Teorema de Riesz-Fischer

En matemáticas , más precisamente en la teoría de la integración , el teorema de Riesz-Fischer dice:

que una función es cuadrática integrable si y solo si la correspondiente serie de Fourier converge en el espacio $L 2$ ;
que el espacio $L p$ está completo .

Estas dos afirmaciones (con $p$ = 2 en la segunda) fueron demostradas en 1907 por el húngaro Frigyes Riesz y el austríaco Ernst Sigismund Fischer : Riesz demostró la primera afirmación y Fischer la segunda, a partir de la cual reinició la primera.

Convergencia de la serie de Fourier

El primer enunciado significa que si la suma parcial de la serie de Fourier correspondiente a la función $f$ está dada por

{\ Displaystyle S_ {N} f (x) = \ sum _ {n = -N} ^ {N} F_ {n} \, e ^ {\ mathrm {i} nx}}

donde $F n$ es el $n-ésimo$ coeficiente de Fourier, dado por

{\ Displaystyle F_ {n} = {\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {- \ pi} ^ {\ pi} f (x) \, e ^ {- \ mathrm {i} nx} ~ \ mathrm {d} x}

entonces

{\ Displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} \ left \ Vert S_ {n} ff \ right \ | = 0}

donde es la norma $L$ $2$ que se puede escribir para una función $g$ ${\ Displaystyle \ left \ Green \ cdot \ right \ |}$

{\ Displaystyle \ left \ Green g \ right \ | = {\ sqrt {\ int _ {- \ pi} ^ {\ pi} | g | ^ {2}}}}

Por el contrario, si $( a n )$ es una secuencia de números complejos indexados por el conjunto de enteros relativos tal que

{\ Displaystyle \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} \ left | a_ {n} \ right \ vert ^ {2} <\ infty}

entonces existe una función cuadrada integrable $f$ tal que $a n$ son los coeficientes de Fourier de $f$ .

Este teorema generaliza la desigualdad de Bessel y se puede utilizar para demostrar la igualdad de Parseval para las series de Fourier .

Completitud del espacio $L p$

Para cualquier $p > 0$ , el espacio métrico $L p$ está completo. En el caso habitual $1 \leq p \leq \infty$ , es además un espacio vectorial normalizado , por lo tanto un espacio de Banach ; en particular, si $p$ = 2, es un espacio de Hilbert .

Demostramos de pasada que para $p \geq 1$ , cada secuencia de Cauchy en $L p$ - en otras palabras, a posteriori : cada secuencia convergente en $L p$ - tiene una subsecuencia que converge casi en todas partes .

Prueba de

p \geq 1

En el caso de que $p = \infty$ sea inmediato (se trata de una convergencia uniforme fuera de un conjunto despreciable ), fijemos $1 \leq p <\infty$ y una secuencia de Cauchy $( f n )$ de elementos de $L p$ .

Tiene una subsecuencia $( g n ) que$ verifica:

{\ Displaystyle \ forall n \ in \ mathbb {N}, \ quad \ | g_ {n + 1} -g_ {n} \ | _ {p} <2 ^ {- n},}

y basta, para probar que $( f n )$ converge, para mostrar que $( g n )$ converge. Por eso posemos

{\ Displaystyle g = \ sum _ {n \ in \ mathbb {N}} | g_ {n + 1} -g_ {n} |.}

Esta función $g$ es medible y verifica (por convergencia monótona y desigualdad de Minkowski ):

{\ Displaystyle \ | g \ | _ {p} \ leq \ sum _ {n \ in \ mathbb {N}} \ | g_ {n + 1} -g_ {n} \ | _ {p} <\ infty. }

Por lo tanto, es finita en casi todas partes, es decir, en cualquier punto $x$ fuera de un conjunto insignificante, la serie digital es absolutamente convergente , por lo tanto convergente . Aparte de este conjunto insignificante, la secuencia $($ $g$ $n$ $),$ por lo tanto, simplemente converge hacia una determinada función $f$ que, por lo tanto, es medible. Concluimos señalando que $f$ satisface: ${\ Displaystyle \ sum _ {n \ in \ mathbb {N}} (g_ {n + 1} -g_ {n}) (x)}$

{\ Displaystyle \ | f-g_ {n} \ | _ {p} \ leq \ sum _ {k \ geq n} \ | g_ {k + 1} -g_ {k} \ | _ {p} \ leq 2 ^ {- n + 1},}

de modo que pertenece a $L p$ y que la secuencia $( g n )$ converge en este espacio.

Notas y referencias

(fr) Este artículo está tomado parcial o totalmente del artículo de Wikipedia en inglés titulado “ Teorema de Riesz-Fischer ” ( ver la lista de autores ) .
(en) Análisis de Richard Beals : Introducción , Cambridge University Press , 2004 ( ISBN 978-0-521-60047-7 )
(en) John Horváth, “ Sobre el teorema de Riesz-Fischer ” [PDF]

F. Riesz , “ Sobre sistemas ortogonales de funciones ”, CRAS , vol. 144,1907, p. 615–619.
E. Fischer , " En promedio de convergencia ", CRAS , vol. 144,1907, p. 1022–1024.
E. Fischer , “ Aplicaciones de un teorema de convergencia en promedio ”, CRAS , vol. 144,1907, p. 1 148-1 151.

Teorema de Riesz-Fischer

Convergencia de la serie de Fourier

Completitud del espacio L p

Notas y referencias

Completitud del espacio $L p$