Número primo de Eisenstein

En matemáticas , un número primo de Eisenstein o número primo de Eisenstein es un elemento irreducible (o equivalentemente primo ) a + b ω del anillo de números enteros de Eisenstein  : no es una de las seis unidades (± 1, ± ω, ± ω 2 ) y sus únicos divisores en el anillo son las unidades y los productos de a + b ω por una unidad.

Aquí, ω denota la raíz cúbica primitiva de la unidad (- 1 + i √ 3 ) / 2.

Los números de Eisenstein fueron nombrados en honor al matemático Gotthold Eisenstein .

Determinación

Los números primos de Eisenstein son:

• los números primos habituales congruentes con –1 módulo 3 y sus productos por unidades;
• Enteros de Eisenstein cuya norma (el módulo al cuadrado) es un número primo habitual (que entonces es necesariamente igual a 3 o congruente a 1 módulo 3).

Demostración directa

De acuerdo con las propiedades generales de la norma en un anillo de enteros cuadráticos , los números primos de Eisenstein se obtienen descomponiendo en ℤ [ω] los números primos usuales, y para tal número natural primo p , hay n 'solo dos posibilidades :

• o bien p permanece irreductible en ℤ [ω],
• o p = N (π) para algún elemento π de ℤ [ω], que entonces es irreducible.

Queda por verificar que estos dos casos corresponden a las congruencias anunciadas.

• Si p ≡ –1 mod 3, estamos en el primer caso. De hecho, cualquier norma de un elemento π = a + b ω de ℤ [ω] es un cuadrado mod 3 , ya que 4 N (π) = (2 a - b ) 2 + 3 b 2 .
• Si p ≡ 1 mod 3, estamos en el segundo. De hecho, un caso especial de la ley de reciprocidad cuadrática muestra que –3 es un mod cuadrado p , es decir, existe un entero x tal que p divide x 2 + 3. En ℤ [ω], p no puede ser irreductible , de lo contrario, dividiendo x 2 + 3 = ( x + i √ 3 ) ( x - i √ 3 ), dividiría uno de los factores, lo cual es imposible porque los números ( x + i √ 3 ) / p = ( x + 1) / p + (2 / p ) ω y su conjugado no están en el anillo (2 no es divisible por p ).
• 3 = N (2 + ω).

Demostración a través de ideales

ℤ [ω] siendo principal, sus elementos primos son los generadores de sus ideales primos distintos de cero. Cada uno de estos ideales tiene seis generadores ( asociados ). La clasificación de estos ideales en el anillo de números enteros de ℚ ( √ d ) para cualquier d ( ver artículo detallado), aplicada aquí ad = –3, muestra que estos elementos son:

• para cualquier número primo p > 3 módulo que –3 no es un cuadrado, los seis elementos asociados con p  ;
• para cualquier número primo p > 3 módulo que –3 es un cuadrado, los doce elementos de la norma p  ;
• los seis elementos del estándar 3.

Sin embargo, de acuerdo con la ley de reciprocidad cuadrática , módulo un número primo p > 3, –3 es un cuadrado si y solo si p ≡ 1 mod 3.

Ejemplos de

Los diez números primos más pequeños (habituales) congruentes con 2 módulo 3 son 2 , 5 , 11 , 17 , 23 , 29 , 41 , 47 , 53 y 59 . A partir de 2007 , el más grande conocido es 19,249 × 2 13,018,586 + 1, descubierto por Konstantin Agafonov. Actualmente está (enfebrero 2015) el undécimo número primo más grande conocido.

Excepto por la conjugación y producido por las seis unidades, los únicos números primos de Eisenstein de módulo menor que 7 son, además de 2 y 5: 2 + ω, 3 + ω, 4 + ω, 5 + 2ω, 6 + ω, 7 + 3ω y 7 + ω (de los respectivos estándares 3, 7, 13, 19, 31, 37 y 43). Los números de Eisenstein de la norma 3 son notables porque cada uno es producido de su conjugado por una unidad: 3 = (2 + ω) (2 + ω) = - (2 + ω) 2 .

Notas y referencias

(fr) Este artículo está tomado parcial o totalmente del artículo de Wikipedia en inglés titulado "  Eisenstein prime  " ( consulte la lista de autores ) .

1. Este anillo es euclidiano por tanto principal y por tanto factorial , es decir que todos sus elementos irreductibles son primos.
2. Para el 1000 más pequeño, consulte la continuación A003627 de la OEIS .
3. (en) Chris Caldwell, "  Los veinte primeros: los premios más importantes conocidos  " en Prime Pages .
4. Los primeros diez números primos más grandes son números primos de Mersenne descubiertos por GIMPS .