Integral de Borwein
En matemáticas , una integral de Borwein es una integral que involucra productos de sinc ( ax ), donde sinc es la función del seno cardinal , definida por sinc ( x ) = sin ( x ) / x . Las integrales de Borwein, descubiertas por David Borwein y Jonathan Borwein en 2001, exhiben aparentes regularidades que finalmente cesan. Entonces,
∫0+∞pecadoXXDX=π2∫0+∞pecadoXXpecado(X/3)X/3DX=π2∫0+∞pecadoXXpecado(X/3)X/3pecado(X/5)X/5DX=π2.{\ Displaystyle {\ begin {alineado} & \ int _ {0} ^ {+ \ infty} {\ frac {\ sin x} {x}} \, \ mathrm {d} x = {\ frac {\ pi} {2}} \\ [10pt] & \ int _ {0} ^ {+ \ infty} {\ frac {\ sin x} {x}} {\ frac {\ sin (x / 3)} {x / 3 }} \, \ mathrm {d} x = {\ frac {\ pi} {2}} \\ [10pt] & \ int _ {0} ^ {+ \ infty} {\ frac {\ sin x} {x }} {\ frac {\ sin (x / 3)} {x / 3}} {\ frac {\ sin (x / 5)} {x / 5}} \, \ mathrm {d} x = {\ frac {\ pi} {2}}. \ end {alineado}}}![{\ Displaystyle {\ begin {alineado} & \ int _ {0} ^ {+ \ infty} {\ frac {\ sin x} {x}} \, \ mathrm {d} x = {\ frac {\ pi} {2}} \\ [10pt] & \ int _ {0} ^ {+ \ infty} {\ frac {\ sin x} {x}} {\ frac {\ sin (x / 3)} {x / 3 }} \, \ mathrm {d} x = {\ frac {\ pi} {2}} \\ [10pt] & \ int _ {0} ^ {+ \ infty} {\ frac {\ sin x} {x }} {\ frac {\ sin (x / 3)} {x / 3}} {\ frac {\ sin (x / 5)} {x / 5}} \, \ mathrm {d} x = {\ frac {\ pi} {2}}. \ end {alineado}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72c1cc4ccea55068e0c11aa0d61ac646dbe2e64b)
Este patrón continúa hasta
∫0+∞pecadoXXpecado(X/3)X/3⋯pecado(X/13)X/13DX=π2{\ Displaystyle \ int _ {0} ^ {+ \ infty} {\ frac {\ sin x} {x}} {\ frac {\ sin (x / 3)} {x / 3}} \ cdots {\ frac {\ sin (x / 13)} {x / 13}} \, \ mathrm {d} x = {\ frac {\ pi} {2}}}![{\ Displaystyle \ int _ {0} ^ {+ \ infty} {\ frac {\ sin x} {x}} {\ frac {\ sin (x / 3)} {x / 3}} \ cdots {\ frac {\ sin (x / 13)} {x / 13}} \, \ mathrm {d} x = {\ frac {\ pi} {2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f531695354ca1968fa080a5eb56b3010a1ebec39)
.
Sin embargo, en el siguiente paso, tenemos el extraño resultado
∫0+∞pecadoXXpecado(X/3)X/3⋯pecado(X/15)X/15DX=467807924713440738696537864469935615849440640907310521750000π=π2-6879714958723010531935615849440640907310521750000π≃π2-2,31×10-11.{\ displaystyle {\ begin {alineado} \ int _ {0} ^ {+ \ infty} {\ frac {\ sin x} {x}} {\ frac {\ sin (x / 3)} {x / 3} } \ cdots {\ frac {\ sin (x / 15)} {x / 15}} \, \ mathrm {d} x & = {\ frac {467807924713440738696537864469} {935615849440640907310521750000}} \ pi \\ & = {\ frac {\ pi} {2}} - {\ frac {6879714958723010531} {935615849440640907310521750000}} \ pi \\ & \ simeq {\ frac {\ pi} {2}} - 2 {,} 31 \ times 10 ^ {- 11 }. \ end {alineado}}}![{\ displaystyle {\ begin {alineado} \ int _ {0} ^ {+ \ infty} {\ frac {\ sin x} {x}} {\ frac {\ sin (x / 3)} {x / 3} } \ cdots {\ frac {\ sin (x / 15)} {x / 15}} \, \ mathrm {d} x & = {\ frac {467807924713440738696537864469} {935615849440640907310521750000}} \ pi \\ & = {\ frac {\ pi} {2}} - {\ frac {6879714958723010531} {935615849440640907310521750000}} \ pi \\ & \ simeq {\ frac {\ pi} {2}} - 2 {,} 31 \ times 10 ^ {- 11 }. \ end {alineado}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97ba8d0b4540e45c902d7e88f06effb30d847bb8)
De manera más general, las integrales similares tienen el valor π / 2 siempre que los números 3, 5, ... son reemplazados por reales positivos cuya suma de inversas es menor que 1. En el ejemplo anterior,1/3 + 1/5 +… + 1/13<1 , pero1/3 + 1/5 +… + 1/15> 1 .
Añadiendo un término adicional en cos ( x ) en el producto, el esquema se puede ampliar:
∫0+∞2porque(X)pecado(X)Xpecado(X/3)X/3⋯pecado(X/111)X/111DX=π2,{\ Displaystyle \ int _ {0} ^ {+ \ infty} 2 \ cos (x) {\ frac {\ sin (x)} {x}} {\ frac {\ sin (x / 3)} {x / 3}} \ cdots {\ frac {\ sin (x / 111)} {x / 111}} \, \ mathrm {d} x = {\ frac {\ pi} {2}},}![{\ Displaystyle \ int _ {0} ^ {+ \ infty} 2 \ cos (x) {\ frac {\ sin (x)} {x}} {\ frac {\ sin (x / 3)} {x / 3}} \ cdots {\ frac {\ sin (x / 111)} {x / 111}} \, \ mathrm {d} x = {\ frac {\ pi} {2}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/16f293d134f70c31a67c8630f0a174be250ed5a6)
hasta
∫0+∞2porque(X)pecado(X)Xpecado(X/3)X/3⋯pecado(X/111)X/111pecado(X/113)X/113DX<π2,{\ Displaystyle \ int _ {0} ^ {+ \ infty} 2 \ cos (x) {\ frac {\ sin (x)} {x}} {\ frac {\ sin (x / 3)} {x / 3}} \ cdots {\ frac {\ sin (x / 111)} {x / 111}} {\ frac {\ sin (x / 113)} {x / 113}} \, \ mathrm {d} x < {\ frac {\ pi} {2}},}![{\ Displaystyle \ int _ {0} ^ {+ \ infty} 2 \ cos (x) {\ frac {\ sin (x)} {x}} {\ frac {\ sin (x / 3)} {x / 3}} \ cdots {\ frac {\ sin (x / 111)} {x / 111}} {\ frac {\ sin (x / 113)} {x / 113}} \, \ mathrm {d} x < {\ frac {\ pi} {2}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1887ce0d8c1feb426eab5131a4fd0cf0bc478c28)
En este caso, tenemos 1/3 + 1/5 +… + 1/111<2 , pero1/3 + 1/5 +… + 1/113 > 2.
Las pruebas de estos patrones se han establecido mediante demostraciones intuitivas. En particular, una reformulación en términos de un paseo aleatorio, junto con un argumento de causalidad, arroja luz sobre el cambio de comportamiento de las integrales de Borwein y permite generalizaciones a familias relacionadas.
Formula general
Para una secuencia de números reales distintos de cero a 0 , a 1 , a 2 , ... , podemos asociar una integral de la forma
∫0+∞∏k=0nopecado(akX)akXDX{\ Displaystyle \ int _ {0} ^ {+ \ infty} \ prod _ {k = 0} ^ {n} {\ frac {\ sin (a_ {k} x)} {a_ {k} x}} \ , \ mathrm {d} x}![{\ Displaystyle \ int _ {0} ^ {+ \ infty} \ prod _ {k = 0} ^ {n} {\ frac {\ sin (a_ {k} x)} {a_ {k} x}} \ , \ mathrm {d} x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a4a7ada9ab6b0886319e2f1ca0290d63176407e)
Para establecer la fórmula, tendremos que considerar sumas de a k . En particular, si γ = (γ 1 , γ 2 , ..., γ n ) es una n -tupla donde cada término es igual a ± 1 , entonces escribimos b γ = a 0 + γ 1 a 1 + γ 2 a 2 + ... + γ n a n , que es una variación de la suma alterna, y el producto ε γ = γ 1 γ 2 ... γ n = ± 1 . Con estas notaciones se reescribe la integral:
∫0+∞∏k=0nopecado(akX)akXDX=π2a0VSno{\ Displaystyle \ int _ {0} ^ {+ \ infty} \ prod _ {k = 0} ^ {n} {\ frac {\ sin (a_ {k} x)} {a_ {k} x}} \ , \ mathrm {d} x = {\ frac {\ pi} {2a_ {0}}} C_ {n}}![{\ Displaystyle \ int _ {0} ^ {+ \ infty} \ prod _ {k = 0} ^ {n} {\ frac {\ sin (a_ {k} x)} {a_ {k} x}} \ , \ mathrm {d} x = {\ frac {\ pi} {2a_ {0}}} C_ {n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af40f638fde25d0a6ea43ec4569459772fc065f6)
con C n = 1 si , y
a0>|a1|+|a2|+⋯+|ano|{\ Displaystyle a_ {0}> | a_ {1} | + | a_ {2} | + \ cdots + | a_ {n} |}![{\ Displaystyle a_ {0}> | a_ {1} | + | a_ {2} | + \ cdots + | a_ {n} |}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d35b9749402e26ec5ea7857bc2b1a929c377ae73)
VSno=1-12nono!∏k=1noak∑γ∈{±1}noεγBγnosgn(Bγ){\ Displaystyle C_ {n} = 1 - {\ frac {1} {2 ^ {n} n! \ prod _ {k = 1} ^ {n} a_ {k}}} \ sum _ {\ gamma \ in \ {\ pm 1 \} ^ {n}} \ varepsilon _ {\ gamma} b _ {\ gamma} ^ {n} \ operatorname {sgn} (b _ {\ gamma})}![{\ Displaystyle C_ {n} = 1 - {\ frac {1} {2 ^ {n} n! \ prod _ {k = 1} ^ {n} a_ {k}}} \ sum _ {\ gamma \ in \ {\ pm 1 \} ^ {n}} \ varepsilon _ {\ gamma} b _ {\ gamma} ^ {n} \ operatorname {sgn} (b _ {\ gamma})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/05a1163293a42104004e989fd0c512f2a709a107)
si no.
El caso de Borwein corresponde a la secuencia a k =1/2 k +1.
Para n = 7 tenemos un 7 =1/15, y 1/3 + 1/5 + 1/7 + 1/9 + 1/11 + 1/13<1 pero1/3 + 1/5 + 1/7 + 1/9 + 1/11 + 1/13 + 1/15> 1 . Por tanto, dado que a 0 = 1 , encontramos
∫0∞pecado(X)Xpecado(X/3)X/3⋯pecado(X/13)X/13DX=π2{\ Displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ frac {\ sin (x)} {x}} {\ frac {\ sin (x / 3)} {x / 3}} \ cdots {\ frac {\ sin (x / 13)} {x / 13}} \, \ mathrm {d} x = {\ frac {\ pi} {2}}}![{\ Displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ frac {\ sin (x)} {x}} {\ frac {\ sin (x / 3)} {x / 3}} \ cdots {\ frac {\ sin (x / 13)} {x / 13}} \, \ mathrm {d} x = {\ frac {\ pi} {2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/56f9e25f9385110aac26362a817f9b813b1cc70a)
(para n = 6, y lo mismo para todas las integrales con n <7), pero
∫0+∞pecado(X)Xpecado(X/3)X/3⋯pecado(X/15)X/15DX=π2(1-(3-1+5-1+7-1+9-1+11-1+13-1+15-1-1)726⋅7!⋅(1/3⋅1/5⋅1/7⋅1/9⋅1/11⋅1/13⋅1/15)).{\ Displaystyle \ int _ {0} ^ {+ \ infty} {\ frac {\ sin (x)} {x}} {\ frac {\ sin (x / 3)} {x / 3}} \ cdots { \ frac {\ sin (x / 15)} {x / 15}} \, \ mathrm {d} x = {\ frac {\ pi} {2}} \ left (1 - {\ frac {(3 ^ { -1} +5 ^ {- 1} +7 ^ {- 1} +9 ^ {- 1} +11 ^ {- 1} +13 ^ {- 1} +15 ^ {- 1} -1) ^ { 7}} {2 ^ {6} \ cdot 7! \ Cdot (1/3 \ cdot 1/5 \ cdot 1/7 \ cdot 1/9 \ cdot 1/11 \ cdot 1/13 \ cdot 1/15) }} \ derecho).}![{\ Displaystyle \ int _ {0} ^ {+ \ infty} {\ frac {\ sin (x)} {x}} {\ frac {\ sin (x / 3)} {x / 3}} \ cdots { \ frac {\ sin (x / 15)} {x / 15}} \, \ mathrm {d} x = {\ frac {\ pi} {2}} \ left (1 - {\ frac {(3 ^ { -1} +5 ^ {- 1} +7 ^ {- 1} +9 ^ {- 1} +11 ^ {- 1} +13 ^ {- 1} +15 ^ {- 1} -1) ^ { 7}} {2 ^ {6} \ cdot 7! \ Cdot (1/3 \ cdot 1/5 \ cdot 1/7 \ cdot 1/9 \ cdot 1/11 \ cdot 1/13 \ cdot 1/15) }} \ derecho).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f63927a9e3f1005dfdf82e240f4b99cdfbd31939)
Notas
-
El sitio mathoverflow menciona que estas integrales (en) temían un error en un sistema de álgebra de computadora hasta que los programadores se dan cuenta de que el resultado era correcto.
-
(en) Hanspeter Schmid, " Dos integrales curiosas y tiene prueba gráfica " , Elemente der Mathematik , vol. 69, n o 1,2014, p. 11-17 ( ISSN 0013-6018 , DOI 10.4171 / EM / 239 , leer en línea )
-
(en) Satya Majumdar y Emmanuel Trizac, " Cuando los caminantes aleatorios ayudan a resolver integrales intrigantes " , Physical Review Letters , vol. 123,2019, p. 020201 ( ISSN 1079-7114 , DOI https://doi.org/10.1103 , leer en línea )
-
David Borwein y Jonathan M. Borwein, " Algunas propiedades notables de sinc y las integrales relacionadas ", The Ramanujan Journal , vol. 5, n o 1,2001, p. 73–89 ( ISSN 1382-4090 , DOI 10.1023 / A: 1011497229317 , Math Reviews 1829810 , leer en línea )
Referencias
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">