Medida terminada

En un espacio medible , una medida finita (o medida acotada ) es una medida positiva μ para la cual μ ( X ) es finita, o más generalmente una medida con signo , o incluso una medida compleja (en) cuya masa (valor en X de la variación total | μ | de μ) es finita. $(X, {\ mathcal A})$ ${\ Displaystyle | \ mu | (X)}$

Funciones integradas

Cualquier función compleja f mensurable y acotada es integrable frente a cualquier medida finita ; y tenemos el aumento: $\ mu$

{\ Displaystyle \ left | \ int _ {X} fd \ mu \ right | \ leq \ | f \ | _ {\ infty}. | \ mu | (X)}

Ejemplos de medidas terminadas

La medida de conteo en un conjunto X es finita si X es un conjunto finito .
Las masas de Dirac son medidas finitas, independientemente del espacio medible considerado.
De manera más general, las medidas de probabilidad son ejemplos de medidas finitas: son medidas positivas de masa 1.
La medida de Lebesgue sobre un dominio acotado de ℝ n .
Para una medida compleja $ν$ no necesariamente finita y para una función $f$ integrable $ν$ , la variación total de la medida $f$ $ν$ es exactamente $|$ $f$ $|$ $| ν |$ ; de hecho, la medida $f$ $ν$ es finita.

Secuencia decreciente de espacios $L p$

Según la desigualdad de Hölder o Jensen , los espacios $L p$ de una medida finita forman una familia decreciente de inclusión, con inyecciones continuas . Mas presisamente :

{\ Displaystyle {\ text {si}} \ mu (X) <+ \ infty {\ text {luego}} 0 <p \ leq q \ leq + \ infty \ Rightarrow \ mathrm {L} ^ {p} (\ mu) \ supset \ mathrm {L} ^ {q} (\ mu) {\ text {coche}} \ forall f \ in \ mathrm {L} ^ {q} (\ mu), \ | f \ | _ { p} \ leq \ mu (X) ^ {{\ frac {1} {p}} - {\ frac {1} {q}}} \ | f \ | _ {q}.}

A muy fuerte contrario es cierto: si $μ$ es σ-finito y si hay $p$ y $q$ , con $1 \leq p <q \leq + \infty$ , de modo que $L p (μ) \supset L q (μ)$ , entonces $μ$ es finito.

Espacio de medidas finitas

Cualquier suma de medidas finitas (firmadas o complejas) es una medida finita. Cualquier medida proporcional a una medida finita es una medida finita.

El espacio de medidas finitas ${\ Displaystyle \ scriptstyle {\ mathcal {M}} (X, {\ mathcal {A}})}$ (firmadas o complejas) forma un espacio de Banach (real o complejo) para la norma :

{\ Displaystyle \ | \ mu \ | = | \ mu | (X).}

Para cualquier medida $ν$ en (finito o no), el mapa $f$ $\mapsto$ $f$ $ν$ induce una isometría de $L$ $1$ $(ν)$ en un subespacio vectorial cerrado de . ${\ Displaystyle \ scriptstyle (X, {\ mathcal {A}})}$ ${\ Displaystyle \ scriptstyle {\ mathcal {M}} (X, {\ mathcal {A}})}$

Cuando $ν$ es σ-finito , este subespacio con el que $L 1 (ν) se$ identifica es igual (según el teorema de Radon-Nikodym ) al conjunto de todas las medidas finitas absolutamente continuas con respecto a $ν$ . Está incluido en el dual topológico de $L \infty (ν)$ :

{\ Displaystyle \ mathrm {L} ^ {1} (\ nu) \ subconjunto \ mathrm {(} L ^ {\ infty} (\ nu)) '.}

Esta inclusión es estricta (excepto en casos triviales) porque $(L \infty (ν)) '$ se compone de "medidas" (finitas y absolutamente continuas con respecto a $ν$ ) que son solo finitamente aditivas .

Ejemplo: inclusión estricta de

ℓ 1

= en

(ℓ

\infty

) '

{\ Displaystyle \ scriptstyle {\ mathcal {M}} (\ mathbb {N})}

Si $ν$ es la medida de conteo en ℕ, entonces $ν$ es σ-finito y la continuidad absoluta con respecto a $ν$ es automática, por lo que $L 1 (ν)$ (que se escribe aquí $ℓ 1$ ) se identifica con cualquier número entero. La inclusión de $ℓ$ $1$ en el dual de $ℓ$ $\infty$ da como resultado: ${\ Displaystyle \ scriptstyle {\ mathcal {M}} (\ mathbb {N})}$

{\ Displaystyle \ forall a \ in \ ell ^ {1}, \ forall b \ in \ ell ^ {\ infty}, ~ \ langle a, b \ rangle = \ sum a_ {n} b_ {n}.}

Pero existen formas lineales continuas, en el espacio $ℓ \infty$ de sucesiones acotadas, que no proceden así de un elemento $a$ de $ℓ 1$ : por ejemplo, en el subespacio de sucesiones convergentes (en) , tenemos una forma lineal continua que con cualquier secuencia convergente asocia su límite. Podemos, por el teorema de Hahn-Banach , extender esta forma en este subespacio en una forma continua en $ℓ \infty$ por lo tanto en una "medida finita" que sólo es finitamente aditiva en ℕ ya que, aunque no es cero, se cancela en cada singleton. .

Calificación y referencia