Elemento simétrico

En matemáticas , la noción de elemento simétrico generaliza los conceptos de opuesto en relación con la suma y de inverso en relación con la multiplicación.

Definición

Sea E un conjunto provisto de una ley de composición interna que admite un elemento neutro . Considere dos elementos y de E . ∗{\ Displaystyle *} mi∈mi{\ Displaystyle e \ in E}a{\ Displaystyle a}B{\ Displaystyle b}

• Si , es dicho elemento simétrico a la izquierda de y es dicho elemento simétrico a la derecha de .a∗B=mi{\ Displaystyle a * b = e}a{\ Displaystyle a}B{\ Displaystyle b}B{\ Displaystyle b}a{\ Displaystyle a}
• Si , se dice que es un elemento simétrico de .a∗B=B∗a=mi{\ Displaystyle a * b = b * a = e}a{\ Displaystyle a}B{\ Displaystyle b}

Un elemento de E que admite al menos un simétrico recto se dice que es simétrico recto  ; si admite al menos uno simétrico a la izquierda, se dice que es simétrico a la izquierda  ; si admite al menos un elemento simétrico, se dice que es simetrizable .

Propiedades

Si es un monoide (es decir, si es asociativo y si E tiene una e neutra para esta ley), tenemos las siguientes propiedades: (mi,∗){\ Displaystyle (E, *)}∗{\ Displaystyle *}

• si un elemento b tiene un simétrico a la izquierda a entonces b es regular a la izquierda porque∀X∈mia∗(B∗X)=(a∗B)∗X=mi∗X=X{\ Displaystyle \ forall x \ in E \ quad a * (b * x) = (a * b) * x = e * x = x}(y de la misma manera reemplazando en todas partes izquierda por derecha);
• si un elemento a tiene una b simétrica a la izquierda y una c simétrica a la derecha , entonces b = c (y la simétrica es, por lo tanto, única) porqueb = b • e = b • ( a • c ) = ( b • a ) • c = e • c = c  ;
• los elementos simetrizables de E forman un grupo .

Ejemplos de

• Cualquier número real tiene simétrico para la suma , denotado . Cualquier número real distinto de cero tiene una multiplicación simétrica , denotada .X{\ Displaystyle x}-X{\ Displaystyle -x}1X{\ displaystyle {\ tfrac {1} {x}}}
• Si es un anillo unitario, entonces es un monoide, cuyo grupo de elementos simetrizables se denomina grupo de invertibles del anillo y se denota por o .(mi,+,×){\ Displaystyle (E, +, \ times)}(mi,×){\ Displaystyle (E, \ times)}U(mi){\ Displaystyle U (E)}mi×{\ Displaystyle E ^ {\ times}}
• Si E es el anillo de matrices cuadradas de tamaño fijo con coeficientes en un campo , su grupo de invertibles es el grupo lineal , formado por matrices con determinante distinto de cero. Si el determinante de una matriz es cero, no tiene simetría, ni a la izquierda ni a la derecha; la existencia de un simétrico a la izquierda oa la derecha implica en este caso la existencia de un simétrico.
• En general, una matriz cuadrada en un anillo conmutativo A es invertible si y sólo si su determinante es invertible en A .

Ver también

Inversa (desambiguación)