Integral de Dirichlet

La integral de Dirichlet es la integral de la función del seno cardinal en la media línea de reales positivos

{\ Displaystyle \ int _ {0} ^ {+ \ infty} {\ frac {\ sin x} {x}} \, {\ textrm {d}} x = {\ frac {\ pi} {2}}}

Se trata de una integral impropia semi-convergente, es decir, la función no es integrable en el sentido generalizado de Riemann , sino que existe y es finita. ${\ Displaystyle \ lim _ {a \ to + \ infty} \ int _ {0} ^ {a} {\ frac {\ sin x} {x}} ~ {\ rm {d}} x}$

Estudio de convergencia

Consideramos la función

{\ displaystyle {\ begin {matrix} f \ colon & \ mathbb {R} _ {+} ^ {*} & \ rightarrow & \ mathbb {R} \\ & x & \ mapsto & {\ frac {\ sin x } {x}}. \ end {matriz}}}

En 0, su límite derecho es 1, por lo que $f$ es extensible en un mapa continuo en $[0, + \infty [$ , por lo que es integrable en $[0, a ]$ para todo $a > 0$ .
Pero no es integrable en $+ \infty$ , es decir que

{\ Displaystyle \ lim _ {a \ to + \ infty} \ int _ {0} ^ {a} | f (x) | ~ {\ rm {d}} x = + \ infty}

Sin embargo,

\ lim _ {{a \ to + \ infty}} \ int _ {0} ^ {a} f (x) ~ {{\ rm {d}}} x \ quad {{\ rm {existe ~:}} }

Dirichlet , en su artículo histórico de 1829 sobre las series de Fourier , menciona de pasada una prueba basada en el criterio de convergencia de series alternas : “Sabemos que tiene un valor finito igual a $π / 2$ . Esta integral se puede dividir en una infinidad de otras, tomando la primera de $γ = 0$ a $γ = π$ , la segunda de $γ = π$ a $γ = 2π$ , y así sucesivamente. Estas nuevas integrales son alternativamente positivas y negativas, cada una de ellas tiene un valor numérico menor que la anterior […]. " $\ int _ {0} ^ {\ infty} {\ frac {\ sin \ gamma} {\ gamma}} ~ {{\ rm {d}}} \ gamma$ ;
en la misma línea, la regla de Abel para integrales - o una simple integración por partes - proporciona una prueba de convergencia;
los métodos siguientes para calcular la integral proporcionan más evidencia de su existencia.

Cálculo de la integral

Con suites

El método consiste en preguntar

J_ {n} = \ int _ {0} ^ {{{\ frac {\ pi} 2}}} {\ frac {\ sin {\ big (} (2n + 1) x {\ big)}} {\ sin x}} ~ {{\ rm {d}}} x, \ quad K_ {n} = \ int _ {0} ^ {{{\ frac {\ pi} 2}}} {\ frac {\ sin { \ grande (} (2n + 1) x {\ grande)}} x} ~ {{\ rm {d}}} x

y mostrar que la diferencia de estas dos secuencias tiende hacia 0, que la primera es constante, igual a $π / 2$ , y que la segunda tiende a la integral de Dirichlet.

Con el teorema del residuo

Observando que $x \mapsto i (sen x ) / x$ es la parte imaginaria de $x \mapsto e i x / x$ y considerando la función compleja $F : z \mapsto e i z / z$ , el teorema residual aplicado a integrales del cuarto tipo , permitiendo calcular un valor principal de Cauchy - o más simplemente aquí: el teorema integral de Cauchy -, da el resultado deseado.

Específicamente, $F$ tiene un grupo único en 0. Considere el contorno definido de la siguiente manera: para dos R > ε> 0 reales , se eligen los semicírculos y el centro O , los rayos R y ε están situados en el semiplano superior y conectan los dos segmentos. $I$ y $J$ . Esta curva delimita un dominio acotado del plano que no contiene el origen. ${\ mathcal {C}} _ {R}$ ${\ mathcal {C}} _ {{\ varepsilon}}$

El teorema de Cauchy da entonces

0 = \ int _ {{{\ mathcal {C}} _ ​​{R}}} {\ frac {{{\ rm {e}}} ^ {{{{{\ rm {i}}} z} }} z} ~ {{\ rm {d}}} z + \ int _ {{I \ cup J}} {\ frac {{{\ rm {e}}} ^ {{{{\ rm {i} }} z}}} z} ~ {{\ rm {d}}} z + \ int _ {{{\ mathcal {C}} _ ​​{{\ varepsilon}}}} {\ frac {{{\ rm {e}}} ^ {{{{\ rm {i}}} z}}} z} ~ {{\ rm {d}}} z = \ int _ {{{\ mathcal {C}} _ {R}}} {\ frac {{{\ rm {e}}} ^ {{{{\ rm {i}}} z}}} z} ~ {{\ rm {d}}} z + 2 {{\ rm {i}}} \ int _ {{\ varepsilon}} ^ {R} {\ frac {\ sin x} x} ~ {{\ rm {d}}} x + \ int _ {{{ \ mathcal {C}} _ ​​{{\ varepsilon}}}} {\ frac {{{\ rm {e}}} ^ {{{{\ rm {i}}} z}}} z} ~ { {\ rm {d}}} z

por lo tanto, al hacer que R tienda hacia $+ \infty$ y ε hacia 0:

0 = 0 + 2 {{\ rm {i}}} \ int _ {0} ^ {{+ \ infty}} {\ frac {\ sin x} x} ~ {{\ rm {d}}} x- {{\ rm {i}}} \ pi,

lo que permite concluir:

\ int _ {0} ^ {{+ \ infty}} {\ frac {\ sin x} x} ~ {{\ rm {d}}} x = {\ frac {\ pi} 2}.

Detalles de los límites de las integrales en los dos semicírculos

El semicírculo está parametrizado por $θ \mapsto$ $R$ $e$ $iθ$ , para $θ que$ varía de 0 a $π$ . Oro ${\ mathcal {C}} _ {{R}}$ $\ forall \ theta \ in] 0, \ pi [, \ quad | \ exp ({{\ rm {i}}} R {{\ rm {e}}} ^ {{{{\ rm {i}}} \ theta}}) | = | \ exp (-R \ sin \ theta + {{\ rm {i}}} R \ cos \ theta) | = \ exp (-R \ sin \ theta) {\ xrightarrow [{ R \ a + \ infty}] {}} 0.$

Al aplicar, por ejemplo, el teorema de convergencia dominado , se obtiene $\ int _ {{{\ mathcal {C}} _ {R}}} {\ frac {{{{\ rm {e}}} ^ {{{{{\ rm {i}}} z}} } z} ~ {{\ rm {d}}} z = {{\ rm {i}}} \ int _ {0} ^ {{\ pi}} \ exp ({{\ rm {i}}} R {{\ rm {e}}} ^ {{{{\ rm {i}}} \ theta}}) ~ {{\ rm {d}}} \ theta {\ xrightarrow [{R \ to + \ infty} ] {}} {{\ rm {i}}} \ int _ {0} ^ {{\ pi}} 0 ~ {{\ rm {d}}} \ theta = 0.$

De manera similar, el semicírculo está parametrizado por $θ \mapsto εe$ $iθ$ , para $θ que$ varía de $π$ a 0. Entonces tenemos ${\ mathcal {C}} _ {{\ varepsilon}}$ $\ int _ {{{\ mathcal {C}} _ {{\ varepsilon}}}} {\ frac {{{\ rm {e}}} ^ {{{{\ rm {i}}} z} }} z} ~ {{\ rm {d}}} z = {{\ rm {i}}} \ int _ {{\ pi}} ^ {0} \ exp ({{\ rm {i}}} \ varepsilon {{\ rm {e}}} ^ {{{{\ rm {i}}} \ theta}}) ~ {{\ rm {d}}} \ theta {\ xrightarrow [{\ varepsilon \ to 0 }] {}} {{\ rm {i}}} \ int _ {{\ pi}} ^ {0} \ exp (0) ~ {{\ rm {d}}} \ theta = - {{\ rm {i}}} \ pi.$

Podemos ir un poco más rápido considerando la función $z \mapsto (e i z - 1) / z$ que se extiende a una función entera . Luego integramos en el contorno formado por el semicírculo y el intervalo [- R , R ]. Por el teorema integral de Cauchy, ${\ mathcal {C}} _ {{R}}$

0 = \ int _ {{{\ mathcal {C}} _ ​​{R}}} {\ frac {{{\ rm {e}}} ^ {{{{{\ rm {i}}} z} } - 1} z} ~ {{\ rm {d}}} z + \ int _ {{- R}} ^ {R} {\ frac {{{{\ rm {e}}} ^ {{{{ {\ rm {i}}} x}} - 1} x} ~ {{\ rm {d}}} x = \ int _ {{{\ mathcal {C}} _ ​​{R}}} {\ frac {{{\ rm {e}}} ^ {{{{\ rm {i}}} z}}} z} ~ {{\ rm {d}}} z- \ int _ {{{\ mathcal { C}} _ ​​{R}}} {\ frac {{{\ rm {d}}} z} z} +2 {{\ rm {i}}} \ int _ {0} ^ {R} { \ frac {\ sin x} x} ~ {{\ rm {d}}} x = \ int _ {{{\ mathcal {C}} _ ​​{R}}} {\ frac {{{{\ rm {e}}}} ^ {{{{\ rm {i}}} z}}} z} ~ {{\ rm {d}}} z - {{\ rm {i}}} \ pi +2 { {\ rm {i}}} \ int _ {0} ^ {R} {\ frac {\ sin x} x} ~ {{\ rm {d}}} x

por lo tanto, al hacer que R tienda hacia $+ \infty$ :

0 = 0 - {{\ rm {i}}} \ pi +2 {{\ rm {i}}} \ int _ {0} ^ {{+ \ infty}} {\ frac {\ sin x} x} ~ {{\ rm {d}}} x

y concluimos como antes.

Con una transformada de Laplace

Entonces digamos que sí . ${\ Displaystyle {\ mathcal {L}} (f) = F}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {L}} \ left [{\ frac {f (x)} {x}} \ right] = \ int _ {p} ^ {+ \ infty} F (u) \ mathrm {d } u}$

Elija de dónde . ${\ Displaystyle f = \ sin}$ ${\ Displaystyle F (p) = {\ frac {1} {p ^ {2} +1}}}$

Volviendo a la definición de la transformación de Laplace, la propiedad admitida da

{\ Displaystyle \ int _ {0} ^ {+ \ infty} \ operatorname {e} ^ {- px} {\ frac {\ sin x} {x}} \ mathrm {d} x = \ int _ {p} ^ {+ \ infty} {\ frac {\ mathrm {d} u} {u ^ {2} +1}} = \ left [\ arctan u \ right] _ {p} ^ {+ \ infty} = {\ frac {\ pi} {2}} - \ arctan p}

Al llegar al límite cuando , llegamos . $p \ a 0$ ${\ Displaystyle \ int _ {0} ^ {+ \ infty} {\ frac {\ sin x} {x}} \ mathrm {d} x = {\ frac {\ pi} {2}}}$

Notas y referencias

Ver, por ejemplo, este ejercicio corregido sobre Wikiversity .
Sr. Lejeune-Dirichlet, " Sobre la convergencia de series trigonométricas que sirven para representar una función arbitraria entre límites dados ", J. Reine angew. Matemáticas. , vol. 4,1829, p. 157-169 (pág.161) ( arXiv 0806.1294 ).
Desde $f$ es cero en el infinito, para estudiar la posible límite de su integral de 0 a un cuando un → $+ \infty$ , basta con hacerlo por una atravesar los valores de una arbitraria secuencia aritmética .
S. Balac y F. Sturm, Álgebra y análisis: curso de matemáticas de primer año con ejercicios corregidos , PPUR ,2003( leer en línea ) , pág. 940.
Para esta prueba y una variante, vea la asignación corregida "Integral de Dirichlet" en Wikiversity .
Ver la tarea corregida "Integral de Dirichlet" en Wikiversity .
Este paso al límite se justifica de la siguiente manera en la p. 6-7 por (en) J. Michael Steele , “ Un scholium on the integral of and related topics $\ sin (x) / x$ ” , en Wharton School , UPenn ,septiembre 2014 : De acuerdo a la segunda fórmula media , . ${\ Displaystyle \ left | \ int _ {a} ^ {+ \ infty} {\ frac {\ operatorname {e} ^ {- px}} {x}} \ sin x \, \ mathrm {d} x \ right | \ leq 2 {\ frac {\ operatorname {e} ^ {- pa}} {a}}}$

Ver también

Artículo relacionado

Integral de Borwein

Bibliografía

Nino Boccara , Funciones analíticas [ detalle de la edición ]
(de) Hans Fischer, " Die Geschichte des Integrals : eine Geschichte der Analysis in der Nussschale ${\ Displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ frac {\ sin x} {x}} \, dx}$ " , Matemáticas. Semesterber. , vol. 54, n o 1,2007, p. 13-30