Espacio suite $ℓ$ p

En matemáticas , el espacio $ℓ$ p es un ejemplo de espacio vectorial , formado por secuencias con valores reales o complejos y que tiene, para $1 \leq p \leq \infty$ , una estructura de espacio de Banach .

Motivación

Considere el espacio vectorial real ℝ n , es decir, el espacio de n- tuplas de números reales .

La norma euclidiana de un vector viene dada por: ${\ Displaystyle x = (x_ {1}, x_ {2}, \ dots, x_ {n})}$

{\ Displaystyle \ | x \ | = \ left (x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} + \ dots + x_ {n} ^ {2} \ right) ^ {1/2} }

Pero para cualquier número real p ≥ 1, podemos definir otra norma en ℝ n , llamada p -norm, planteando:

{\ Displaystyle \ | x \ | _ {p} = \ left (| x_ {1} | ^ {p} + | x_ {2} | ^ {p} + \ dots + | x_ {n} | ^ {p } \ right) ^ {1 / p}}

para cualquier vector . ${\ Displaystyle x = (x_ {1}, x_ {2}, \ dots, x_ {n})}$

Para todo p ≥ 1, ℝ n dotado de la p -norm es, por tanto, un espacio vectorial normalizado . Como es de dimensión finita , está completo para este estándar.

Espacio ℓ p

La p -norm se puede extender a vectores que tienen una infinidad contable de componentes, lo que permite definir el espacio ℓ p (también indicado ℓ p ( ℕ ) porque podemos definir de la misma manera p ( X ) para cualquier finito o infinito conjunto X , el caso donde X tiene n elementos correspondientes al párrafo anterior).

Más precisamente, ℓ p será un subespacio vectorial del espacio de series infinitas de números reales o complejos, en el que la suma está definida por:

{\ Displaystyle (x_ {0}, x_ {1}, \ dots, x_ {n}, x_ {n + 1}, \ dots) + (y_ {0}, y_ {1}, \ dots, y_ {n) }, y_ {n + 1}, \ dots) = (x_ {0} + y_ {0}, x_ {1} + y_ {1}, \ dots, x_ {n} + y_ {n}, x_ {n +1} + y_ {n + 1}, \ puntos)}

y multiplicación por un escalar por:

{\ Displaystyle \ lambda (x_ {0}, x_ {1}, \ dots, x_ {n}, x_ {n + 1}, \ dots) = (\ lambda x_ {0}, \ lambda x_ {1}, \ puntos, \ lambda x_ {n}, \ lambda x_ {n + 1}, \ puntos).}

Definimos la p -norm de una secuencia : ${\ Displaystyle x = (x_ {0}, x_ {1}, \ dots, x_ {n}, x_ {n + 1}, \ dots)}$

{\ Displaystyle \ | x \ | _ {p} = \ left (| x_ {0} | ^ {p} + | x_ {1} | ^ {p} + \ dots + | x_ {n} | ^ {p } + | x_ {n + 1} | ^ {p} + \ dots \ right) ^ {1 / p} \ in [0, + \ infty].}

La serie de la derecha no siempre es convergente: por ejemplo, la secuencia (1, 1, 1,…) tiene una p -norm infinita para cualquier $p <\infty$ .

El espacio ℓ p se define como el conjunto de sucesiones infinitas de números reales o complejos cuya p -norm es finita.

También definimos la "norma $\infty$ " como:

{\ Displaystyle \ | x \ | _ {\ infty} = \ sup (| x_ {0} |, | x_ {1} |, \ dots, | x_ {n} |, | x_ {n + 1} |, \ dots)}

y el espacio vectorial correspondiente ℓ $\infty$ es el espacio de secuencias acotadas .

Propiedades

Para cualquier conjunto X , el espacio ℓ ∞ ( X ) de funciones limitadas en X (con valores reales o complejos) es Banach , es decir, cualquier secuencia uniformemente Cauchy de funciones limitadas en X converge uniformemente (a una función limitada). Asimismo, para $1 \leq p \leq \infty$ , ℓ p (ℕ) es de Banach. (Estos son dos casos especiales del teorema de Riesz-Fischer , que concierne a todos los espacios $L p$ ).
En ℓ ∞ , un subespacio notable es el espacio c de secuencias convergentes . Es cerrado ( por lo tanto completo ), ya que cualquier límite uniforme de secuencias convergentes es convergente; o de nuevo: c es completo ( por lo tanto cerrado en ℓ ∞ ), ya que isométricamente isomorfo al espacio (completo) de mapas continuos ( por lo tanto ) delimitado en el compacto $[0, ω] = ℕ\cup {+ \infty}$ , compactificado d 'Alexandrov de discreto ℕ .
Para 1 < p < $\infty$ , el espacio de secuencia ℓ p es reflexivo . Su dual es el espacio ℓ q , con 1 ⁄ p + 1 ⁄ q = 1;
En ℓ ∞ , el subespacio c 0 de secuencias con límite cero no es reflexivo: su dual es ℓ 1 y el dual de ℓ 1 es ℓ ∞ . Por lo tanto, ℓ 1 y ℓ ∞ tampoco son reflectantes.
Para todo r < $\infty$ y todo $x$ ∈ ℓ r , el mapa $p \mapsto ║ x ║ p$ es decreciente en $[ r , + \infty [$ . De hecho, si p ≥ q ≥ r tenemos | $x k$ | / $║ x ║ q$ ≤ 1 para cualquier índice k , por lo tanto ${\ Displaystyle | x_ {k} | ^ {p} / \ | x \ | _ {q} ^ {p} \ leq | x_ {k} | ^ {q} / \ | x \ | _ {q} ^ {q} ~;}$ sumando esta desigualdad en k deducimos $║ x ║ p \leq ║ x ║ q$ . La función $p \mapsto ║ x ║ p$ también es continua sobre $[ r , + \infty]$ . En particular : ${\ Displaystyle \ | x \ | _ {\ infty} = \ lim _ {p \ to + \ infty} \ | x \ | _ {p}.}$

Notas y referencias

Georges Skandalis , Topología General , Masson.
(in) " La l ∞ -norm es igual al límite de las p -norms " en math.stackexchange .

enlaces externos

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