Matriz simétrica

En álgebra lineal y bilineal , una matriz simétrica es una matriz cuadrada que es igual a su propia transposición , es decir, tal que a i, j = a j, i para todo i y j entre 1 y n , donde a i, j son los coeficientes de la matriz yn es su orden.

Ejemplos de

Los coeficientes de una matriz simétrica son simétricos con respecto a la diagonal principal (desde la esquina superior izquierda hasta la esquina inferior derecha). Por tanto, la siguiente matriz es simétrica:

{\ begin {pmatrix} 2 y 4 y 6 \\ 4 y 0 y 10 \\ 6 y 10 y 12 \ end {pmatrix}}

Cualquier matriz diagonal es simétrica.

Propiedades

Una matriz que representa una forma bilineal es simétrica si y solo si esta última es simétrica.
El conjunto de matrices simétricas de orden n con coeficientes en un campo conmutativo es un subespacio vectorial de dimensión n ( n +1) / 2 del espacio vectorial de matrices cuadradas de orden n , y si la característica del cuerpo es diferente de 2, un subespacio adicional es el de las matrices antisimétricas .

Matrices simétricas reales

Descomposición espectral

En un espacio euclidiano , una matriz que representa una endomorphism en una base ortonormal es simétrica si y sólo si el endomorphism es auto unió- . El teorema espectral de dimensión finita deduce de esto que cualquier matriz simétrica con coeficientes reales es diagonalizable usando una matriz de paso ortogonal , porque los autovalores de un endomorfismo auto-unido son reales y sus autovalores son ortogonales .

Numéricamente, el proceso de diagonalización se aplica a cualquier matriz simétrica y consiste en descomponerla en la forma $A$

A = ODO ^ {{\ mathsf {T}}}

donde es una matriz ortogonal (cuyas columnas son autovectores de ) y donde es una matriz diagonal cuyos coeficientes son precisamente los autovalores de . $O$ $A$ $D$ $A$

Nota : una matriz simétrica con coeficientes complejos puede no ser diagonalizable. Por ejemplo, la matriz

{\ begin {pmatrix} 1 & {{\ rm {i}}} \\ {{\ rm {i}}} & - 1 \ end {pmatrix}}

admite 0 como único valor propio; si fuera diagonalizable, sería cero. El análogo complejo de las matrices simétricas reales son de hecho las matrices hermitianas (que, por su parte, son diagonalizables).

Traza de la desigualdad de Ky Fan

Denotar el espacio vectorial de las matrices reales simétricas de orden n y , los valores propios , que clasifica en orden descendente: ${\ mathcal {S}} ^ {n}$ $\ lambda _ {i} (A) \ in \ mathbb {R}$ $i = 1, \ ldots, n$ $no$ $A \ in {\ mathcal {S}} ^ {n}$

$\ lambda _ {1} (A) \ geqslant \ lambda _ {2} (A) \ geqslant \ cdots \ geqslant \ lambda _ {n} (A).$

Te presentamos la aplicación

$\ lambda: {\ mathcal {S}} ^ {n} \ to \ mathbb {R} ^ {n}: A \ mapsto (\ lambda _ {1} (A), \ ldots, \ lambda _ {n} ( A))$

y, para un vector de columna , denotamos el vector de fila transpuesto y la matriz diagonal cuyo coeficiente de índice es . $v \ in \ mathbb {R} ^ {n}$ $v ^ {{\ mathsf {T}}}$ $\ operatorname {Diag} (v)$ $(yo, yo)$ $v_ {i}$

Ky Fan trace la desigualdad - Para todo y , tenemos $A$ $B \ in {\ mathcal {S}} ^ {n}$

$\ langle A, B \ rangle \ leqslant \ lambda (A) ^ {{\ mathsf {T}}} \ lambda (B),$

donde 〈⋅, ⋅〉 denotan el producto escalar canónico en $M_ {n} (\ mathbb {R})$ , con igualdad si y solo si se pueden obtener las descomposiciones espectrales ordenadas y de y por la misma matriz ortogonal, es decir si y solo si $\ lambda (A)$ $\ lambda (B)$ $A$ $B$

$\ existe \, V ~ {\ mbox {ortogonal}}: \ quad A = V \; \ operatorname {Diag} (\ lambda (A)) \; V ^ {{\ mathsf {T}}} \ quad {\ mbox {y}} \ quad B = V \; \ operatorname {Diag} (\ lambda (B)) \; V ^ {{\ mathsf {T}}}.$

Observaciones

El rastro de desigualdad anterior fue publicado por Ky Fan en 1949, pero se relaciona estrechamente con trabajos anteriores de von Neumann (1937). La condición para tener igualdad se debe a CM Teobald (1975).
De acuerdo con la traducción anterior en términos de endomorfismos autounidos, y son simultáneamente diagonalizables si y solo si conmutan, y la matriz de paso puede elegirse ortogonal. La condición indicada anteriormente para tener igualdad en la desigualdad de Ky Fan es más fuerte, porque requiere que las matrices diagonales obtenidas estén ordenadas . Entonces, y viaja pero difiere de . $A$ $B \ in {\ mathcal {S}} ^ {n}$ $A = \ operatorname {Diag} (1,2)$ $B = \ operatorname {Diag} (2,1)$ $\ langle A, B \ rangle = 4$ $\ lambda (A) ^ {{\ mathsf {T}}} \ lambda (B) = 5$
La desigualdad de Ky Fan es un refinamiento de la desigualdad de Cauchy-Schwarz en el subespacio euclidiano de , en el sentido de que esta última puede deducirse de la primera. De hecho, si con ortogonal, tenemos ${\ mathcal {S}} ^ {n}$ $M_ {n} (\ mathbb {R})$ $A = V \, \ operatorname {Diag} (\ lambda (A)) \, V ^ {{\ mathsf {T}}}$ $V$
$\ | \ lambda (A) \ | _ {2} = \ | \ operatorname {Diag} (\ lambda (A)) \ | = \ | V \, \ operatorname {Diag} (\ lambda (A)) \, V ^ {{\ mathsf {T}}} \ | = \ | A \ |,$

donde y denotan las normas canónicas euclidianas sobre y . Por lo tanto, la desigualdad Ky ventilador y la desigualdad de Cauchy-Schwarz en dar $\ | \ cdot \ | _ {2}$ $\ | \ cdot \ |$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ $M_ {n} (\ mathbb {R})$ $\ mathbb {R} ^ {n}$
$\ langle A, B \ rangle \ leqslant \ | \ lambda (A) \ | _ {2} \, \ | \ lambda (B) \ | _ {2} = \ | A \ | \, \ | B \ | .$

Deducimos la desigualdad de Cauchy-Schwarz en teniendo en cuenta también la obtenida reemplazando arriba por . ${\ mathcal {S}} ^ {n}$ $B$ $-B$
Al aplicar Ky Fan desigual a matrices diagonales, hay una desigualdad de Hardy, Littlewood y Polya , simple para demostrar directamente que el producto escalar euclidiano de dos vectores y está acotado por los vectores y se obtiene a partir de vectores anteriores ordenando sus componentes en orden descendente: $X$ $y$ $[X]$ $[y]$
$\ forall \, x, y \ in \ mathbb {R} ^ {n}: \ qquad x ^ {{\ mathsf {T}}} y \ leqslant [x] ^ {{\ mathsf {T}}} [y ].$

Matrices simétricas positivas

Una matriz simétrica real S de orden n se dice:

positivo si la forma asociada (bilineal simétrica) es positiva, es decir, si

$\ forall \, x \ in \ mathbb {R} ^ {n}, \ qquad x ^ {{\ mathsf {T}}} Sx \ geq 0 ~;$

positivo definido si la forma asociada es definida y positiva, es decir, si

$\ forall \, x \ in \ mathbb {R} ^ {n} \ setminus \ {0 \}, \ qquad x ^ {{\ mathsf {T}}} Sx> 0.$

Nota: una matriz cuadrada real que verifica tal desigualdad (amplia o incluso estricta) no es necesariamente simétrica (cf. Matriz de rotación del plano ).

Usos concretos

Una matriz simétrica de orden 3 representa una sección cónica en coordenadas homogéneas en un plano proyectivo construido a partir de . ${\ Displaystyle \ mathbb {C} ^ {3} \, \ barra invertida \, \ {(0,0,0) \}}$

Apéndices

Notas

(en) K. Fan (1949). Tenemos el teorema de Weyl sobre los valores propios de las transformaciones lineales. Actas de la Academia Nacional de Ciencias de EE . UU. 35, 652-655. [ leer en línea ]
(en) J. von Neumann (1937). Algunas desigualdades matriciales y metrización del espacio matricial. Tomsk University Review 1, 286-300. En Obras completas , Pérgamo, Oxford, 1962, Volumen IV, 205-218.
(en) CM Teobald (1975). Desigualdad para la traza del producto de dos matrices simétricas. Procedimientos matemáticos de la Sociedad Filosófica de Cambridge 77, 265-266.
(en) GH Hardy , JE Littlewood y G. Polya , Desigualdades , Cambridge University Press , Cambridge, Reino Unido, 1952.

Libro de referencia

(en) JM Borwein y AS Lewis , Convex Analysis an Nonlinear Optimization , Nueva York, Springer ,2000