle \ langle \ ;, \ \ rangle}

∀X∈mi,∀ℓ∈F∗,⟨ttu(ℓ),X⟩=⟨ℓ,tu(X)⟩.{\ Displaystyle \ forall x \ in E, \ forall \ ell \ in F ^ {*}, \ qquad \ langle ^ {\ operatorname {t}} \! u (\ ell), x \ rangle = \ langle \ ell , u (x) \ rangle.}

La forma lineal resultante se llama mapa transpuesto de along . ttu(ℓ)∈mi∗{\ Displaystyle ^ {\ operatorname {t}} \! u (\ ell) \ in E ^ {*}}ℓ{\ Displaystyle \ ell}tu{\ Displaystyle u}

Esta definición se generaliza a los módulos K a la derecha en un anillo (no necesariamente conmutativos ), recordando que el dual de un módulo K a la derecha es un módulo K a la izquierda, o un módulo derecho en el anillo opuesto K op .

Propiedades

• El mapa t u asociado con u es, como éste, lineal.
• El mapa que asocia su transposición a un mapa lineal se llama transposición. En sí mismo es un mapa lineal, de L ( E , F ) a L ( F *, E *).
• La aplicación transposición es compatible con la composición  : si u es lineal desde E a F y v lineal de F a G ,t(v∘tu)=ttu∘tv.{\ displaystyle ^ {\ operatorname {t}} \! (v \ circ u) = ^ {\ operatorname {t}} \! u \ circ ^ {\ operatorname {t}} \! v.}(Especialmente si u es un isomorfismo, entonces la inversa de la transpuesta de u es igual a la transpuesta de la inversa de u .)
• Para todas las partes A de E y B de F , tenemos [ u ( A )] ⊥ = ( t u ) −1 ( A ⊥ ), y u ( A ) ⊂ B ⇒ t u ( B ⊥ ) ⊂ A ⊥ .
• Si E y F son espacios vectoriales de dimensión finita en un campo conmutativo , con sus respectivas bases B y C , entonces la matriz de la transpuesta de u , en las bases duales C * y B *, es la transpuesta de la matriz de u en las bases de datos. B y C  :metroatVS∗,B∗(ttu)=t(metroatB,VS(tu)).{\ displaystyle mat_ {C ^ {*}, B ^ {*}} (^ {\ operatorname {t}} \! u) = ^ {\ operatorname {t}} \! (mat_ {B, C} (u )).}De hecho, si B = ( e 1 ,…, e n ) y C = ( f 1 ,…, f m ), el elemento de los índices i, k de la matriz mat C *, B * ( t u ) es 〈t u ( f k *), e i〉 y el elemento de índices k, i de la matriz mat B , C ( u ) es 〈f k *, u ( e i )〉.
• Dado el hecho de que la matriz de un material compuesto es el producto de matrices , se encuentra, de los dos puntos anteriores, la fórmula T ( AB ) = t B . t A .

Aplicación transpuesta en general

La noción de transpuesta entra en juego de una manera mucho más general. Si tenemos una aplicación entre dos conjuntos: F{\ Displaystyle f}

F:X→Y{\ displaystyle f: X \ rightarrow Y}.

Deducimos para cualquier conjunto una aplicación  : Z{\ Displaystyle Z}F∗{\ displaystyle f ^ {*}}

F∗:HometrominosmimetroBlmi(Y,Z)→HometrominosmimetroBlmi(X,Z){\ displaystyle f ^ {*}: \ mathrm {Hom} _ {Set} (Y, Z) \ rightarrow \ mathrm {Hom} _ {Set} (X, Z)}

definido por where denota el conjunto de asignaciones de in . F∗(gramo)=gramo∘F{\ Displaystyle f ^ {*} (g) = g \ circ f}HometrominosmimetroBlmi(A,B){\ Displaystyle \ mathrm {Hom} _ {Conjunto} (A, B)}BA{\ Displaystyle B ^ {A}}A{\ Displaystyle A}B{\ Displaystyle B}

Si , y son grupos , podemos usar exactamente la misma definición para construir X{\ Displaystyle X}Y{\ Displaystyle Y}Z{\ Displaystyle Z}

F∗:HometroGRAMOrotupagmi(Y,Z)→HometroGRAMOrotupagmi(X,Z){\ displaystyle f ^ {*}: \ mathrm {Hom} _ {Group} (Y, Z) \ rightarrow \ mathrm {Hom} _ {Group} (X, Z)}

donde este tiempo designa el conjunto de morfismos de grupos de en . HometroGRAMOrotupagmi(A,B){\ Displaystyle \ mathrm {Hom} _ {Group} (A, B)}A{\ Displaystyle A}B{\ Displaystyle B}

La transposición Uno podría incluso definir un homomorfismo de anillo , de espacios topológicos , de espacios vectoriales topológicos ,  etc.

Por tanto, esta construcción se enmarca dentro del marco general de la teoría de categorías .

Si es una categoría , son objetos de y es un elemento de . Luego, para cualquier objeto de , existe una aplicación llamada transposición de  : VS{\ Displaystyle {\ mathfrak {C}}}X{\ Displaystyle X}Y{\ Displaystyle Y}VS{\ Displaystyle {\ mathfrak {C}}}F{\ Displaystyle f}HometroVS(X,Y){\ Displaystyle \ mathrm {Hom} _ {\ mathfrak {C}} (X, Y)}Z{\ Displaystyle Z}VS{\ Displaystyle {\ mathfrak {C}}}F∗{\ displaystyle f ^ {*}}F{\ Displaystyle f}

F∗:HometroVS(Y,Z)→HometroVS(X,Z){\ Displaystyle f ^ {*}: \ mathrm {Hom} _ {\ mathfrak {C}} (Y, Z) \ rightarrow \ mathrm {Hom} _ {\ mathfrak {C}} (X, Z)}.

Es la imagen de la funtor Hom contravariante de las categoría conjuntos . HometroVS(F,Z){\ Displaystyle \ mathrm {Hom} _ {\ mathfrak {C}} (f, Z)}F{\ Displaystyle f}HometroVS(⋅,Z){\ Displaystyle \ mathrm {Hom} _ {\ mathfrak {C}} (\ cdot, Z)}VS{\ Displaystyle {\ mathfrak {C}}}minos{\ Displaystyle \ mathrm {Ens}}

Notas

1. Configurando (λμ) y * = y *. (Μ.λ) donde (μ, y *) ↦ μ y * es la acción de K sobre F *, (μ, y *) ↦ y * .μ es la acción de K op sobre F *, (λ, μ) ↦ λμ es el producto en K , (λ, μ) ↦ μ.λ es el producto en K op , etc.
2. Para ser tomado en el sentido “ℤ-lineal”, es decir, morfismo de grupos abelianos , si el anillo no es conmutativo.
3. Esto es cierto para K -modules derecho libre finitamente en un anillo de K no necesariamente conmutativa, la transpuesta de una matriz con coeficientes en K siendo entonces una matriz con coeficientes en K op .

Artículo relacionado

Operador asistente